矩形菱形正方形习题含答案

2.如图，在菱形中，，点分别从点出发以同样的速度沿边向点运动．给出以下四个结论：①②③当点分别为边的中点时，是等边三角形④当点分别为边的中点时，的面积最大．上述结论中正确的序号有                ．（把你认为正确的序号都填上）

3如图，四边形为正方形，为等边三角形．为正方形的对角线，则                    度．

4.如图，过正方形的顶点作直线，过作的垂线，垂足分别为    ．若，，则的长度为           ．

5如图，正方形的边长为，分别交于点，在上任取两点，那么图中阴影部分的面积是          ．

1.如图，在菱形中，对角线相交于点为的中点，且             ，则菱形的周长为（    ）

A．        B．        C．        D． 

2. 菱形的两条对角线的长分别是6和8 ，则这个菱形的周长是（    ）

A．24            B．20              C．10       D．5

3. 如图，在四边形中，，，若再添加一个条件，就能推出四边形是矩形，你所添加的条件是          ．（写出一种情况即可）

4. 如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若，，，则GF的长为      ．

5.如图，在正方形纸片中，对角线交于点，折叠正方形纸片  ，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕   分别交于点，连结．下列结论：①；②  ；③；④四边形是菱形；⑤．则其中正确结论的序号是            ．

6. 菱形中，垂直平分，垂足为，．那么，菱形的面积是            ，对角线的长是        ．

7. 如图，菱形ABCD中，∠BAD=60º ，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB的最小值是3，则AB长为        ．

8. 将一正方形按如图方式分成n个全等矩形，上、下各横排两个，中间竖排若干个，则n的值为         A．12           B．10             C．8              D．6   

9. 如图，矩形的周长为，两条对角线相交于点，过点作的垂线  ，分别交于点，连结，则的周长为（    ）

A．5cm        B．8cm        C．9cm        D．10cm

10. 如果菱形的周长是，高是，那么这个菱形两邻角的度数比为（　　）

A．            B．            C．            D． 

11. 如图，四边形为矩形纸片．把纸片折叠，使点恰好落在边的中点处，折痕为．若，则等于（　　）

Ａ．        Ｂ．        

Ｃ．        Ｄ． 

12.如图，在菱形中，对角线分别等于8和6，将沿的方向平移，使与重合，与延长线上的点重合，则四边形的面积等于（    ）

A．36        B．48        C．72        D．96

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6如图，点是正方形的对角线上一点，连结、．

（1）证明：；

（2）在上取一点，连结，使得，连结，判断的形状，并说明理由．

7如图，在□ABCD中，EF∥BD，分别交BC、CD于点P、Q，分别交AB、AD的延长线于点E、F．已知BE=BP．

求证：（1）∠E=∠F．

（2）□ABCD是菱形．

8如图1，在中，点为边中点，直线绕顶点旋转，若点在直线的异侧，直线于点，直线于点，连接

（1）延长交于点（如图2），①求证：；②求证：；

（2）若直线绕点旋转到图3的位置时，点在直线的同侧，其它条件不变.此时还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）若直线绕点旋转到与边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形的形状及此时还成立吗？不必说明理由.

9已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．

（1）求证：BE = DF；

（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．

证明：（1）

10如图，在正方形中，是上的任意一点（与两点不重合），是上的两点（与两点都不重合），若请判断线段与有怎样的位置关系，并证明你的结论.

11如图，中，点是边上一个动点，过作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点．

（1）探究：线段与的数量关系并加以证明； 

（2）当点在边上运动时，四边形会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由； 

（3）当点运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？ 

12如图①，四边形ABCD是正方形， 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F. 

（1） 求证：DE－BF = EF．

（2） 当点G为BC边中点时， 试探究线段EF与GF之间的数量关系， 并说明理由． 

（3） 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．

13如图，将矩形纸片沿其对角线折叠，使点落到点的位置，与交于点．

（1）试找出一个与全等的三角形，并加以证明；

（2）若为线段上任意一点，于，于．试求的值，并说明理由．

14已知：如图，菱形中，分别是上的点，且．

（1）求证：．

（2）若，点分别为和的中点．求证：为等边三角形．

15如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系： 

（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；

②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．

16如图-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点（不与A、C重合），PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F．

（1） 求证：BP=DP；

（2） 如图-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；

（3） 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 ．

17已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，

CE⊥AN，垂足为点E，

（1）求证：四边形ADCE为矩形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．

17

（1）证明：在△A BC中， AB＝AC，AD⊥BC． 

∴ ∠BAD＝∠DAC．    2分

∵  AN是△ABC外角∠CAM的平分线，

∴．

∴ ∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝180°＝90°．    4分

又 ∵ AD⊥BC，CE⊥AN，

∴＝90°，

∴ 四边形ADCE为矩形．    5分

（2）说明：①给出正确条件得1分，证明正确得3分．

②答案只要正确均应给分．

例如，当AD＝时，四边形ADCE是正方形．    6分

证明：∵ AB＝AC，AD⊥BC于D．

∴ DC＝．    7分

又 AD＝，

∴ DC＝AD．    8分

由（1）四边形ADCE为矩形，

∴ 矩形ADCE是正方形．    9分

16

⑴ 解法一：在△ABP与△ADP中，利用全等可得BP=DP.    2分 

解法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP.     2分

⑵ 不是总成立 .     3分

当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC边上时，DP >DC>BP，此时BP=DP不成立.     5分

说明：未用举反例的方法说理的不得分.

⑶ 连接BE、DF，则BE与DF始终相等.    6分

在图8-1中，可证四边形PECF为正方形，    7分

在△BEC与△DFC中，可证△BEC≌△DFC . 

从而有 BE=DF .     8分

15

（1）①    2分

②仍然成立     1分

在图（2）中证明如下

∵四边形、四边形都是正方形

∴，， 

∴    1分        

            ∴（SAS）    1分

∴   

又∵   

∴    ∴

∴

14

证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD，，

又∵BE=DF

∴≌

∴AE=AF

(2)连接AC

∵AB=BC， 

∴是等边三角形，

E是BC的中点

∴AE⊥BC， ∴，同理

∵

∴

又∵AE=AF

∴是等边三角形．

13

解：（1）    

证明：四边形为矩形，

，

又，    

．    

（2）由已知得：且

在中， 

延长交于

则

12（1） 证明：

∵ 四边形ABCD 是正方形， BF⊥AG ， DE⊥AG

∴ DA=AB，∠BAF + ∠DAE = ∠DAE + ∠ADE = 90°

∴ ∠BAF = ∠ADE   

∴ △ABF ≌ △DAE    

∴ BF = AE ，  AF = DE   

∴ DE－BF = AF－AE = EF   

（2）EF = 2FG   理由如下：

∵ AB⊥BC ， BF⊥AG ， AB =2 BG

∴ △AFB ∽△BFG ∽△ABG   

∴   

∴  AF = 2BF ， BF = 2 FG   

由（1）知，AE = BF，∴ EF = BF = 2 FG    

（3） 如图  

DE + BF = EF  

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11

解：（1）．

其证明如下：

∵是的平分线，．

∵，∴．

∴．

∴．

同理可证．

∴．    3分

（2）四边形不可能是菱形，若为菱形，则，而由（1）可知，在平面内过同一点不可能有两条直线同垂直于一条直线．    3分

（3）当点运动到中点时，，，则四边形为，要使为正方形，必须使．

∵，∴，∴是以为直角的直角三角形，

∴当点为中点且是以为直角的直角三角形时，

四边形是正方形．

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10根据题目条件可判断证明如下：

∵四边形为正方形，∴ 

∵又

∴

∵∴    5分

∴

∴∴

∴    9分

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9

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD,∠B = ∠D = 90°．

∵AE = AF，

∴．

∴BE＝DF．        4分

（2）四边形AEMF是菱形．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCA = ∠DCA = 45°，BC = DC．

∵BE＝DF，

∴BC－BE = DC－DF. 即．

∴．

∵OM = OA，

∴四边形AEMF是平行四边形．

∵AE = AF，

∴平行四边形AEMF是菱形．        8分

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8（1）证明：①如图2.

直线于点， 直线于点，

又为边中点，

又

    3分

②

在中， 

    5分

（2）成立.如图3.     6分

证明：延长与的延长线相交于点.

直线于点，直线于点，

    7分

又为中点， 

又

则在中， 

    10分

（3）四边形是矩形.     11分

成立.     12分

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7证明：（1）在□中， 

∴

∵

∴

∴

（2）∵

∴

∵

∴

∴

∴□是菱形

6（1）∵在正方形中，是对角线，

∴．

又∵，

∴．

∴．    3分

（2）如图，是等腰直角三角形，理由如下：    4分

∵，

∴．

又∵，

∴．

∵是上一点, ,

∴．

∵在四边形中，，

∴．

∵，

∴．

∴是等腰直角三角形．    7分（其他方法酌情给分）

1.10   2. ①②③    3. 105  4.    5. 8

1. 2. B   3.或或   4. 3   5. ①④⑤   6.   

7.    8. C  9. D    10. C    11. A   12. A