数学建模论文1

数学与信息科学学院

《数学建模》课程论文

（2011—2012学年度第二学期）

姓名：                         

专业：      数学与应用数学                   

班别：       数本102班                  

年级：         2010级                 

学号：                        

日期： 2012  年 6 月 25 日

均衡膳食

摘要

现在人们的生活水平不断提高，对吃的要求也不仅仅是能吃饱，还要有营养，符合健康的膳食标准。大学生作为一个大集体，经济还没有，每天的三餐也是在学校食堂解决，那么就更要注意膳食的均衡，还要经济实惠，为大学生提供充足的营养，且可以预防疾病，保证身体的健康，以便更加投入到学习生活中去。本文就是提供一些经济又营养的配餐方案，通过膳食指标建立模型，再根据本校食堂的菜谱选择便宜的菜，最后求得这个配餐方案：早餐：豆浆一杯/1元，包子2个/1元；中餐：米饭330g/0.6元，猪脚炖黄豆一份/3元；晚餐：米饭330g/0.6元，酥肉一份/3元，豆腐一份/1元；一天三餐总计：10.2元。既节约又营养。大家要做到科学配餐，科学配餐的原则有三点：（1）一日三餐的热能应当与工作强度相匹配：避免早餐过少、晚餐过多的弊病；（2）三餐的间隔要合适，三餐饮食的量也要适当，同时还要讲究饮食卫生。三餐时间合适、比例适当这一条比较好理解，就是早饭要认真吃，晚饭不要吃过量，每餐间隔４～６个小时，不要暴饮暴食，饥一顿饱一顿；（3）注意膳食结构的平衡。

关键词：大学生  膳食均衡  花费少  营养

一、问题重述

随着生活水平的提高，日常膳食营养结构调整越来越受到人们的重视。人们从日常饮食中获取各种营养成分，人体必需的营养素种类繁多，没有一种天然食物能满足人体所需的全部营养素，因此食物多样化是平衡的最基本要求。同时，不同地区、不同年龄、不同性别人群对各种营养素的需要量也有所不同，各种营养素对人体的正常生理机能需求的重要程度也不同，因此世界卫生组织、中国营养学会分别制定了各种营养素的每日供给量标准。另一方面，随着经济发展、生活水平提高，人们能够获取的食物日益丰富，进行科学平衡的膳食已具备可能性。

(1) 请你们收集我国营养学会推荐合理膳食的构成指标中如蛋白质、脂肪、碳水化合物、钙等每天供给量的相关数据；收集我国主要食物营养成分表；收集玉林市的主要食品价格；收集我校学生食堂的主要食物品种。

（2）根据你们收集的数据，针对家庭经济较困难的学生，建立数学模型，安排一日三餐的平衡膳食方案，要求符合合理膳食的构成指标，并且花费越少越好。

二、问题分析

本题属于最优化问题，要解决的是在符合我国营养学会推荐的合理膳食的构成指标下，建立模型，为我校家庭困难的同学搭配营养均衡的一日三餐，并要求花费越少越好。解决这个问题首先是收集到相关的营养表、价格表、菜谱，再建立一个在保证营养健康的情况下以食物用量最少为目的的最优解模型，根据本学校食堂所提供的各种食物的名称，按照各食物所含营养素的百分比提供营养，即各种食物所提供的营养素达到大学生所需营养素的标准值。这样就可以根据所研究的营养素的种数、合理膳食的构成指标列出相应的方程，转化为数学问题，以所列的方程为约束条件可以得到最优解，即得到了所研究的合理膳食的成分，再根据本校食堂菜谱选择便宜的菜色食用。但是每种营养素都考虑就太复杂了，所以求解时我们只考虑蛋白质、脂肪、碳水化合物、热量、无机盐这五种营养素的约束。

三、符号说明

   假设一：本题中所有大学生的健康状况良好，所需营养均衡，对各种所摄入的食物没有过敏反应，没有偏食挑食的情况，能完全吸收食物中的营养。

   假设二：各类食物全部新鲜安全，相同食物所含营养成分及比例相同。

   假设三：食物价格短时间内没有变化，3个食堂价格一样。

   假设四：各类食物在生和熟的状态下营养素的含量没有变化。

   假设五：研究中所涉及的大学生无地区、性别、年龄差异，体重为60kg。

   假设六：人体每天所需的营养素只靠一日三餐供给，没有其他摄入。

五、模型建立

   依据合理膳食构成指标与问题中的约束条件建立模型。

目标函数：minZ=          （1）

约束条件：6090        （2）

6072       （3）

400    500    （4）

18001900         （5）

11．3420001211.57800014        （6）

     目标函数（1）为满足摄入量最少的约束。

     约束条件（2）为满足对蛋白质摄入量的约束。

     约束条件（3）为满足对脂肪摄入量的约束。

     约束条件（4）为满足碳水化合物摄入量的约束。

     约束条件（5）为满足热量摄入量的约束。

     约束条件（6）为满足无机盐摄入量的约束。

六、模型求解

    以上的模型为优化模型并且是一个线性规划模型，约束条件是线性不等式，采用LINGDO编程求解，得到最优解minZ=6.45314117（百克）

具体的所摄入的食物种类及质量如下表：

早餐：豆浆一杯/1元，包子2个/1元；

中餐：米饭330g/0.6元，猪脚炖黄豆一份/3元；

晚餐：米饭330g/0.6元，酥肉一份/3元，豆腐一份/1元；

一天三餐总计：10.2元

七、模型结果分析

本模型结果既符合营养标准又能学生节约钱，中餐和晚餐因考虑到口味问题，可以吃酥肉和豆腐，一天下来既营养又丰富，但是本模型存在一些不足数据，难以准确约束，并且没有考虑最后所求有没有消除学生的饥饿感。

参考文献

[1]赵静，但琦等，数学建模与数学实验，北京：高等教育出版社，2008

[2]我国营养学会推荐了合理膳食的构成指标，主要食物营养成分表，http://wenku.baidu.com/view/1e65a3e919e8b8f67c1cb9e0.html，2012-6-23

[3]营养与膳食，http://wenda.tianya.cn/wenda/thread?clk=wttpcts&hl=zh-CN&tid=65c21b85f2a51b85，2012-6-23

附录

附录一：

我国营养学会推荐了合理膳食的构成指标，其中蛋白质、脂肪、碳水化合物、维生素、钙这些营养素每人每天的供给量是：

     蛋白质： 每人每公斤体重供给1－1.5克，占总热量的12％～14％。主要由瘦肉、蛋、乳、大豆与豆制品供给。动物蛋白应占三分之一。脂肪： 每人每公斤体重供给1～1.2克，占总热量的25％～30％。主要由植物油供给。碳水化合物： 每人每天供给400－500克，占总热量的60％～65％。主要由谷物类植物食品供给。无机盐： 人体主要的无机盐供给量是：钙：600毫克；钠、钾、氯分别为6.2～3，0.5克；碘100－140微克；铁、锌、磷、镁分别为10～12，12～16，720～900，300～350毫克。每天需要摄取1800～1900卡路里的热量。

附录二：

俗话说：“吃在脸上”。这句话充分说明了“吃”是美容养颜过程中不可忽略的重要方面。所以，皮肤养护要遵循以下原则： 

1.少食肉类食品和动物性脂肪。在一定条件下，肉类食品和动物性脂肪在体内分解过程中可产生诸多酸性物质，对皮肤和内脏均有强烈的刺激性，影响皮肤的正常代谢。皮肤粗糙，往往是血液中肌酸含量增高造成的。

2.多吃植物性食物。植物性食物中富含防止皮肤粗糙的胱氨酸、色氨酸。可延缓皮肤衰老，改变皮肤粗糙现象。这类食物主要有：黑芝麻、小麦麸、油面筋、豆类及其制品、紫菜、西瓜子、葵花子、南瓜子和花生仁。 

3.注意蛋白质摄取均衡。蛋白质是人类必不可少的营养物质，一旦长期缺乏蛋白质，皮肤将失去弹性，粗糙干燥，是面容苍老。但肉类及鱼、虾、蟹等蛋白质食物过食，可引起过敏。 

4.多吃新鲜蔬菜和水果。肤色较深者，宜经常摄取萝卜、大白菜、竹笋、冬瓜及大豆制品等富含植物蛋白、叶酸和维生素C的食品；皮肤粗糙者，应多摄取富含维生素A、D的果蔬。如胡萝卜、藕、菠菜、黄豆芽等黄色，绿色蔬菜以及鸡蛋，牛奶，动物肝脏。同时还要摄取充足的维生素和足够的植物纤维素，以防止因便秘而带来的皮肤和脏器病变。 

5.少饮烈性酒。长期过量饮用烈性酒，能使皮肤干燥、粗糙、老化。少量饮用含酒精的饮料，可促进血液循环，促进皮肤的新陈代谢，使皮肤产生弹性而更加滋润。 

6.适当饮水。正常的成年人每日应饮水2000毫升左右。充足的水分供应，可延缓皮肤老化。 

7.少摄入使人肥胖的事物。肥胖是导致皮肤老化和病变的危险因素。但不可过分节食，以免皮肤失去活力。 

8.睡眠充足。充足的睡眠既可清除身体疲劳，也是使皮肤保持健美的一味良药。

 附录三：

我国主要食物营养成分表

（每百克食物所含的成分，五百克为一市斤）

玉林市的主要食品价格

（如无特别说明，以下价格为每500克的单价，单位：元）

学校食堂菜谱

（单位：元）

model:

sets:

food/1..14/:x;

element/1..3/:demand1,demand2;

sort/1..2/:de1,de2;

yuansu1(food,element):A;

yuansu2(food,sort):B;

endsets

data:

demand1=60,1800,11.34200012;

demand2=90,1900,11.57800014;

de1=60,400;

de2=72,500;

A=7.5      351     0.4    

  12      339     1.5     

1.4      19     0.7     

  2.3      22     0.5     

  0.8      13     0.5     

  0.6      13     0.4

  1.9   126  1.2

20.1  172     1.1     

 16.9  335     0.9     

  20.1  128     1.8     

  23.3  104  1.1

  16.5  134  0.9

  14.8  1  1.1

  18.1  88   1.1;

B=0.5     79

0.8      70

0.3     3

0.2     2

0.1     3

0.2     2

0.7     28

0.2     5

10.2    0

  29.2    1.1

  4        2.9

  1.2      0

  7.5      0.1

  11.6     0

  1.6    0.2;

enddata

min=@sum(food(i):x(i));

@for(element(j):@sum(food(i):x(i)*A(i,j))>demand1(j));

@for(element(j):@sum(food(i):x(i)*A(i,j))@for(sort(z):@sum(food(i):x(i)*B(i,z))>de1(z));

@for(sort(z):@sum(food(i):x(i)*B(i,z))End