初等数论考试试卷1

一、单项选择题(每题3分，共18分)

1、如果，，则(  ).

A       B     C     D  

2、如果，，则15（   ）.

A  整除   B  不整除   C  等于   D不一定

3、在整数中正素数的个数（  ）.

A  有1个    B  有限多   C  无限多   D  不一定

4、如果,是任意整数,则

A     B    C    D  

5、如果(  ),则不定方程有解.

A     B     C     D  

6、整数5874192能被(  )整除.

A  3   B  3与9   C  9   D  3或9

二、填空题(每题3分，共18分)

1、素数写成两个平方数和的方法是（    ）.

2、同余式有解的充分必要条件是(   ).

3、如果是两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数为(   ).

4、如果是素数,是任意一个整数,则被整除或者(   ).

5、的公倍数是它们最小公倍数的(   ).

6、如果是两个正整数,则存在(   )整数,使,.

三、计算题(每题8分，共32分)

1、求[136,221,391]=?

2、求解不定方程.

3、解同余式.

4、求,其中563是素数. （8分）

四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)

1、证明对于任意整数,数是整数.

2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.

3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和.

试卷1答案

一、单项选择题(每题3分，共18分)

1、D. 2、A  3、C  4、A  5、A  6、B  

二、填空题(每题3分，共18分)

1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.

2、同余式有解的充分必要条件是().

3、如果是两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数为(   ).

4、如果是素数,是任意一个整数,则被整除或者( 与互素  ).

5、的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数  ).

6、如果是两个正整数,则存在( 唯一 )整数,使,.

三、计算题(每题8分，共32分)

1、求[136,221,391]=?（8分）

解 [136,221,391]

=[[136,221],391]

                =[]

=[1768,391]                ------------(4分)

                    = 

=104391

=406.                    ------------（4分）

2、求解不定方程.（8分）

   解：因为（9，21）=3，，所以有解；  ----------------------------（2分）

    化简得；                           -------------------（1分）

考虑，有，                -------------------（2分）

所以原方程的特解为，             -------------------（1分）

因此，所求的解是。    -------------------（2分）

3、解同余式.   （8分）

解 因为(12,45)=3¦5,所以同余式有解,而且解的个数为3.     ----------（1分）

又同余式等价于,即.       ------------（1分）

我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3),----------（2分）

即定理4.1中的.                              ------（1分）

因此同余式的3个解为

,                    ---------（1分）

, -----------------（1分）

.---------（1分）

4、求,其中563是素数. （8分）

解 把看成Jacobi符号,我们有

---------------（3分）----------------------（2分）

,-----------------（2分）

即429是563的平方剩余.                  ---------------（1分）

四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)

1、证明对于任意整数,数是整数. (10分)

 证明 因为==,      ------（3分）

而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数, -----（2分）

并且(2,3)=1,                                              -----（1分）

所以从和有,-----（3分）

即是整数.                       -----（1分）

2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. （11分）

   证明 因为,                    -------------（3分）

所以只需证明.

而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成,

所以这只需将n=0,±1,±2代入分别得值1，7，1，19，7.

对于模5, 的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余,        

所以                                    ---------（7分）

所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。                  --------（1分）

3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和. （11分）         

   证明 设是正数,并且,                    ----------（3分）

如果

,                                              ---------（1分）

则因为对于模4,只与0,1,2,-1等同余,                      

所以只能与0,1同余,                                     

所以

,                              ---------（4分）

而这与的假设不符,                                 ---------（2分）

即定理的结论成立.                                                 ------（1分）