双曲线专题复习讲义

★知识梳理★

1. 双曲线的定义:

当时, 的轨迹为双曲线; 

当时, 的轨迹_____________; 

当时, 的轨迹为___________________________

2. 双曲线的标准方程与几何性质

★重难点突破★

1.注意定义中“陷阱”

问题1：已知，一曲线上的动点到距离之差为6，则双曲线的方程为         

2.注意焦点的位置

问题2：双曲线的渐近线为，则离心率为            

★热点考点题型探析★

考点1  双曲线的定义及标准方程

题型1：运用双曲线的定义

例1. 如图2所示，为双曲线的左

焦点，双曲线上的点与关于轴对称，

则的值是（ ）

A．9     B．16   C．18        D．27 

练习1.设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为        （    ）

    A．            B．12                C．            D．24

题型2 求双曲线的标准方程

[例2 ] 已知双曲线C与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）.求双曲线C的方程．

练习：1曲线与曲线的    （  ）

    A．焦距相等        B．焦点相同         C．离心率相等       D．以上都不对

2   已知椭圆和双曲线有公共的焦点，（1）求双曲线的渐近线方程（2）直线过焦点且垂直于x轴，若直线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为，求双曲线的方程

考点2  双曲线的几何性质

题型1 求离心率或离心率的范围

例3.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为     

题型2 与渐近线有关的问题

[例4]若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （  ）

A.          　　    B.      　　        C.        　　　        D.

例5、（1）已知F1、F2分别是双曲线－ =1（a>0,b>0）的左、右两焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在第一象限交双曲线于点P，若∠PF1F2=30°，求双曲线的渐近线方程．

（2）已知双曲线的渐近线方程为，求双曲线的离心率。

练习：焦点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是       （  ）

    A．       B．     C．       D．

考点3 焦点三角形

点P是双曲线上一点，F1、F2是双曲线焦点，若F1PF2=120o，

则F1PF2的面积                   

练习：设是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且，求的面积。

考点3 中点弦问题

 已知双曲线方程为,

（1）求过点P（1，2）的直线的斜率的取值范围，使直线与双曲线

有一个交点，两个交点，没有交点。

 (2) 过点P（1，2）的直线交双曲线于A、B两点，若P为弦AB的中点，

求直线AB的方程；

（3）是否存在直线，使Q（1，1）为被双曲线所截弦的中点？若存在，

求出直线的方程；若不存在，请说明理由。

变式：已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。

抛物线

基础梳理

1．抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．

2．抛物线的标准方程与几何性质

标准

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是(　　)．

A．1        B．2       C．4        D．8

2．(2012·金华模拟)已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是

(　　)．

A．x2＝－12y      B．x2＝12y

C．y2＝－12x      D．y2＝12x

3．(2011·陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程x＝－2，则抛物线的方程是

(　　)．

A．y2＝－8x      B．y2＝－4x      C．y2＝8x       D．y2＝4x

4．(2012·西安月考)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)．

A．4        B．6        C．8        D．12

5．(2012·长春模拟)抛物线y2＝8x的焦点坐标是________．

考向一　抛物线的定义及其应用

【例1】►(2011·辽宁)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)．

A.        B．1        C.        D. 

【训练1】 (2011·济南模拟)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(　　)．

A.        B．3         C.        D. 

考向二　抛物线的标准方程及性质

【例2】►(1)(2011·南京模拟)以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P(－2，－4)的抛物线方程为________．

(2)(2010·浙江)设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．

【训练2】 已知F为抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点，M为其上一点，且|MF|＝2p，则直线MF的斜率为(　　)．

A．－       B．±       C．－       D．±

考向三　抛物线的综合应用

【例3】►(2011·江西)已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.

(1)求该抛物线的方程；

(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．

解　(1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝，

由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，

所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.

(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，

从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，

从而A(1，－2)，B(4,4)；

设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)，

又y＝8x3，即[2 (2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，

即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0，或λ＝2.