2003年全国初中数学竞赛试题及答案

参与评分标准

一、选择题（每小题6分，满分30分）

1．D

由  解得  代入即得.

2．D

因为20×3<72.5<20×4，所以根据题意，可知需付邮费0.8×4=3.2（元）.

3．C

如图所示，∠B+∠BMN+∠E+∠G=360°，∠FNM+∠F+∠A+∠C=360°，

而∠BMN +∠FNM =∠D＋180°，所以

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.

(第3题图)

(第4题图)

4．D

显然AB是四条线段中最长的，故AB=9或AB=x。

（1）若AB=9，当CD=x时，，；

当CD=5时，，；

当CD=1时，，.

（2）若AB=x，当CD=9时，，；

当CD=5时，，；

当CD=1时，，.

故x可取值的个数为6个.

5．B

设最后一排有k个人，共有n排，那么从后往前各排的人数分别为k，k+1，k+2，…，k+（n－1），由题意可知，即. 

因为k，n都是正整数，且n≥3，所以n<2k+（n－1），且n与2k+（n－1）的奇偶性不同. 将200分解质因数，可知n=5或n=8. 当n=5时，k=18；当n=8时，k=9. 共有两种不同方案. 

6．.

＝。

7．1.

因为，

所以　，

解得　.

从而　，.

于是　.

8．161.

根据图中①、②、③的规律，可知图④中三角形的个数为

1+4+3×4++=1+4+12+36+108=161（个）.

9．.

如图，延长AD交地面于E，过D作DF⊥CE于F.

(第9题图)

因为∠DCF=45°，∠A=60°，CD=4m，所以CF=DF=m， EF=DFtan60°=（m）.

因为，所以（m）.

10.－4.

由于二次函数的图象过点A（－1，4），点B（2，1），所以

解得　

因为二次函数图象与x轴有两个不同的交点，所以，

，即，由于a是正整数，故，

所以≥2. 又因为b+c=－3a+2≤－4，且当a=2，b=－3，c=－1时，满足

题意，故b+c的最大值为－4. 

三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

11．如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P. 问EP与PD是否相等？证明你的结论.

解：DP=PE. 证明如下：

因为AB是⊙O的直径，BC是切线，

所以AB⊥BC.

由Rt△AEP∽Rt△ABC，得

(第11题图)

 .  ①      ……（6分）

又AD∥OC，所以∠DAE=∠COB，于是Rt△AED∽Rt△OBC.

故　②　　　……（12分）

由①，②得　ED=2EP. 

所以　DP=PE.                ……（15分）

12．某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示. 若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元. 试指出此人从A城出发到B城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？

解：从A城出发到达B城的路线分成如下两类：

（1）从A城出发到达B城，经过O城. 因为从A城到O城所需最短时间为26小时，从O城到B城所需最短时间为22小时. 所以，此类路线所需 最短时间为26+22=48（小时）.   ……（5分）

（2）从A城出发到达B城，不经过O城. 这时从A城到达B城，必定经过C，D，E城或F，G，H城，所需时间至少为49小时.    ……（10分）

综上，从A城到达B城所需的最短时间为48 小时，所走的路线为：

A→F→O→E→B.    ……（12分）

所需的费用最少为：

80×48×1.2=4608（元）…（14分）

答：此人从A城到B城最短路线是A→F→O→E→B，所需的费用最少为4608元             ……（15分）

(第12题图)

13B．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°.

（1）当点D在斜边AB内部时，求证：.

（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.

（3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.

解：（1）作DE⊥BC，垂足为E. 由勾股定理得

所以　.

因为DE∥AC，所以　.

故　.      ……（10分）

（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式仍然成立。此时有

AD=0，CD=AC，BD=AB. 

所以　，

.

从而第（1）小题中的等式成立.                      ……（13分）

（3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式不成立.

作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，则

而,

所以　.        ……（15分）

〖说明〗第（3）小题只要回答等式不成立即可（不成立的理由表述不甚清

者不扣分）.

14B．已知实数a，b，c满足：a+b+c=2，abc=4.

（1）求a，b，c中的最大者的最小值；

（2）求的最小值. 

解：（1）不妨设a是a，b，c中的最大者，即a≥b，a≥c，由题设知a>0，

且b+c=2-a，.

于是b，c是一元二次方程的两实根，

≥0，

≥0，≥0. 所以a≥4.         ……（8分）

又当a=4，b=c=-1时，满足题意.

 故a，b，c中最大者的最小值为4.　　　　　　　　　　……（10分）

（2）因为abc>0，所以a，b，c为全大于0或一正二负.

1）若a，b，c均大于0，则由（1）知，a，b，c中的最大者不小于4，这与a+b+c=2矛盾.

2）若a，b，c为或一正二负，设a>0，b<0，c<0，则

，

由（1）知a≥4，故2a-2≥6，当a=4，b=c=-1时，满足题设条件且使得不等式等号成立。故的最小值为6.                ……（15分）

13A．如图所示，⊙O的直径的长是关于x的二次方程（k是整数）的最大整数根. P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B，C是直线PBC与⊙O的交点. 若PA，PB，PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求的值.

解：设方程的两个根

为，，≤.由根与系数的关系得

(第13A图)

，  ①

.        ②

由题设及①知，，都是整数. 从①，②消去k，得

，

.

由上式知，，且当k=0时，，故最大的整数根为4.

于是⊙O的直径为4，所以BC≤4.

因为BC=PC－PB为正整数，所以BC=1，2，3或4.      ……（6分）

连结AB，AC，因为∠PAB=∠PCA，所以PAB∽△PCA，

。

故　    ③       ……（10分）

（1）当BC=1时，由③得，，于是

，矛盾！

（2）当BC=2时，由③得，，于是

，矛盾！

（3）当BC=3时，由③得，，于是

，

由于PB不是合数，结合，故只可能

解得　

此时　.

（4）当BC=4，由③得，，于是

，矛盾.

综上所述

.      ……（15分）

14A．沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式>0，那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作.

（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有≤0？请说明理由.

（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，…，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有≤0？请说明理由.

解：（1）答案是肯定的. 具体操作如下：

……（5分）

（2）答案是肯定的. 考虑这2003个数的相邻两数乘积之和为P. ……（7分）

开始时， =1×2+2×3+3×4+…+2002×2003+2003×1，经过k（k≥0）次操作后，这2003个数的相邻两数乘积之和为，此时若圆周上依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式>0，即ab+cd>ac+bd，交换b，c的位置后，这2003个数的相邻两数乘积之和为，有

.

所以，即每一次操作，相邻两数乘积的和至少减少1，由于相邻两数乘积总大于0，故经过有限次操作后，对任意依次相连的4个数a，b，c，d，一定有≤0.                        ……（15分）