数值分析考试大纲

一、  考试标准(命题原则)

1、考察学生对数值分析的基础知识（包括基本概念、基本内容、基本定理）的掌握程度以及运用已掌握的知识分析和解决问题的能力，衡量学生的数值分析及计算的能力。

2、题型比例

客观题（判断题、填空题与选择题）约30--40%

解答题（包括证明题）约60--70%

3、难易适度，难中易比例：

容易：40%，中等：50%，偏难10%。

4、考试知识点复盖率达80%以上。

二、  考试时间：120分钟（2个小时）

三、  考试对象：数学与应用数学专业本科生

四、  考核知识点

第一章  引论

(一)、知识点

§1  数值分析的研究对象

§2  数值计算的误差

§3  病态问题、数值稳定性与避免误差危害

§4  矩阵、向量和连续函数的范数

(二)、基本要求

1、了解向量和矩阵范数的定义和计算 

2、了解误差分析

第二章  插值法

(一)、知识点

§1  Lagrange插值

§2  均差与Newton插值公式

§3  插值余项的Peano估计

§4  差分与等距节点插值公式

§5  Hermite插值

§6  分段低次插值

§7  三次样条插值的计算方法

§8  三次样条插值函数的性质与误差估计

§9  B-样条函数

§10  二元插值

(二)、基本要求

   1、理解插值概念和插值问题的提法 

2、熟练掌握插值基函数、拉格朗日插值公式，会用余项定理估计误差  

3、掌握差商的概念及其性质，熟练掌握用差商表示的牛顿插值公式 

4、掌握埃米尔特插值、分段插值的定义和特点      

第三章            函数逼近

(一)、知识点

§1  正交多项式

§2  函数的最佳平方逼近

§3  最小二乘法

§4  周期函数的最佳平方逼近

§5  快速Fourier变换

§6  函数的最佳一致逼近

§7  近似最佳一致逼近多项式

§8  Chebyshev节约化

(二)、基本要求

1.了解正交多项式定义

2．理解函数的最佳平方逼近

3．掌握最小二乘法

4．掌握周期函数的最佳平方逼近

5．了解快速Fourier变换

6．理解函数的最佳一致逼近

7．了解近似最佳一致逼近多项式

8．掌握Chebyshev节约化

第四章             数值积分和数值微分

(一)、知识点

§1  Newton-Cotes求积公式

§2  复合求积公式

§3  Peano的误差表示

§4  Gauss求积公式

§5  Romberg求积公式

§6  奇异积分与振荡函数的积分

§7  二维近似求积

(二)、基本要求

1、理解数值求积的基本思想，代数精度的概念  

2、熟练掌握梯形、辛普生等低价牛顿-柯特斯求积公式 

3、掌握复化求积公式：复化梯形求积公式、复化辛普生求积公式 

4、掌握龙贝格求积公式 

5、掌握高斯求积公式的定义和特点 

6、掌握几个数值微分公式

第五章            解线性代数方程组的直接方法

(一)、知识点

§1  Gauss消去法

§2  主元素消去法

§3  直接三角分解方法

§4  矩阵的奇异值和条件数，直接方法的误差分析

§5  解的迭代改进

§6  稀疏矩阵技术介绍

(二)、基本要求

1、了解向量和矩阵范数的定义和计算 

2、掌握高斯消去法、按列选主元的高斯消去法、三角分解法 

3、了解求解特殊方程组的追赶法和Cholesky平方根法

第六章  解线性代数方程组的迭代方法

(一)、知识点

§1  迭代法的基本概念

§2  Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法

§3  超松弛(SOR)迭代法

§4  共轭梯度法

(二)、基本要求

1、掌握Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法 

2、了解方程组右端项和系数矩阵的扰动对解的影响、方程组解法的误差分析

第七章  非线性方程和方程组的数值解法

(一)、知识点

§1  单个方程的迭代法

§2  迭代加速收敛的方法

§3  Newton迭代法

§4  割线法与Muller方法

§5  非线性方程组的不动点迭代法

§6  非线性方程组的Newton法和拟Newton法

(二)、基本要求

1.掌握单个方程的迭代法

2．了解迭代加速收敛的方法

3．掌握Newton迭代法

4．掌握割线法与Muller方法

第八章  代数特征值问题计算方法

(一)、知识点

§1  特征值问题的性质和估计

§2  正交变换及矩阵分解    

§3  幂迭代法和逆幂迭代法

§4  正交相似变换化矩阵为Hessenberg形式

§5  QR方法

§6  对称矩阵特征值问题的计算

(二)、基本要求

1.了解特征值问题的性质和估计

2．理解正交变换及矩阵分解    

3．掌握幂迭代法和逆幂迭代法

4．了解正交相似变换化矩阵为Hessenberg形式

5．掌QR方法

6．掌握对称矩阵特征值问题的计算

第九章  常微分方程初值问题的数值解法

(一)、知识点

§1  基本概念、Euler方法和有关的方法

§2  Runge-Kutta方法

§3  单步法的收敛性、相容性与绝对稳定性

§4  线性多步法

§5  线性差分方程

§6  线性多步法的收敛性与稳定性

§7  一阶方程组与刚性方程组

(二)、基本要求

1、了解一阶常微分方程初值问题数值解法的一些基本概念：步长、差分格式、单步法、多步法、显式法、隐式法、局部截断误差、整体截断误差、方法的阶数 

2、掌握欧拉法、改进欧拉法、梯形格式 

3、掌握龙格--库塔法的定义和特点 

4、了解亚当姆斯线性多步法 

5、了解差分法的收敛性和稳定性概念 

6、了解常微分方程边值问题 

五、考试要求

书面答卷，闭卷考试，自带计算器。试题不要求做大型、过于复杂和冗长的计算。

六、       教材及参考数目

1. 林成森.数值计算方法（上、下）.北京：科学出版社，1998

2. 徐翠薇.计算方法引论.北京：高等教育出版社，1985