2016高考导数压轴题汇编

（全国2）（21）（本小题满分12分）

(Ⅰ)讨论函数的单调性，并证明当时，； 

(Ⅱ)证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域．

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

（山东）(20)(本小题满分13分)

已知.

（I）讨论的单调性；

（II）当时，证明对于任意的成立.

（上海）22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分

已知，函数

(1) 当时，解不等式

(2) 若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围

(3) 设，若对任意，函数在区间上的最大值和最小值的差不超过，求

的取值范围

【解析】(1)

∴不等式的解为或

(2)依题意，

∴      ①

可得

即  ②

当时，方程②的解为，代入①式，成立

当时，方程②的解为，代入①式，成立

当且时，方程②的解为

若为方程①的解，则，即

若为方程①的解，则，即

要使得方程①有且仅有一个解，则

综上，若原方程的解集有且只有一个元素，则的取值范围为或或

(3)在上单调递减

依题意，

即

∴，即

设，则

当时，

当时，

∵函数在递减

∴

∴

∴的取值范围为

（天津）（20）（本小题满分14分）

设函数,，其中

(I)求的单调区间；

(II) 若存在极值点，且，其中，求证：；

（Ⅲ）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.

（全国1）（21）（本小题满分12分）

已知函数有两个零点.

（I）求a的取值范围；

（II）设x1，x2是的两个零点，证明：+x2<2.

【答案】(I) （II）见解析

【解析】 

试题分析：(I)求导，根据导函数的符号来确定（主要要根据导函数零点来分类）；(II)借组(I)的结论来证明，由单调性可知等价于，即．设，则．则当时，，而，故当时，．从而，故．

试题解析：（Ⅰ）．

（i）设，则，只有一个零点．学科&网

（ii）设，则当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．

又，，取满足且，则

，

故存在两个零点．

（全国3）21）（本小题满分12分）

设函数，其中，记的最大值为．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求；

（Ⅲ）证明．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）直接可求；（Ⅱ）分两种情况，结合三角函数的有界性求出，但须注意当时还须进一步分为两种情况求解；（Ⅲ）首先由（Ⅰ）得到，然后分，三种情况证明

（四川）21. 【题设】（本小题满分14分）

设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R.

（I）讨论f(x)的单调性；

（II）确定a的所有可能取值，使得f(x) ＞-e1-x+在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)。

【答案】（Ⅰ）当时，<0，单调递减；当时，>0，单调递增；（Ⅱ）二分之一到正无穷大，半闭半开