实际实际问题与二次函数的最值问题

                           平乐镇一中      陈晚珍

一、教学目标：

1、能够用含有变量的代数式表示相关线段的长度，建立图形面积与变量的函数关系式，并能利用二次函数的图象或性质求图形面积的最值问题。

2、利用二次函数解决图形面积的最值问题时，学会在自变量的取值范围内求最值。

3、经历探索几何图形面积的最值过程，体会二次函数是解决最值问题的数学模型，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，感受数学的应用价值。

二、教学重、难点：

建立图形面积与变量的函数模型，在解决问题过程中关注自变量的取值范围，合理地求出最值。

三、教学过程：

（一）复习：

问题1：二次函数的开口向     ，对称轴是直线           ，顶点坐标是           ，当x为       时，y有最        值为           ；当3≤x≤5时，y有最        值为           。

设计意图：复习二次函数的基本性质，求二次函数最值的两种方法，初步感知在自变量的取值范围内求函数最值的求法和依据。为后面的习题做一些铺垫。

（二）新授：

问题：张大爷家准备用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，张大爷量得墙的长度为18米。

问题1：张大爷打算围一个面积为100平方米的菜园，张杰和张玲两名同学给出了如下表的两种方案，请问：谁的方案合理？为什么？

问题2：这个矩形的长、宽各为多少米时菜园的面积最大，最大面积是多少？

设计意图：让学生探索BC边的长与AB（x）的关系，用含AB（x）的代数式表示BC的长度，根据矩形的面积公式建立矩形（菜园）的面积S与AB（x）的函数关系式并能根据题中的条件确定自变量AB（x）的取值范围，再依据二次函数的性质求矩形（菜园）的最大面积。此问题的顶点坐标在自变量的取值范围内。(也可以把BC当成自变量x建立函数关系式。）

问题3：张大爷因年长眼花，量错墙的长度了，墙的长度只有13米。此时这个矩形的长、宽各为多少米时菜园的面积最大，最大面积是多少？

设计意图：改变墙的长度（由18米改成13米），矩形的面积S与AB（x）的函数关系式没变，但是自变量的取值范围变了，引起矩形面积最值发生变化。意在渗透分段函数的意识和分类讨论的数学思想。

问题4：在（3）的条件下，张大爷打算在菜园的一边上开一扇0.8米的门（不用篱笆）。这个矩形的长、宽各为多少米时菜园的面积最大？

设计意图：在原题的基础上加一道门，除了贴近实际生活外，提升了用含AB（x）的代数式表示BC边的难度，提升了建立图形面积与变量AB（x）之间的函数关系式的难度，又改变了自变量的取值范围。用意是提升学生的分析能力，发展学生的思维。

四、课堂小结：

问题1：解决图形面积最值的基本方法是？

问题2：你最想告诉同学们，需要注意什么问题？

问题3：这节课的学习感受了哪些数学思想？

设计意图：通过这两个问题引导学生小结解决图形面积最值的方法是建立函数模型，建模过程中准确地理解题意，准确表示相关线段的长度，根据自变量的取值范围来确定最值。

五、课外作业：

张大爷准备用用一段长30米的篱笆围成一个一边靠墙，墙长为13米,中间隔有一道篱笆的矩形菜园，为了方便出入，在如图所示位置装上0.8米宽的门,这个矩形菜园的长、宽各为多少时菜园的面积最大，最大面积是多少？

设计意图：复习本节课的知识和方法，在课堂的知识基础上增加建立函数关系式的难度，作为本节课的拓展和延伸。