一个小波变换实例及Matlab实现

2、求。

或

3、由求。

或

4、由，构成正交小波基函数

或

Haar小波的构造

1）、选择尺度函数。

易知关于n为一正交归一基。

2）、求

其中

当n=0时，

当n=1时，

故，当n=0，n=1时

当n=0时，

当n=1时，

故

3）、求。

4）、求。

=

=

=

其图形如下：

1、Haar尺度函数

Haar尺度函数空间：

  j为非负的整数，该空间又称为j级阶梯函数空间。则

随j的增加，分辨更为精细。

2、性质

函数集是的一个标准正交基。

当且仅当。

3、Haar小波函数

函数满足两点：（1）是的成员；（2）与正交。

性质：

是对称的、局部支撑的函数；

小波函数空间

是的正交互补，即

函数集是的一个标准正交基

4、Haar小波分解与重建

对Haar小波，有/2  

Haar小波分解定理：

设：

则它可以有如下分解：

把函数f分解成一个小波空间与一个尺度空间的分量

解：按照分解定理，此j=2,；k=0,1,2,3对应的系数是2,2,1，-1；代入公式，得出分解后尺度函数空间元素的系数是，；分解后小波函数空间元素的系数是，；从而

Matlab程序

image1=imread('512.jpg');

image1=rgb2gray(image1);

subplot(2,2,1);

imshow(image1);

title('original image');

image1=double(image1);

imagew= rgb2gray (imagew);

subplot(2,2,2);

imshow(imagew);

title('original watermark');

[ca,ch,cv,cd]=dwt2(image1,'db1');

[ca1,ch1,cv1,cd1]=dwt2(ca, 'db1');

[cas,chs,cvs,cds]=dwt2(ca1,'db1');

M=512;

N=;

for i=1:N

for j=1:N

Ca(i,j)=cas(i,j)+0.01*imagew(i,j);

end;

end;

IM=idwt2(Ca,chs,cvs,cds,'db1');

IM1=idwt2(IM,ch1,cv1,cd1, 'db1');

markedimage=double(idwt2(IM1,ch,cv,cd,'db1'));

subplot(2,2,3);

colormap(gray(256));

image(markedimage);

title('marked image');

image1=imread('512

image1=rgb2gray(image1);

image1=double(image1);

[ca,ch,cv,cd]=dwt2(image1,'db1');

[ca1,ch1,cv1,cd1]=dwt2(ca,'db1');

[cas,chs,cvs,cds]=dwt2(ca1,'db1');

[caa,chh,cvv,cdd]=dwt2(imaged,'db1');

[caa1,chh1,cvv1,cdd1]=dwt2(caa,'db1');

[caas,chhs,cvvs,cdds]=dwt2(caa1,'db1');

for p=1:N

for q=1:N

W(p,q)=100*(caas(p,q)-cas(p,q));

end;

subplot(2,2,4);

colormap(gray(256));

image(W);

title('从含水印图像中提取的水印');