人教版九年级数学下册各章节知识点

第二十六章　二次函数    1

26．1    二次函数及其图像    1

26．2    用函数观点看一元二次方程    6

26．3    实际问题与二次函数    6

第二十七章　相似    6

27．1    图形的相似    6

27．2    相似三角形    7

27．3    位似    7

第二十八章　锐角三角函数    8

28．1    锐角三角函数    8

28．2    解直角三角形    10

第二十九章　投影与视图    12

29．1　投影    12

29．2　三视图    12

第二十六章　二次函数 

26．1二次函数及其图像 

二次函数（quadratic function）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系： 

一般式

　　y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a) ； 

顶点式

　　y=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧２+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为（-m，k）对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数ｙ＝ax∧２的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式； 

交点式

　　y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] ； 

　　重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。 

牛顿插值公式（已知三点求函数解析式）

　　y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2) (y1为截距) 

求根公式

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 

求根公式

　　x是自变量，y是x的二次函数 

　　x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a 

　　(即一元二次方程求根公式）（如右图）　 

　　求根的方法还有因式分解法和配方法

在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像， 

　　可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 

不同的二次函数图像

如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。 

　　注意：草图要有 1本身图像，旁边注明函数。 

　　2画出对称轴，并注明X=什么 

　　3与X轴交点坐标，与Y轴交点坐标，顶点坐标。抛物线的性质 

轴对称

　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。 

　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 

　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 

顶点

　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，4ac-b^2;)/4a ) 

　　当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2;-4ac=0时，P在x轴上。 

开口

　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 

　　当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。 

　　|a|越大，则抛物线的开口越小。 

决定对称轴位置的因素

　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 

　　当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号 

　　当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号 

　　可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时 

　　（即ab＜ 0 ），对称轴在y轴右。 

　　事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的 

　　斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。 

决定抛物线与y轴交点的因素

　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 

　　抛物线与y轴交于（0，c） 

抛物线与x轴交点个数

　　6.抛物线与x轴交点个数 

　　Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 

　　Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 

　　_______ 

　　Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上 

　　虚数i，整个式子除以2a） 

　　当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在 

　　{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变 

　　当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0) 

特殊值的形式

　　7.特殊值的形式 

　　①当x=１时 y=a+b+c 

　　②当x=-1时 y=a-b+c 

　　③当x=2时 y=4a+2b+c 

　　④当x=-2时 y=4a-2b+c 

二次函数的性质

　　8.定义域：R 

　　值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a， 

　　正无穷）；②[t，正无穷） 

　　奇偶性：当b=0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数 。 

　　周期性：无 

　　解析式： 

　　①y=ax^2+bx+c[一般式] 

　　⑴a≠0 

　　⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下； 

　　⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）； 

　　⑷Δ=b^2-4ac, 

　　Δ＞0，图象与x轴交于两点： 

　　（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）； 

　　Δ＝0，图象与x轴交于一点： 

　　（-b/2a，0）； 

　　Δ＜0，图象与x轴无交点； 

　　②y=a(x-h)^2+k[顶点式] 

　　此时，对应极值点为（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a； 

　　③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式（双根式）]（a≠0） 

　　对称轴X=(X1+X2)/2 当a>0 且X≧(X1+X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a>0且X≦（X1+X2）/2时Y随X 

　　的增大而减小 

　　此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连 

　　用）。 

交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1 X2值。

26．2用函数观点看一元二次方程 

1. 如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数的值是0，因此就是方程的一个根。

  2. 二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。

26．3实际问题与二次函数 

在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。

第二十七章　相似 

27．1图形的相似 

概述

　　如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似。（相似的符号：∽） 

判定

　　如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。 

相似比

　　相似多边形的对应边的比叫相似比。相似比为1时，相似的两个图形全等。 

性质

　　相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。相似多边形的周长比等于相似比。 

相似多边形的面积比等于相似比的平方。

27．2相似三角形 

判定

　　1.两个三角形的两个角对应相等 

　　2.两边对应成比例,且夹角相等 

　　3.三边对应成比例 

　　4.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。 

例题

　　∵∠A=∠A'; ∠B=∠B' 

　　∴△ABC∽△A'B'C' 

性质

　　1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。 

　　2.相似三角形周长的比等于相似比。 

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方

27．3位似 

如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

性质

　　位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。 

位似多边形的对应边平行或共线。

位似可以将一个图形放大或缩小。

位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。 

　　根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。 

　　注意 

　　1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形； 

　　2、两个位似图形的位似中心只有一个； 

　　3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧； 

　　4、位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似； 

5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。

第二十八章　锐角三角函数 

28．1锐角三角函数 

锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角A的锐角三角函数。 

　　正弦（sin）等于对边比斜边， 

　　余弦（cos）等于邻边比斜边 

　　正切（tan）等于对边比邻边； 

　　余切（cot）等于邻边比对边 

　　正割（sec)等于斜边比邻边 

　　余割 (csc)等于斜边比对边 

正切与余切互为倒数 

互余角的三角函数间的关系。

sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα, 

tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.

同角三角函数间的关系

　　平方关系： 

　　sin^2(α)+cos^2(α)=1 

　　tan^2(α)+1=sec^2(α) 

　　cot^2(α)+1=csc^2(α) 

　　·积的关系： 

　　sinα=tanα·cosα 

　　cosα=cotα·sinα 

　　tanα=sinα·secα 

　　cotα=cosα·cscα 

　　secα=tanα·cscα 

　　cscα=secα·cotα 

　　·倒数关系： 

　　tanα·cotα=1 

　　sinα·cscα=1 

　　cosα·secα=1 

　　直角三角形ABC中, 

　　角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 

　　余弦等于角A的邻边比斜边 

　　正切等于对边比邻边, 

余切等于邻边比对边

三角函数值

　　（1）特殊角三角函数值 

　　（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。 

　　（3）锐角三角函数值的变化情况 

　　（i）锐角三角函数值都是正值 

　　（ii）当角度在0°～90°间变化时， 

　　正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 

　　余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 

　　正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 

　　余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 

　　（iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时， 

　　0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0, 

　　当角度在0°<α<90°间变化时， 

　　tanα>0, cotα>0. 

　　特殊的三角函数值 

　　0° 30° 45° 60° 90° 

　　0 1/2 √2/2 √3/2 1 ← sinα 

　　1 √3/2 √2/2 1/2 0 ← cosα 

　　0 √3/3 1 √3 None ← tanα 

　　None √3 1 √3/3 0 ← cotα

28．2解直角三角形 

勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”） 

　　a^2+b^2=c^2, 其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。 

　　勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如：3，4，5。他们分别是3，4和5的倍数。 

常见的勾股弦数有：3，4，5；6，8，10；等等.

直角三角形的特征

⑴直角三角形两个锐角互余；

⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

⑶直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半；

⑷勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即：

在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则a2+b2=c2；

⑸勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，则这个三角形是直角三角形，即：在△ABC中，若a2+b2=c2，则∠C＝90°；

⑹射影定理：AC2=ADAB,BC2=BDAB,CD2=DADB．

锐角三角函数的定义：

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，

∠A，∠B，∠C所对的边分别为a,b,c,

则sinA=,cosA=,tanA=,cotA=

特殊角的三角函数值：（并会观察其三角函数值随的变化情况）

解直角三角形（Rt△ABC,∠C＝90°）

⑴三边之间的关系：a2+b2=c2．

⑵两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°．．

⑶边角之间的关系：sinA=,cosA=．

                tanA=,cotA=．

⑷解直角三角形中常见类型：

①已知一边一锐角．

②已知两边．

③解直角三角形的应用．

第二十九章　投影与视图 

29．1　投影 

一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影（projection），照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。 

有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。由平行光线形成的投影是平行投影（parallel projection).

由同一点（点光源发出的光线）形成的投影叫做中心投影（center projection)。投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。

投影线平行于投影面产生的投影叫做平行投影。

物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关。

29．2　三视图 

三视图是观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形。 

　　将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓用正投影法绘制出来该图形称为视图。一个物体有六个视图：从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图——能反映物体的前面形状，从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状，从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状， 

还有其它三个视图不是很常用。三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称。

特点：一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。

主视、俯视 长对正 

物体的投影

主视、左视 高平齐 

左视、俯视 宽相等 

　　在许多情况下，只用一个投影不加任何注解，是不能完整清晰地表达和确定形体的形状和结构的。如图所示，三个形体在同一个方向的投影完全相同，但三个形体的空间结构却不相同。可见只用一个方向的投影来表达形体形状是不行的。一般必须将形体向几个方向投影，才能完整清晰地表达出形体的形状和结构。 

　　一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。

   画法：根据各形体的投影规律，逐个画出形体的三视图。画形体的顺序：一般先实（实形体）后空（挖去的形体）；先大（大形体）后小（小形体）；先画轮廓，后画细节。画每个    

形体时，要三个视图联系起来画，并从反映形体特征的视图画起，再按投影规律画出其他两个视图。对称图形、半圆和大于半圆的圆弧要画出对称中心线，回转体一定要画出轴线。对称中心线和轴线用细点划线画出。