数学（理工类）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．点)2007sin ,2007(cos ︒︒P 落在直角坐标系中的第（ ）象限.
A ．一
B ．二
C ．三
D ．四
2．在数列}{n a 中，已知)(,5,1*
1221N n a a a a a n n n ∈-===++，则2007a ＝ A.1 B.5 C.4 D.－1
3．从点P (向圆221x y +=作两条切线PA 、PB ，切点为A 、B.则弦AB 所在的直线的倾斜角的大小为
A.
6π B ．3
π C ．23π D ．56π
4．已知两条不同直线a 、b ，两个平面,αβ，且α//β，a ⊥α，设命题p ：b //β；命题q ：a ⊥b ，则p
是q 成立的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．已知命题p ：曲线θθθ
(,sin 32cos 31⎩
⎨⎧+=+-=y x 为参数）所围成图形的面积被直线x y 2-=平分；命题q ：若抛物线
ay x =2上一点)2,(0x P 到焦点的距离为3，则.2=a 那么下列说法正确的是
A ．命题“p 且q ”为真
B ．命题“p 或q ”为假
C ．命题“非p ”为假
D ．命题“q ”为真 6．若二项式6)1(x x x -
展开式中的第5项是5，则)1
11(lim 123-∞→+++n n x
x x 等于
A.21
B.83
C.1
D.8
9 7.某学生忘记了自己的QQ 号，但记得QQ 号是由一个2，一个5，两个8组成的四位数，于是用这四个数随意排
成一个四位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的QQ 号最多尝试次数为
A.6
B.12
C.18
D.24
8.已知函数x x f =)(，)(x g 是定义在R 上的偶函数，当x ＞0时，x x g ln )(=，则函数)()(x g x f y ⋅=的大致图象为
9．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过ml mg 2.0。如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到ml mg 8.0，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时%50的速度减少，则他至少要经过（ ）小时后才可以驾驶机动车.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10.已知椭圆C 1：
19
252
2=+y x 的左准线为l ，左、右焦点分别为F 1、F 2，抛物线C 2的准线也为l ，焦点是F 2，若C 1与C 2的一个交点为P ，则｜PF 2｜＝
A.425
B.940
C.9250
D.9
50 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡对应题号的横线上.
11．复数)( R y x yi x z ∈+=、满足|2||4|+=-z i z ，则y
x 42+的最小值是______.
12.已知{(,)|6,0,0}x y x y x y Ω=+≤≥≥，{(,)|4,0,20}A x y x y x y =≤≥-≥，若向区域Ω上随机投一点
P ， 则点P 落入区域A 的概率为 .
13．如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正四边形“扩展”而来，……如此类推.设由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为n a ，则6a = ； 34599
1111a a a a +++⋅⋅⋅+＝ . (前一空2分,后一空3分)
14.关于函数1,0
()2,0x e x f x ax x -⎧-≤=⎨>⎩
，（a 是常数且a ＞0）。
对于下列命题：
①函数()f x 的最小值是0； ②函数()f x 在每一点处都连续； ③函数()f x 具有反函数； ④函数()f x 在R 上是增函数； 其中正确命题的序号是 .
15． M 是空间任意一点，双曲线
22
145
x y -=的左右焦点分别为点A 、B ，C 是直线AB 上的一点，若23MA MB MC +=，则以C 为焦点，以坐标原点O 为顶点的抛物线的方程为
2007届高三数学综合考试（1）答卷
班级 班号 姓名
选择题（每小题5分，共50分）
二、
填空题（每小题5分，共25分）
11、 12、 13、
14、 15、
三．解答题：本大题共６小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)在⊿ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知
2cos cos cos c bc A ca B ab C =++．
（Ⅰ）试判断⊿ABC 的形状；
（Ⅱ）若3,9,AB BC AB AC ⋅=-⋅=求角B 的大小．
17.（本小题满分12分）某足球俱乐部2006年10月份安排4次体能测试，规定：按顺序测试，一旦测试合格就不必参加以后的测试，否则继续参加后面的测试.若运动员小李4次测试每次合格的概率组成一个公差为18
的等
差数列，他第一次测试合格的概率不超过12，且他直到第二次测试才合格的概率为932
.
(Ⅰ)求小李第一次参加测试就合格的概率1p ；
(Ⅱ)求小李10月份参加测试的次数ξ的分布列和数学期望.
18.(本小题满分12分) 如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各棱长都等于2，D 在AC 1上， F 为BB 1中点，且FD ⊥AC 1，
(1)试求
1
DC AD
的值； (2)求二面角F -AC 1-C 的大小; (3)求点C 1到平面AFC 的距离.
19.（本小题满分13分）
已知函数()log a f x x =和()2log (22),(0,1,)a g x x t a a t R =+->≠∈的图象在2x =处的切线互相平行. (Ⅰ)求t 的值；
(Ⅱ)设)()()(x f x g x F -=，当[]1,4x ∈时，()2F x ≥恒成立，求a 的取值范围.
20. (本题满分14分) 已知数列{}n b 中，111
7b =
, 12n n n b b b +=+.数列{}n a 满足:1()2
n n a n N b *=∈-
(Ⅰ) 求证: 1210n n a a +++=； (Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅲ) 求证：2*12(1)(1)(1)1()n n b b b n N -+-++-<∈.
21.（本小题满分14分）
已知双曲线C ：λλ(9
42
2=-y x 是常量），直线21,l l 分别是双曲线C 的两条渐近线，又P 1、P 2分别是21,l l 上的动点，且满足8
45
2
1-=⋅OP OP ，又212PP P P =，其中P 是双曲线C 上的一点 (Ⅰ)求λ的值；
(Ⅱ)过点M （0,1）的直线交双曲线C 右支于A 、B 两点，Q （0x ，0）是x 轴上一点，且0)(=⋅+AB QB QA ，求0x 的取值范围.
2007届高三数学综合考试（1）参
一.选择题:CCDAC BBABD 二.填空题: 11. 24 12. 9
2
13. 42 , 97300 14. ①② 15. 24y x =
三.解答题.
16. 解：（Ⅰ）由余弦定理得：
222222222
2222b c a c a b a b c
c bc ca ab bc ca ab
+-+-+-=⋅+⋅+⋅
故：2
22c a b =+ ,所以⊿ABC 是以角C 为直角的直角三角形。
（Ⅱ）3()3AB CB CA AB BC CB CA BC =-⋅=-∴-⋅=-又
故2
3BC
BC =∴=同理 3AC = 在Rt ⊿ABC 中，tan 33
AC B B BC
π=
=∴=
17.解: ①依题意有,(1-
1p )(1p +
18)=9
32
, 21111111511322850,,;,.4824
p p p p p p -+==
=≤=即解得,或又故 23412312335
1(2),,9151(1),(2),(3)(1)(1),
432
15157
(4)(1)(1)(1)1
p p p p p p p p p p p p p E ξξξξξξ=========--===---⨯==的所有可能取值为1,2,3,4.由已知有,故 18解：19.解(方法1)(1)连AF ，FC 1，∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1是正三棱柱且各棱长都等于2，又F 为BB 1中点，∴Rt △ABF =Rt △C 1B 1F ，∴AF =FC 1.又在△AFC 1中，FD ⊥AC 1，所以D 为AC 1的中点，即
1
DC AD
=1.
(2)取AC 的中点E ，连接BE 及DE ，易得DE 与FB 平行且相等， ∴四边形DEBF 是平行四边形，∴FD 与BE 平行.
∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1是正三棱柱,∴△ABC 是正三角形,∴BE ⊥AC ，∴FD ⊥AC . 又∵FD ⊥AC 1，∴FD ⊥平面ACC 1，所以二面角F -AC 1-C 的大小为90°， (3)运用等积法求解，AC ＝2，AF ＝CF ＝
5，可求S
△ACF
＝2，
V F-ACC 1= V B-ACC 1=
31×3×=3
32，V F-ACC 1
= V C 1
-ACF =31S △ACF ×h ，求得h =3. 19.解：(Ⅰ)
14
()log ,()log 22
a a f x e g x e x x t ''==+- ∵函数()f x 和()g x 的图象在2x =处的切线互相平行(2)(2)f g ''∴= 14log log 22
a a e e t ∴=+ 6t ∴= （Ⅱ）6t =,()()()F x g x f x ∴=-2log (24)log a a x x =+－[]2
(24)log ,1,4a
x x x
+=∈ 令[]2(24)16
()416,1,4x h x x x +=
=++∈ []221(2)(2)()4,1,4x x h x x -+'=-=∈
∴12x ≤
<时，()0h x '<, 24x <≤时，()0h x '>.
即)(x h 在
[)1,2是单调减函数，在(]2,4是单调增函数.
min ()(2)32h x h ∴==，()(1)(4)36max h x h h ∴===
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