如何提高高中数学计算能力

美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。

高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：

1常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；

2数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；

3数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；

4常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。

数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。

数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。

可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。

      在学习数学方面，计算能力的重要性不言而喻。高考中，计算能力的好坏可以说决定着考试的成败。然而，提高计算能力又决非易事。如何解决这一困扰众多考生的大难题呢？下面，我将从自己高三的经历出发，谈一点心得体会，希望能对大家有所帮助。

     首先，同学们要有信心去挑战这一难题，别总是想着，“我数学差，提高不了。”计算能力强绝非尖子生的专利，只要肯下工夫，谁都能在这方面有所突破。其次，要克服浮躁的心态。计算能力的提高不可能一蹴而就，同学们要有打持久战的准备。沉稳、冷静、细致乃是攻克这一难关的核心要诀！另外，一定要能吃苦，空有三分钟热情的人是注定啃不下计算难关的，只有付出别人无法付出的努力，吃别人吃不了的苦，成功的大门才有可能为你敞开。总之，自信、耐心、刻苦市提高计算能力的必要条件！请同学们务必努力做到。

    给大家提供一些解答计算类题的方法，希望对大家有所帮助。

一、示范性题组

1、圆锥曲线专题。

     圆锥曲线方面的题目一直令人谈虎色变，计算量大，题目要素关系复杂使得圆锥曲线成为众多考生的梦魇。那么，我们又该如何去征服这一数学恶魔呢？请同学们看例题。

     例1：已知曲线C上任意一点P到定点F1(-，0)和F2(,0)的距离之和为4。求曲线C的方程。

     思路分析：这是一道十分典型的圆锥曲线题目。考查的是考生对椭圆概念的理解和相关知识，属于基础性问题。同学们在面对这一问题时，应对自己的能力有充分信心，冷静回忆所学的知识，寻找恰当的突破口。以本题为例，曲线上动点到两点距离之和为定值，显然与椭圆概念相符。因而，同学们应从椭圆概念出发，设立相关表达式。解法如下：

解：根据椭圆定义，可知动点P轨迹为椭圆。

其中a=2,c=3, 则b==1

所以动点P轨迹方程为+y2=1

     寥寥数笔，问题解决，同学们是否一种快感呢？

     可见，提高圆锥曲线类题目首要方法是：熟悉概念。

解完题后，大家一定要总结一下解题的成功方法：

熟练掌握直线，圆锥相关的概念。

冷静、耐心地运算。（别怕烦，这种题没有太多的技巧，拼命算就行了。）

例2：已知点F（1，0），直线L:x=-1，点B是L上的动点，若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线相交于点M。

     求点M的轨迹C的方程

     （与椭圆相比，抛物线的解答较易，运算量较小，同学们只要时刻记住从其概念出发，一切问题都会迎刃而解）

     解：由已知，得|MF|=|MB|，据抛物线的定义，点M的轨迹是以F为焦点，L为准线的抛物线，其方程为y2=4x（抛物线定义与垂直平分线定义的理解）

    心得：上述2道题只是反映了圆锥曲线问题的其中一些方面，同学们要想彻底解决这一难题，还需付出大量的心血与汗水。但是，“艰难困苦，玉汝于成”，我相信，经历“地狱”磨炼的你们，一定能拥有打造天堂的力量。总之，当同学们与圆锥曲线“狭路相逢”时，一定要沉着冷静，熟练运用相关定义，灵活使用各种解题方法。只有这样，复杂的关系，繁冗的计算才会变得“和蔼可亲”，为大家 让开通往成功的路！二、2、数列专题

     数列的题目是高考常客，部分题目兼有思维和计算方面的难度。成功解决数列题目，对高考成功有着不同寻常的意义。下面，我将从一些常见方法入手，带大家去挑战数列难题。

     例1、已知正项数列{an}的通项公式为an=2n-1，若bn=，求{bn}的前n项和Tn。

     解：由题意，得

     bn==（2n-1）·（好戏在下面）

     Tn=1×+3×+…+（2n-1）·①

     Tn=     1×+…+（2n-3）·+（2n-1）—②

     （这就是数列中又一条金钥匙——错位相减此类题目计算较复杂，为防出错，请同学们将相减项排在同一列，看起来一目了然）。

     ①-②，得Tn=+2（++…+）-（2n-1）·

     ∴Tn=1+4·×-（2n-1）·=1+2（1--（2n-1）·

        =3-4--（2n-1）·=3-（2n-1）·

     （复杂的运算，同学们务必要有勇气和毅力去挑战，多少“数学高手”就是栽在这里！因而，过了这关，你的数例知识定有质的飞跃。P.S：算完后别忘合并同类项）

例2、已知an=，若数列｛bn｝满足bn=anan+1·3n，Sn=b1+b2+b3……+bn,求Sn

     解： bn=anan+1·3n=···3n=

     =（你可能发现了，这就是裂项相消法的“前奏曲”,将裂成需要细致的观察和熟练的运算技巧，同学们只要多练此类题目，慢慢就能把裂项相消法运用自如）

     Sn=b1+b2+……+ bn=（-）+（-）+……+（-）=

     大功告成，裂项相消的精髓就在于此，裂项时，同学们千万要细心，要留意各项分子的部分！）

    心得：其实，数列的难题也不是那么可怕嘛！看完这几道例题后，同学们应该能总结出一些规律吧！提高数列的计算能力，我们应做到：

     1、熟练运用裂项相消、错位相减，放缩等常见方法

     2、学会观察题中式子的结构，寻找化简的突破口。

     3、考虑问题一定要全面，千万别漏了n=1之类的情况。

     总之，希望这几点小小的建议能使同学们有所启迪，从而扬起自信的风帆，征服数列的大海！

    3、函数与导数专题

     自高考出现之日起，函数的题目从没离开过高考试卷，函数与导数相结合，更是高考常见题型。函数与导数的题目，对考生思维能力和计算能力均有较高要求，解决此类问题，除有赖于成熟的方法技巧外，更离不开耐心细致的计算，同学们在做题时，务必以“稳”字当头，一味求快将会带来无尽的遗憾，下面，我们还是从例题出发，与函数、导数一决高下！

     例1   已知函数若k=e,试确定函数f(x)的单调区间

     解：（求单调区间时，求导是常见方法，同学们优先考虑）

     由k=e,得f(x)=ex-ex,则f’(x)=ex-e (熟记求导公式) 由f’(x) ＞0,得x＞1,由f’(x) <0,得x＜1,

     (此步较简单,同学们注意细心算)

     ∴f(x)的单调递增区间为(1，+∞),递减区间为(-∞，1)

     （上题为函数与导数结合之经典例题，包含了求导的常规方法，同学们应在熟悉掌握这些方法的基础上，冷静、全面地考虑问题，昼避免失分）

     例2、已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a、b为常数）是奇函数，并且它的图象在x=1处的切线斜率为6

     求实数a、b的值

      (本题为函数奇偶性与导数切线知识结合考查。)

     解：依题意得f(-x)=-f(x),即(-x)3+a(-x)2+b(-x)=-x3-ax2-bx  

     ∴a=0（耐心化简）, f(x)=x3+bx（函数奇偶性知识的运用）则f’(x)= 3 x2+b

     依题意得k= f’(1)=3+b=6   

     ∴b=3(切线知识)

     （同学们，解决本题的关键在于熟悉切线的概念并灵活地运用，这是我们克敌制胜的“倚天长剑”！）

    心得：上述2道例题均为有代表性的函数与导数结合的题目，透过这几道例题，我们不难发现，相比起数列，导数方面的技巧性不是太强，它更需要我们踏踏实实，一步一步地去分类讨论，运算，除细致，全面外，此类问题的解决离不开同学们的毅力与勇气。函数与导数类的题目既是思维与运算的完美结合体，又能全面体现一个人的数学水平和心理素质。只有熟练方法，不畏艰难的同学，才能又好又快地计算此类计算此类难题。

4．其他专题

     大的计算专题就讲到这里，接下来，我将为大家补充几道其他方面的典型题目，希望能有助于提高同学们在这些方面的计算能力。

例1、三角函数与正余弦定理

已知在Δabc中，a、b、c分别为的对边，

（Ⅰ）求∠C的大小。

（Ⅱ）求a+b的值

（三角函数与正余弦定理在高中的难度逐年降低，但始终是必考题。此类题目的计算时常能出现“浅水淹死鸭”的结果。因而，同学们还是要多加小心）

解：（1）

（防止此类计算出错的关键在于准确运用公式）

（Ⅱ）由题意可知：

（三角形面积公式的化简运用）

（余弦定理与完全平方公式的综合应用，可使计算又准又快）

由上题可见，此类题目比较简单，同学们只要熟悉公式，快速完成此类题目应不成问题）

例2、（线性回归方程）

下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据

X     3     4     5     6

y     2.5     3     4     4.5

请根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程

（线性回归系列的题目是同学们比较生疏的一类题。在不允许使用计算器的情况下，运算量较大。）

（）

解：由题所给数据计算得：

（答案上写得简单，运算过程可不简单）

     由最小二乘法确定的回归方程系数为

     终于算出来了，坚持就是胜利！

     因此，所求的线性回归方程为y=0.7x+0.35

在没有计算器的情况下，大家必须坚持计算，多找些类似题目做，工多自然手熟！在平常做题时，大家千万别养成计算器的习惯，否则高考时将后悔莫及！）

二、能力训练

1．已知直线x+y-1=0与椭圆相交于A、B两点，M是线段AB上的一点， ,且M在直线L：上。

求椭圆离心率

（离心率的计算向来是综合考查思维与运算能力的“招牌菜”，对离心率的计算如把握不好，极易引发很多不必要的麻烦，同学们得留点神）

解：由,知M是AB的是AB的中点（向量的知识）

设AB两点坐标分别为A(x1,y1)、B（x2,y2）由            , ,得（a2+b2）x-2a2x+a2-a2b2=0

（联立方程组的思想，永远是“万金油”）

     所以x1+x2=y1+y2=-(x1+x2)+2=耐心！

     M点坐标为（，）（中点的知识）

     又M在直线L上，=0

     a2=2b2=2(a2-c2)   a2=2c2    e=

     （离心率的计算，务必要从e=出发找相应的关系，尽可能找到a与c的等量关系，b这个量常用b2=a2-c2加以消去。）

     2．已知等比数列｛bn｝的通项公式为bn=，记cn=,数列｛cn｝前n项和为Sn，求证Sn＜

     解： Cn===+（关键！注意学会把分子构造成与分母相似的结构以利于约分，这是一种十分巧妙的运算方法！）

     ∴Cn＜+（精华所在！这是巧妙地运用了“放缩法”）

     所以Sn=c1+ c2+ ……cn＜+(++……+)

     =+（1-）＜

     （本题精髓在于“放缩法”的应用。“放缩”看似高深实则不难，当同学们在解题中看到形如“数列前n项和大于（或小于）某数或式子时，应多考虑“放缩”。通俗来看，“放缩”就是将式子中累赘多余部分干掉。学会“放缩法”，你的运算能力定会大有提高，同时可以少走弯路！

3、已知函数f(x)=x2-4ax+a2(a∈R)，设函数g(x)=2x3+3af(x)，如果g(x)在 (0，1)上存在极小值，求a的取值范围。

     解：g(x)=2x3+3ax2+3a3   ,    g’(x)=6x2+6ax-12a2=6(x-a)(x+2a)

     （十字相乘法的运用能大大减轻计算负担）

     ①当a=0时，g’(x)=6x2≥0, g(x)在R上递增，没有极值点，与条件不符（细心！别漏此情况）

     ②当a＞0时，-2a＜a由g’(x) ＞0解得x＜-2a或x>a,由g’(x) ＜0解得-2a＜x＜a，∴g(x)的单调区间为(-∞，2a)和（a，+ ∞），递减区间为（-2a，a）,则在g(x)处x=a处取得极小值，由已知得0＜a＜1

     （注意紧扣题目要求解题，留意a的设定范围）

     ③当a＜0时，同理可求得g(x)在x=-2a处取得极小值，从而0＜-2a＜1，则-＜a＜0。

     综上所述，实数a的取值范围是（-，0）∪（0，1）

     （上题综合考查同学们二次不等式，极值等方面知识，熟悉“十字相乘”等解二次不等式的方法是解答此类问题提高计算能力之关键。本题的另一焦点是分类讨论方法的运用，分类讨论时，细心、全面的考虑是必不可少的。分类讨论的成功有赖于同学们平常的大量训练和良好的考场心态。只有参悟“细、稳、全”三字的真谛，同学们才不会在分类讨论步骤上“摔跟头”）