...3】[知识点整理及重点题型梳理] 条件概率 事件的相互性(理...

知识点梳理

重点题型（常考知识点）巩固练习 

   条件概率 事件的相互性

【学习目标】

1．了解条件概率的概念和概率的乘法公式．

2．能运用条件概率解决一些简单的实际问题．

3．了解两个事件相互的概念，会判断两个事件是否为相互事件．

4．能运用相互事件的概率解决一些简单的实际问题．

【要点梳理】

要点一、条件概率的概念

1.定义

设、为两个事件，且，在已知事件发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率。用符号表示。

读作：发生的条件下B发生的概率。

要点诠释

在条件概率的定义中，事件A在“事件B已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的．而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率．

 2．P（A｜B）、P（AB）、P（B）的区别

P（A｜B）是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

P（AB）是事件A与事件B同时发生的概率，无附加条件。

P（B）是事件B发生的概率，无附加条件．

它们的联系是：．

要点诠释

一般说来，对于概率P(A|B)与概率P(A)，它们都以基本事件空间Ω为总样本，但它们取概率的前提是不相同的。概率P(A)是指在整个基本事件空间Ω的条件下事件A发生的可能性大小，而条件概率P(A|B)是指在事件B发生的条件下，事件A发生的可能性大小。

例如，盒中球的个数如下表。从中任取一球，记A=“取得篮球”，B=“取得玻璃球”。基本事件空间Ω包含的样本点总数为16，事件A包含的样本点总数为11，故。

要点二、条件概率的公式

1．计算事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，常有以下两种方式：

    ①利用定义计算．

    先分别计算概率P（AB）及P（B），然后借助于条件概率公式求解．

    ②利用缩小样本空间的观点计算．

    在这里，原来的样本空间缩小为已知的条件事件B，原来的事件A缩小为事件AB，从而，即：，此法常应用于古典概型中的条件概率求解．

要点诠释

概率P(B|A)与P(AB)的联系与区别：

联系：事件A，B都发生了。

区别：

 ①在P(B|A)中，事件A，B发生有时间上的差异，事件A先发生事件B后发生；在P(AB)中，事件A，B同时发生；

②基本事件空间不同:在P(B|A)中，事件A成为基本事件空间；在P(AB)中，基本事件空间仍为原基本事件空间。

  2．条件概率公式的变形．

    公式揭示了P（B）、P（A｜B）、P（AB）的关系，常常用于知二求一，即要熟练应用它的变形公式如，若P（B）＞0，则P（AB）=P（B）·P（A｜B），该式称为概率的乘法公式．

要点诠释

    条件概率也是概率，所以条件概率具有概率的性质．如：

    ①任何事件的条件概率取值在0到1之间；

    ②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0；

    ③条件概率也有加法公式：

    P（B∪C｜A）=P（B｜A）+P（C｜A），

其中B和C是两个互斥事件．

 要点三、相互事件

1.定义：

事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率没有影响，即，这样的两个事件叫做相互事件。

若与是相互事件，则与，与，与也相互。

2．相互事件同时发生的概率公式：

对于事件A和事件B，用表示事件A、B同时发生。

（1）若与是相互事件，则；

（2）若事件相互，那么这个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，

即：。

要点诠释

（1）P（AB）=P（A）P（B）使用的前提是A、B为相互事件，也就是说，只有相互的两个事件同时发生的概率，才等于每个事件发生的概率的积．

（2）两个事件、相互事件的充要条件是。

3．相互事件与互斥事件的比较

互斥事件与相互事件是两个不同的概念，它们之间没有直接关系。

互斥事件是指两个事件不可能同时发生，而相互事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响。

一般地，两个事件不可能既互斥又相互，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互事件是以它们能够同时发生为前提的。相互事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的。

   4. 几种事件的概率公式的比较

已知两个事件A，B，它们发生的概率为P（A），P（B），将A，B中至少有一个发生记为事件A+B，都发生记为事件A·B，都不发生记为事件，恰有一个发生记为事件，至多有一个发生记为事件，则它们的概率间的关系如下表所示：

类型一、条件概率

例1．甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20％和18％，两地同时下雨的比例为12％，问：

    （1）乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率为多少？

    （2）甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为多少？

【思路点拨】（1）在乙地为雨天的事情业已发生的情况下，求甲地也下雨的概率，为典型的条件概率问题。

【解析】设A表示“甲地为雨天”，B表示“乙地为雨天”，则根据题意有P（A）=0.20，P（B）=0.18，

P（AB）=0.12．

    （1）；

    （2）．

【总结升华】这类条件概率的应用问题，首先分清一前一后两事件的发生，前面的事件对后面的事件的发生有没有影响。若没有影响，就是无条件概率；若有影响，就是条件概率，然后根据相应的公式计算即可。

举一反三：

【变式1】 甲、乙两名推销员推销某种产品，据以往经验，两人在一天内卖出一份产品的概率分别为和，两人在一天内都卖出一份产品的概率为，问：

（1）在一天内甲先卖出一份产品乙后卖出一份产品的概率是多少？

（2）在一天内乙先卖出一份产品甲后卖出一份产品的概率是多少？

【答案】

事件A=“甲在一天内卖出一份产品”，事件B=“乙在一天内卖出一份产品”，

因为两人在一天内卖出一份产品的概率分别为和，两人在一天内都卖出一份产品的概率为，

所以，，。

（1）因为“在一天内甲先卖出一份产品乙后卖出一份产品”这一事件是甲在一天内卖出一份产品后，乙卖出一份产品，所以由条件概率公式，可得；

（2）因为“在一天内乙先卖出一份产品甲后卖出一份产品”这一事件是乙在一天内卖出一份产品后，甲卖出一份产品，所以由条件概率公式，可得。

【变式2】（2016  枣庄一模）已知A与B是两个事件，，，则P（A｜B）=（ ）

A． ． ． ． 

【答案】D

由条件概率的计算公式，可得, 故选D。

【变式3】一个盒子中装有6只好晶体管和4只坏晶体管，任取两次，每次取1只，第一次取后不放回，若第一次取到的是好的，则第二次也取到好的概率为（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】C

设=“第次取到好的晶体管”（=1，2）。

因为，，

所以。

 【条件概率 事件的相互性 408736 例题1】

 例2． 5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：

    （1）第1次抽到理科题的概率；

    （2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；

    （3）在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题概率

  【思路点拨】  本题考查古典概型、条件概率．（1）和（2）中利用解决，（3）利用条件概率公式解决．

  【解析】 设“第1次抽到理科题”为事件A，“第2次抽到理科题”为事件B，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB．

    （1）．

    （2）．

    （3）．

  【总结升华】 

（1）求条件概率的关键就是要抓住事件A作为条件和事件A与B同时发生这两件事，然后具体问题具体对待。

    （2）本题第（3）问可用下面的方法求解：

         用n（A）表示事件A中包含的基本事件个数，

         则n（A）=12，n（AB）=6，

故．

举一反三：

【变式1】某学校一年级共有学生100名，其中男生60人，女生40人；来自北京的有20人，其中男生12人，若任选一人是女生，问该女生来自北京的概率是多少？

【答案】用A表示“任选一人是女生”，B表示“任选一人来自北京”，依题意知北京的学生有8名女生，这是一个条件概率问题，即计算P（B｜A）．

    由于，，

    ∴．

【变式2】在10支铅笔中，有8支正品，2支次品，若从中任取2支，则在第1次取到的是次品的条件下，第二次取到正品的概率是（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】C

利用缩小样本空间的方法求解。

因为第一次取到1支次品，还剩9支铅笔，其中有8支正品，

所以第二次取正品的概率是。

【变式3】盒中装有5件产品，其中3件一等品，2件二等品，从中不放回地抽取产品，每次抽取1件，求：

（1）取两次，两次都取得一等品的概率；

（2）取两次，第二次取得一等品的概率；

（3）取两次，已知第二次取得一等品，第一次取得的是二等品的概率。

【答案】事件Ai为“第i次取到一等品”，其中i=1，2，

（1）取两次，两次都取得一等品的概率为

；

（2）取两次，第二次取得一等品的概率，即第一次有可能取到一等品，也有可能取到二等品，

可得；

（3）取两次，已知第二次取得一等品，第一次取得的是二等品的概率，

即。

例3.  1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问从2号箱取出红球的概率是多少？

  【思路点拨】 从2号箱取出红球，有两种互斥的情况：一是当从1号箱取出红球时；二是当从1号箱取出白球时．

  【解析】  记事件A：从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球．

    则，，

    ，，

    从而

    ．

【总结升华】 求复杂事件的概率，可以把它分解为若干个互不相容的简单事件，然后利用条件概率公式和乘法公式，求出这些简单事件的概率，最后利用概率的加法公式，得到最终结果．

举一反三：

【变式】 一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么：

    （1）先摸出一个白球不放回，再摸出—个白球的概率是多少？

    （2）先摸出一个白球后放回，再摸出一个白球的概率是多少？

【答案】

（1）设“先摸出一个白球不放回”为事件A，“再摸出一个白球”为事件B，则“先后两次摸到白球”为事件AB，

∴，．

∴．

    （2）设“先摸出一个白球放回”为事件A1，“再摸出一个白球”为事件B1，则“两次都摸到白球”为事件A1B1，

∴，．

∴．

    综合（1）（2）所述，先摸出一个白球不放回，再摸出一个白球的概率为；先摸出一个白球后放回，再摸出一个白球的概率为．

类型二、相互事件

例4.  容器中盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球．

    （1）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”这两个事件是否相互？为什么？

    （2）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互？为什么？

   【思路点拨】 从相互事件的定义入手．

   【解析】 （1）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为．可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互事件．

    （2）由于把取出的白球放回容器，故对“从中任意取出1个，取出的是黄球”的概率没有影响，所以二者是相互事件．

   【总结升华】  判断两事件是否相互的方法有：

    （1）通过计算P（B|A）=P（B）可以判断两个事件相互：

    （2）通过验证P（AB）=P（A）P（B）也可以判断两个事件相互．

 举一反三：

【变式】判断下列各对事件是互斥事件还是相互事件．

    （1）运动员甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”；

    （2）甲、乙两运动员各射击1次，“甲射中10环”与“乙射中9环”：

    （3）甲、乙两运动员各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”；

    （4）甲、乙两运动员各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”．

【答案】

（1）甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”这两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件．

    （2）甲、乙各射击1次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响，二者为相互事件．

    （3）甲、乙各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件．

    （4）甲、乙各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”可能同时发生，二者构不成互斥事件，但也不可能是相互事件．

例5.  甲、乙各进行一次射击，若甲、乙击中目标的概率分别为0.8、0.7．求下列事件的概率：

    （1）两人都击中目标；

    （2）至少有一人击中目标；

    （3）恰有一人击中目标．

 【思路点拨】显然“甲射击一次，击中目标”，与“乙射击一次，击中目标”互不影响，即相互，两人都击中，即事件同时发生，应该用乘法公式。

【解析】 记A为“甲射击一次，击中目标”，B为“乙射击一次，击中目标”，则A与B相互，进而有A与，与B，与也都相互．至少有一个击中，即事件发生；恰有一个击中，即事件发生．

由已知P（A）=0.8，P（B）=0.7，

（1）两人都击中目标的概率

    P（AB）=P（A）·P（B）=0.8×0.7=0.56．

    （2）至少有一人击中目标的概率

    =0.2×0.7+0.8×0.3+0.8×0.7=0.94．

    （3）恰有一人击中目标的概率

    =

    =0.2×0.7+0.8×0.3=0.38．

【总结升华】 审题应注意关键的词句，例如“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”等，应学会在求复杂事件的概率时对事件等价拆分来求解．

举一反三：

【变式1】甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的球，这些球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球。若分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，求取出的两球都是红球的概率。

【答案】

因从甲袋中取一球为红球的概率为，从乙袋中取一球为红球的概率为，

故从两袋中各取一球，取出的都是红球的概率为。

【变式2】（2016  镇江一模）盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：

（1）取到的2只都是次品；

（2）取的的2只中正品、次品各一只；

（3）取到的2只中至少有一只正品。

【答案】（1）从6只灯泡中有放回地任取两只，共有种不同取法，取到的两只都是次品的情况为种。

∴取到的2只都是次品的概率。

（2）取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：

①第一次到取正品，第二次取到次品，有4×2种取法；

②第一次取到次品，第二次取到正品，有2×4种取法

∴取到的2只中正品、次品各一只的概率

（3）取到的2只中至少有一只正品的概率

【变式3】某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽奖中以下事件的概率：

 (1)都抽到某一指定号码； 

 (2)恰有一次抽到某一指定号码；

 (3)至少有一次抽到某一指定号码．

【答案】 (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB．由于两次抽奖结果互不影响，因此A与B相互．于是由性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率 

P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025. 

(2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（A）U（B）表示．由于事件A与B互斥，根据概率加法公式和相互事件的定义，所求的概率为

 P (A）十P（B）=P（A）P（）+ P（）P（B )

 = 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.

 ( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB ) U ( A）U（B）表示．由于事件 AB , A和B 两两互斥，根据概率加法公式和相互事件的定义，所求的概率为 P ( AB ) + P（A）+ P（B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097

例6．甲、乙、丙三位同学完成6道数学自测题，已知他们及格的概率依次为，，。求

（1）三人中有且只有两人及格的概率；

（2）三人中至少有一人不及格的概率。

【思路点拨】 三件（或三件以上）相互的事同时发生，和两个相互的事同时发生是类似的，都用乘法公式。

【解析】设甲、乙、丙三位同学答题及格分别为事件A，B，C，则事件A，B，C相互。

（1）三人中有且只有两人及格的概率为

；

（2）三人中至少有一人不及格的概率为

。例1． 

【总结升华】

①明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义。

②在求事件的概率时，有时会遇到求“至少……”或“至多……”等事件的概率问题，它们是诸多事件的和或积，可以从正面或对立面解决问题。如果从正面考虑这些问题，求解过程繁琐，但“至少……”或“至多……”这些事件的对立事件却相对简单，其概率也易求出，此时，可逆向思维，运用“正难则反”的原则求解。

举一反三：

【变式1】某道路的、、三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是（    ）

A.           B.           C.          D. 

【答案】A；

在、、三处不停车的概率分别为，，，

故三处都不停车的概率是。

【变式2】甲射击命中目标的概率是，乙射击命中目标的概率是，丙射击命中目标的概率是，若现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率是（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

设“甲射击命中目标”为事件A，“乙射击命中目标”为事件B，“丙射击命中目标”为事件C。

因击中目标表示事件A，B，C中至少有一个发生：目标可能被一人、两人或三人击中。

因目标被击中的事件的对立事件是目标未被击中，即三人都未击中目标，它可以表示为，

而三人射击结果是相互的，故目标被击中的概率为

∵

，

故目标被击中的概率。

【变式3】设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某1 h内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125．

    （1）求甲、乙、丙在这1 h内需要照顾的概率分别是多少；

    （2）计算这1 h内至少有一台机器需要照顾的概率．

【答案】

记“机器甲需要照顾”为事件A，“机器乙需要照顾”为事件B，“机器丙需要照顾”为事件C．由题意，各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，∴A、B、C是相互事件．

    （1）由已知得P（A·B）=P（A）·P（B）=0.05，

    P（A·C）=P（A）·P（C）=0.1，

    P（B·C）=P（B）·P（C）=0.125，

    解得P（A）=0.2，P（B）=0.25，P（C）=0.5．

    ∴甲、乙、丙在这1 h内需要照顾的概率分别为0.2，0.25，0.5．

    （2）记A的对立事件为，B的对立事件为，C的对立事件为，

    则，，．

    ∴．

    ∴这1 h内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7．

【条件概率 事件的相互性 408736 例题3】

【变式4】 如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率. 

【答案】

法一：

法二：