一、选择题(每题3分,共30分)
1.下列函数是二次函数的是( )
A.y=x B.y= C.y=x-2+x2 D.y=
2.二次函数y=2(x-1)2+3的图象的顶点坐标是( )
A.(1,3) B.(-1,3) C.(1,-3) D.(-1,-3)
3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象上部分点的坐标(x,y)对应值列表如下:
x | … | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | … |
y | … | -3 | -2 | -3 | -6 | -11 | … |
A.x=-3 B.x=-2 C.x=-1 D.x=0
4.将抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位,再向右平移3个单位后,得到的抛物线的表达式为( )
A.y=(x-1)2+4 B.y=(x-4)2+4 C.y=(x+2)2+6 D.y=(x-4)2+6
5.已知关于x的函数y=k(x-1)和y=(k≠0),它们在同一坐标系内的图象大致是( )
6.已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如下表,则方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是( )
x | 6.17 | 6.18 | 6.19 | 6.20 |
y | -0.03 | -0.01 | 0.02 | 0.06 |
B.6.17<x<6.18
C.6.18<x<6.19
D.6.19<x<6.20
7.已知二次函数y=(2-a)xa2-3,在其图象对称轴的左侧,y随x的增大而减小,则a的值为( )
A. B.± C.- D.0
8.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h=-t2+24 t+1.则下列说法中正确的是( )
A.点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同
B.点火后24 s火箭落于地面
C.点火后10 s的升空高度为139 m
D.火箭升空的最大高度为145 m
9.如图,抛物线y=-2x2+4x与x轴交于点O,A,把抛物线在x轴及其上方的部分记为C1,将C1以y轴为对称轴作轴对称得到C2,点A的对称点记为点B,若直线y=的取值范围是( )
A.0<m< B.<m< C.0<m< D.m<或m>
(第9题) (第13题) (第14题) (第15题)
10.当a-1≤x≤a时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为( )
A.1 B.2 C.1或2 D.0或3
二、填空题(每题3分,共18分)
11.当m=________时,函数y=(m-4)xm2-5m+6+3x是关于x的二次函数.
12.将二次函数y=x2+3x-化为y=a(x-h)2+k的形式,其结果是______________.
13.如图,这是二次函数y=x2-2x-3的图象,根据图象可知,函数值小于0时x的取值范围为________.
14.如图,点A,B是反比例函数y=(x>0)图象上的两点,过点A,B分别作AC⊥x轴于点C,BD⊥x轴于点D,连接OA,BC,已知点C(2,0),BD=2,S△BCD=3,则S△AOC= ________.
15.如图,过x轴上任意一点P作y轴的平行线,分别与反比例函数y=(x>0),y=-(x>0)的图象交于A点和B点,若C为y轴上任意一点,连接AC,BC,则△ABC的面积为________.
16.函数y=a(a>0)的图象过点(2,0),那么使函数值y<0成立的x的取值范围是________.
三、解答题(21,22题每题10分,其余每题8分,共52分)
17.已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如下表:
x | … | -1 | 0 | 1 | 2 | 4 | … |
y | … | 10 | 1 | -2 | 1 | 25 | … |
(2)求这个二次函数图象的顶点坐标.
18.如图,在平面直角坐标系中,直线y=ax-3a(a≠0)与x轴,y轴分别相交于A,B两点,与双曲线y=(x>0)的一个交点为C,且BC=AC.
(1)求点A的坐标;
(2)当S△AOC=3时,求a和k的值.
19.超市销售某品牌洗手液,进价为每瓶10元.在销售过程中发现,每天销售量y(瓶)与每瓶售价x(元)之间满足一次函数关系(其中10≤x≤15,且x为整数),当每瓶洗手液的售价是12元时,每天销售量为90瓶;当每瓶洗手液的售价是14元时,每天销售量为80瓶.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w元,当每瓶洗手液的售价定为多少元时,超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大,最大利润是多少元?
20.驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于200微克即为酒驾,某研究所经实验测得:成人饮用某品牌38度白酒后血液中酒精浓度y(微克/毫升)与饮酒时间x(小时)之间的函数关系如图所示(当4≤x≤10时,y与x成反比例).
(1)根据图象分别求出血液中酒精浓度上升和下降阶段y与x之间的函数表达式;
(2)血液中酒精浓度不低于200微克/毫升的持续时间是多少小时?
21.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点C的坐标为(-1,-3),与x轴交于A(-3,0)、B(1,0)两点,根据图象回答下列问题:
(1)写出方程ax2+bx+c=0的根;
(2)写出不等式ax2+bx+c>0的解集;
(3)写出y随x的增大而减小时自变量x的取值范围;
(4)若方程ax2+bx+c=k有实数根,写出实数k的取值范围.
22.如图,抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.
(1)求点A,B,C的坐标;
(2)点M为线段AB上一点(点M不与点A,B重合),过M作x轴的垂线,与直线AC交于点E,与抛物线交于点P,过P作PQ∥AB交抛物线于点Q(点Q在点P的右侧),过Q作QN⊥NQ的周长最大时,求△AEM的面积;
(3)在(2)的条件下,当矩形PMNQ的周长最大时,连接DQ,过抛物线上一点F作y轴的平行线,与直线AC交于点G(点G在点F的上方),若FG=2DQ,求点F的坐标.
答案
一、1.C
2.A :二次函数y=2(x-1)2+3为顶点式,其图象的顶点坐标为(1,3).故选A.
3.B :∵当x=-3与x=-1时,y值相等,
∴二次函数图象的对称轴为直线x= =-2.故选B.
4.B
5.D :当反比例函数y=(k≠0)的图象位于第一、三象限时,k>0.所以一次函数y=k(x-1)的图象经过第一、三、四象限.故A,C选项错误;当反比例函数y=(k≠0)的图象位于第二、四象限时,k<0.所以一次函数y=k(x-1)的图象经过第一、二、四象限.故B选项错误,D选项正确.故选D.
6.C
7.C :由二次函数定义可知a2-3=2且2-a>0,解得a=-.故选C.
8.D :A.当t=9时,h=136;当t=13时,h=144,所以点火后9 s和点火后13 s的升空高度不相同,此选项错误;B.当t=24时,h=1≠0,所以点火后24 s火箭离地面的高度为1 m,此选项错误;C.当t=10时,h=141,此选项错误;D.由h=-t2+24t+1=-(t-12)2+145知火箭升空的最大高度为145 m,此选项正确.故选D.
9.A :令y=-2x2+4x=0,
解得x=0或x=2,
则点A(2,0),B(-2,0),
∵C1与C2关于y轴对称,C1:y=-2x2+4x=-2(x-1)2+2(0≤x≤2),
∴C2: y=-2(=.
当直线y==0,
∴当0<m< 时,直线y=x+m与C1,C2共有3个不同的交点,故选A.
10.D :当y=1时,有x2-2x+1=1,
解得x1=0,x2=2.
∵当a-1≤x≤a时,函数有最小值1,
∴a-1=2或a=0,
∴a=3或a=0,故选D.
二、11.1
12.y=(x+3)2-7
13.-1<x<3
14.5 :∵BD⊥CD,BD=2,
∴S△BCD= BD·CD=3,
∴CD=3.
∵C(2,0),即OC=2,
∴OD=OC+CD=2+3=5,
∴B(5,2),代入y=,得k=10,即y=,则S△AOC=5.
故答案为5.
15.
16.0<x<2 :∵函数y=a(a>0)的图象过点(2,0),
∴0=a×22-2a×2+m,
化简,得m=0,
∴y=ax2-2ax=ax(x-2),
当y=0时,x=0或x=2,
∵a>0,
∴使函数值y<0成立的x的取值范围是0<x<2,
故答案为0<x<2.
三、17.解:(1)把(0,1),(1,-2),(2,1)代入y=ax2+bx+c
得解得
所以这个二次函数的表达式为y=3x2-6x+1.
(2)y=3x2-6x+1=3(x2-2x)+1
=3(x2-2x+1-1)+1
=3(x-1)2-2,
所以这个二次函数图象的顶点坐标为(1,-2).
18.解:(1)在y=ax-3a(a≠0)中,令y=0,即ax-3a=0,
解得,过点C作x轴的垂线交x轴于点N,如图所示,
易知CM∥OA,
∴∠BCM=∠BAO.
又∵∠CBM=∠ABO,
∴△BCM∽△BAO.
∴=.
∵点A的坐标为(3,0),
∴AO=3.
∵BC=AC,
∴=,
∴=,
∴CM=1.
又S△AOC=OA·CN=3,
∴×3×CN=3,
∴CN=2.
∴点C的坐标为(1,2).
将点C(1,2)的坐标代入y=(x>0)中,得2=,
∴k=2.
再将点C(1,2)的坐标代入y=ax-3a(a≠0)中,
得2=a-3a,
∴a=-1.
19.解:(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0),根据题意,
得
解得
∴y与x之间的函数关系式为y=-5x+150.
(2)根据题意,得w=(x-10)(-5x+
150)=-5(x-20)2+500,
∵-5<0,
∴当x<20时,w随x的增大而增大.
∵10≤x≤15,且x为整数,
∴当x=15时,w有最大值,
最大值为-5×(15-20)2+500=375.
答:当每瓶洗手液的售价定为15元时,超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大,最大利润是375元.
20.解:(1)当0≤x<4时,设直线表达式为y=kx,将(4,400)代入得400=4k,
解得k=100,故直线表达式为y=100x.
当4≤x≤10时,设反比例函数表达式为y=,将(4,400)代入得400=,
解得a=1 600,
故反比例函数表达式为y=,
因此血液中酒精浓度上升阶段的函数表达式为y=100x(0≤x<4),
下降阶段的函数表达式为y=(4≤x≤10).
(2)当0≤x<4时,令y=200,
得200=100x,
解得x=2,
当4≤x≤10时,令y=200,
得200=,
解得x=8,
8-2=6(小时),
∴血液中酒精浓度不低于200微克/毫升的持续时间是6小时.
21.解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A(-3,0)、B(1,0)两点,
∴ax2+bx+c=0的根为x1=-3,x2=1.
(2)观察图象可知,当x<-3或x>1时,图象总在x轴的上方,
∴不等式ax2+bx+c>0的解集为x<-3或x>1.
(3)由图象可知,当x<-1时,y随x的增大而减小.
(4)由图象可知,当k≥-3时,方程ax2+bx+c=k有实数根.
22.解:(1)当y=0时,-x2-2x+3=0,
解得x1=1,x2=-3,
则A(-3,0),B(1,0).
当<-1).
由题意易得点P与点Q关于直线,-m2-2m+3),
∴PQ=-2-m-m=-2-2m,
∴矩形PMNQ的周长=2(-2-2m-m2-2m+3)=-2m2-8m+2=-2(m+2)2+10,
当m=-2时,矩形PMNQ的周长最大,此时M(-2,0).
设直线AC的表达式为y=kx+b,
把A(-3,0),C(0,3)代入得
解得
∴直线AC的表达式为y=x+3.
当x=-2时,y=的面积=×(-2+3)×1=.
(3)当m=-2时,Q(0,3),即点C与点Q重合.
由题意得D(-1,4),
∴DQ==,
∴FG=2DQ=2×=4.
设F(t,-t2-2t+3),则G(t,t+3),
∴GF=t+3-(-t2-2t+3)=t2+3t,
∴t2+3t=4,
解得t1=-4,t2=1,
∴F点坐标为(-4,-5)或(1,0).