2016年中考数学试题分类汇编一元二次方程

 一元二次方程

一．选择题

1．（2016•扬州）已知M=a﹣1，N=a2﹣a（a为任意实数），则M、N的大小关系为（　　）

A．M＜N B．M=N C．M＞N D．不能确定

2．（2016•台州）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（　　）

A． x（x﹣1）=45 B． x（x+1）=45 C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45

3．（2016•随州）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（　　）

A．20（1+2x）=28.8 B．28.8（1+x）2=20

C．20（1+x）2=28.8 D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.8

4．（2016•兰州）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（　　）

A．（x+1）（x+2）=18 B．x2﹣3x+16=0 C．（x﹣1）（x﹣2）=18 D．x2+3x+16=0

5．（2016•衡阳）随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列方程得（　　）

A．10（1+x）2=16.9 B．10（1+2x）=16.9 C．10（1﹣x）2=16.9 D．10（1﹣2x）=16.9

6．（2016•枣庄）已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（　　）

A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣5

7．（2016•雅安）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（　　）

A．4，﹣2 B．﹣4，﹣2 C．4，2 D．﹣4，2

8．（2016•江西）设α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则αβ的值是（　　）

A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1

9．（2016•威海）已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，则ba的值是（　　）

A． B．﹣C．4 D．﹣1

10．（2016•凉山州）已知x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是（　　）

A． B． C． D．

11．（2016•贵港）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2=18，则+的值是（　　）

A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5

12．（2016•烟台）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则x12﹣x1+x2的值为（　　）

A．﹣1 B．0 C．2 D．3

13．（2016•广州）定义运算：a⋆b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，则b⋆b﹣a⋆a的值为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．与m有关

14．（2016•玉林）关于x的一元二次方程：x2﹣4x﹣m2=0有两个实数根x1、x2，则m2（）=（　　）

A． B． C．4 D．﹣4

15．（2016•金华）一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是（　　）

A．x1=﹣1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1+x2=3 D．x1x2=2

16．（2016•自贡）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）=0有实数根，则m的取值范围是（　　）

A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m≤1

17．（2016•莆田）关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是（　　）

A．没有实数根 B．只有一个实数根

C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根

18．（2016•衡阳）关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，则k的值为（　　）

A．k=﹣4 B．k=4 C．k≥﹣4 D．k≥4

19．（2016·黑龙江大庆）若x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设M=1﹣ac，N=（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（　　）

A．M＞N 　　　　B．M=N 　　　　C．M＜N　　　　D．不确定

20. (2016·)一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方组可变形为（　　）

A．（x﹣3）2=14 　B．（x﹣3）2=4 　C．（x+3）2=14 　D．（x+3）2=4

21. （2016·四川乐山·3分）若为实数，关于的方程的两个非负实数根为、，则代数式的最小值是

22.（2016·广东深圳）给出一种运算：对于函数，规定。例如：若函数，则有。已知函数，则方程的解是（    ）

A.       　　　   B.     

C.          　　　   D.  

23. (2016年浙江省丽水市)下列一元二次方程没有实数根的是（　　）

A．x2+2x+1=0    B．x2+x+2=0    　　C．x2﹣1=0    　D．x2﹣2x﹣1=0

24．（2016·山东枣庄）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则一次函数的图象可能是 

25．（2016.山东省青岛市,3分）输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表：

A．20.5＜x＜20.6    B．20.6＜x＜20.7    C．20.7＜x＜20.8    D．20.8＜x＜20.9

26．（2016.山东省泰安市，3分）一元二次方程（x+1）2﹣2（x﹣1）2=7的根的情况是（　　）

A．无实数根    B．有一正根一负根        

C．有两个正根    D．有两个负根        

27．（2016.山东省泰安市，3分）当x满足时，方程x2﹣2x﹣5=0的根是（　　）            

A．1±    B．﹣1    C．1﹣    D．1+

28．（2016•呼和浩特）已知a≥2，m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是（　　）

A．6 　　　　　B．3 　　　　　C．﹣3 　　　　　D．0

29. (2016兰州，5,4分)一元二次方程的根的情况（）。

（A）有一个实数根　　　　　　　　（B）有两个相等的实数根

（C）有两个不相等的实数根　　　　（D）没有实数根

30．(2016福州，12,3分)下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是（　　）

A．a＞0    　　　　B．a=0    　　　　　C．c＞0    　　　D．c=0

31．(2016大连，7，3分)某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是（　　）

A．100（1+x） 　　B．100（1+x）2　　　　C．100（1+x2）　　　D．100（1+2x）

二、填空题

1．（2016·湖北鄂州）方程x2－3=0的根是        

2．（2016·湖北十堰）某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是　

3. （2016·湖北咸宁）关于x的一元二次方程x2+bx+2=0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数b的值：b=___________.

4. (2016·)某加工厂九月份加工了10吨干果，十一月份加工了13吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为　

5. (2016·云南)如果关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，那么实数a的值为　．

6. （2016·四川达州·3分）设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，则m2+3m+n=　　．

7. （2016吉林长春，10，3分）关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是　　．

8．（2016山东省聊城市，3分）如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x﹣1=0有两个不相等的实根，那么k的取值范围是　．

9．(2016大连，14，3分)若关于x的方程2x2+x﹣a=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是   ．

三、解答题

1. （2016·湖北鄂州）（本题满分9分）关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0

（1）（4分）求证：无论k为何值，方程总有实数根。

（2）（5分）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值。若不能，请说明理由。

【考点】一元二次方程，根的判别式．

【分析】（1） 本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；

（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．

【解答】解：⑴①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,

x=1/2有一个解；                                        （2分）

②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，

△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8=4(k-1) ² ＋4＞0

方程有两不等根

综合①②得不论k为何值，方程总有实根                  （4分）

⑵∵x ₁＋x ₂＝－2k/ k-1  ,x ₁ x ₂=2 /k-1,                    （1分）

∴s= (x ₁ ²＋ x ₂  ²)/x ₁ x ₂＋(x ₁＋x ₂ )

=[ ( x ₁＋x ₂) ²－2 x ₁ x ₂ ]/ x ₁ x ₂＋(x ₁＋x ₂)

=(4k²-8k＋4)/2（k-1）=2                                  （2分）

k²－3k＋2=0

 k ₁=1   k ₂＝2                                         （3分）

∵方程为一元二次方程，k-1≠0     

∴k ₁=1  应 舍去  

∴当k=2时，S的值为2                                  

∴S的值能为2，此时k的值为2.                             （5分）

【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系. 要熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系: 如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，那么x1+x2=-，x1x2=．文字表述：两个根的和等于一次项系数与二次项的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比。

2. （2016·四川成都·9分）已知关于x的方程3x2+2x﹣m=0没有实数解，求实数m的取值范围．

【考点】根的判别式

【分析】直接利用根的判别式进而求出m的取值范围．

【解答】解：∵3x2+2x﹣m=0没有实数解，

∴b2﹣4ac=4﹣4×3（﹣m）＜0，

解得：m＜，

故实数m的取值范围是：m＜．

3.（2016湖北孝感，21，9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1，x2．

（1）求m的取值范围；

（2）当x12+x22=6x1x2时，求m的值．

【考点】根与系数的关系；根的判别式．

【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根，可得△≥0，据此求出m的取值范围；

（2）根据根与系数的关系求出x1+x2，x1•x2的值，代入x12+x22=6x1x2求解即可．

【解答】解：（1）∵原方程有两个实数根，

∴△=（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，

整理得：4﹣4m+4≥0，

解得：m≤2；

（2）∵x1+x2=2，x1•x2=m﹣1，x12+x22=6x1x2，

∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=6x1•x2，

即4=8（m﹣1），

解得：m=．

∵m=＜2，

∴符合条件的m的值为．

【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解答本题的关键是掌握两根之和与两根之积的表达方式．

4. （2016湖北宜昌，22，10分）某蛋糕产销公司A品牌产销线，2015年的销售量为9.5万份，平均每份获利1.9元，预计以后四年每年销售量按5000份递减，平均每份获利按一定百分数逐年递减；受供给侧改革的启发，公司早在2104年底就投入资金10.万元，新增一条B品牌产销线，以满足市场对蛋糕的多元需求，B品牌产销线2015年的销售量为1.8万份，平均每份获利3元，预计以后四年销售量按相同的份数递增，且平均每份获利按上述递减百分数的2倍逐年递增；这样，2016年，A、B两品牌产销线销售量总和将达到11.4万份，B品牌产销线2017年销售获利恰好等于当初的投入资金数．

（1）求A品牌产销线2018年的销售量；

（2）求B品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数．

【考点】一元二次方程的应用．

【分析】（1）根据题意容易得出结果；

（2）设A品牌产销线平均每份获利的年递减百分数为x，B品牌产销线的年销售量递增相同的份数为k万份；根据题意列出方程，解方程即可得出结果．

【解答】解：（1）9.5﹣（2018﹣2015）×0.5=8（万份）；

答：品牌产销线2018年的销售量为8万份；

（2）设A品牌产销线平均每份获利的年递减百分数为x，B品牌产销线的年销售量递增相同的份数为k万份；

根据题意得：，

解得：，或（不合题意，舍去），

∴，

∴2x=10%；

答：B品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数为10%．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用中平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．

5. （2016·广东梅州）关于的一元二次方程有两个不等实根、．

   （1）求实数的取值范围；

   （2）若方程两实根、满足，求的值．

考点：一元二次方程根的判别式，根与系数的关系。

解析：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，

∴，      ……………………3分

解得： ．                            ……………………4分

（2）由根与系数的关系，得， ． ……………6分

∵，

∴，

解得：或，              ………………………8分

又∵，

∴．                            ………………………9分

6.（2016·广西贺州）某地区2014年投入教育经费2900万元，2016年投入教育经费3509万元．

（1）求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率；

（2）按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地区国民生产总值的增长情况，该地区到2018年需投入教育经费4250万元，如果按（1）中教育经费投入的增长率，到2018年该地区投入的教育经费是否能达到4250万元？请说明理由．

（参考数据： =1.1， =1.2， =1.3， =1.4）

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】增长率问题．

【分析】（1）一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2015年要投入教育经费是2900（1+x）万元，在2015年的基础上再增长x，就是2016年的教育经费数额，即可列出方程求解．

（2）利用（1）中求得的增长率来求2018年该地区将投入教育经费．

【解答】解：（1）设增长率为x，根据题意2015年为2900（1+x）万元，2016年为2900（1+x）2万元．

则2900（1+x）2=3509，

解得x=0.1=10%，或x=﹣2.1（不合题意舍去）．

答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．

（2）2018年该地区投入的教育经费是3509×（1+10%）2=4245.（万元）．

4245.＜4250，

答：按（1）中教育经费投入的增长率，到2018年该地区投入的教育经费不能达到4250万元．

【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量．

7．（2016·山东烟台）由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：

（2）公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润（利润=销售收入﹣投入总成本）

【考点】一元二次方程的应用．

【分析】（1）设甲型号的产品有x万只，则乙型号的产品有（20﹣x）万只，根据销售收入为300万元列出方程，求出方程的解即可得到结果；

（2）设安排甲型号产品生产y万只，则乙型号产品生产（20﹣y）万只，根据公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元列出不等式，求出不等式的解集确定出y的范围，再根据利润=售价﹣成本列出W与y的一次函数，根据y的范围确定出W的最大值即可．

【解答】解：（1）设甲型号的产品有x万只，则乙型号的产品有（20﹣x）万只，

根据题意得：18x+12（20﹣x）=300，

解得：x=10，

则20﹣x=20﹣10=10，

则甲、乙两种型号的产品分别为10万只，10万只；

（2）设安排甲型号产品生产y万只，则乙型号产品生产（20﹣y）万只，

根据题意得：13y+8.8（20﹣y）≤239，

解得：y≤15，

根据题意得：利润W=（18﹣12﹣1）y+（12﹣8﹣0.8）（20﹣y）=1.8y+，

当y=15时，W最大，最大值为91万元．

8．（2016·山西）（本题7分）解方程： 

  考点：解一元二次方程

  分析：方法一：观察方程，可先分解因式，然后提取x-3，利用公式法求解

        方法二：将方程化为一般式，利用公式法求解

  解答：解法一：

        原方程可化为  ……………………………（1分）

        ．         ……………………………（2分）

        ．        ……………………………（3分）

        ．                  ……………………………（4分）

        ∴  x-3=0或x-9=0．              ……………………………（5分）   

        ∴  ，．             ……………………………（7分）

        解法二：

        原方程可化为

                      ……………………………（3分）

       这里a=1，b=-12，c=27．   ∵

        ∴．       ……………………………（5分）

       因此原方程的根为，．    ……………………………（7分）

9．（2016·四川巴中）定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2=（﹣3）2×2+2=20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2﹣bx+a=0的根的情况．

【考点】根的判别式．

【分析】根据2☆a的值小于0结合新运算可得出关于a的一元一次不等式，解不等式可得出a的取值范围，再由根的判别式得出△=（﹣b）2﹣8a，结合a的取值范围即可得知△的正负，由此即可得出结论．

【解答】解：∵2☆a的值小于0，

∴22a+a=5a＜0，解得：a＜0．

在方程2x2﹣bx+a=0中，

△=（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0，

∴方程2x2﹣bx+a=0有两个不相等的实数根．

10．（2016·四川巴中）随着国家“惠民”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率．

【考点】一元二次方程的应用．

【分析】设该种药品平均每场降价的百分率是x，则两个次降价以后的价格是200（1﹣x）2，据此列出方程求解即可．

【解答】解：设该种药品平均每场降价的百分率是x，

由题意得：200（1﹣x）2=98

解得：x1=1.7（不合题意舍去），x2=0.3=30%．

答：该种药品平均每场降价的百分率是30%．

11．（2016·江苏泰州）随着互联网的迅速发展，某购物网站的年销售额从2013年的200万元增长到2015年的392万元．求该购物网站平均每年销售额增长的百分率．

【考点】一元二次方程的应用．

【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设平均增长率为x，根据“从2013年的200万元增长到2015年的392万元”，即可得出方程．

【解答】解：设该购物网站平均每年销售额增长的百分率为x，

根据题意，得：200（1+x）2=392，

解得：x1=0.4，x2=﹣2.4（不符合题意，舍去）．

答：该购物网站平均每年销售额增长的百分率为40%．

12．(2016安徽，16，8分)解方程：x2﹣2x=4．

【考点】解一元二次方程-配方法；零指数幂．

【分析】在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解

【解答】解：配方x2﹣2x+1=4+1

∴（x﹣1）2=5

∴x=1±

∴x1=1+，x2=1﹣．