第八届“新希望杯”全国数学大赛七年级试题与解答

七年级试题（B卷）

一选择题（每小题4分，共32分）

1．如图所示，在数轴上有四个点，且AB=BC=CD，则点C所表示的数最接近的整数是（     ）

A．—3       B。—4

C．—5       D。—6

2．若，为整数，则整数m可取的值是（   ）

A．0个         B。1个        C。2个        D。3个

3．关于x的一元一次方程的解（       ）

A．是一个大于0小于1的数           B。是一个大于2012的数

C．是一个大于0小于2012的数        D。不存在

4．已知有理数a与b互为相反数，| b | = c，若a = x+2，c = 8—2x，则x的取值为（    ）

A．2         B。2或10            C。6或10            D。6

5．已知x=3时，ax5—bx3+x2+318=2012，那么x = —3时，ax5—bx3+x2+318的值为（     ） 

A．—1331       B。—1358         C。—1380        D。—13

6．平面内的5条直线两两相交，交点最多有x个，最少有y个，则x—y等于（        ）

A．8        B。9               C。10               D。11

7．下列结论正确的有（     ）

n边形的内角和为（n-1）*1800，外角和为3600.

三角形的一个外角大于或等于与它不相邻的任何一个内角.

过三角形的一个顶点所作的高、中线、角平分线一定重合.

如果一条直线 上的两点到另一条直线 的距离相等，那么这两条直线平行.

A.0个          B。1个              C。2个               D。3个

8．如图所示，已知正方形ABCD，AB=2，分别以线段AB，BC为直径作半圆，则图形中空白部分与的面积之差是（        ）

A．4—            B。2—4

C．2—2           D。—2                                     

二、填空题（每小题5分，共40分）

9．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等于2，则(a+b)x3+cdx2+x+3的值为 

                  .

10.已知点A的坐标为（—4，2），点A关于x轴的对称点为B，则B点的坐标为        。

11．有三个不相同的整数，满足，那么

                。

12．若质数满足，则         。

13．在多项式（其中m、n为正整数）中，恰有两项是同类项，则m+n=           。

14．已知为锐角，角为钝角，其数值已给出，在计算的值时，全班得到1150，1250和1350这样三个不同的结果，其中确定有正确的结果，同正确的结果是               。

15．在四边形ABCD中，∠A>∠B>∠C>∠D,四边形的四个外角之比为1：2：3：4，则∠A：∠B：∠C：∠D=                  。

16.如果，那么的值为            。

三、解答题（每小题12分，共48分）

17．解方程： 

18．如图，点A，B分别在x轴和y轴上，OC⊥AB，AD垂直于x轴交OC于点D，AC平分∠BAE。求证：∠DAC=∠C。

19若干个1与—1排成一行：1，—1，1，—1，—1，1，—1，—1，—1，…规则是：先写一行1，再在第k个1各第k+1个1之间插入k个—1（k=1，2，3，…）。

（1）第2012个数是1还是—1？

（2）前2012个数的和是多少？

20．某公园门票价格对达到一定人数的团队按团队票优惠，丙有A，B，C三个旅游团共72人，如果各团单独购票，门票依次为360元，384元，480元；如果三个团合起来购票，一共可少花72元。

（1）三个旅游团各有多少人？

（2）设计一种票价方案，使其与上述购票情况相符。

第八届“新希望杯”全国数学大赛

七年级试题解答

一、选择题

1．C．    CD=，C的坐标为。

2．C．    m=0，m = —2。

3．C．    原方程变为，解得x=1

4．A．  因为，所以，因为互为相反数，所以，因此，解得，因为不合题意，所以舍去。故。

5．B．    把

.

6．B．   5条直直线线两两相交最多有10个交点，最小有1个交点。

7．A．   n边形的内角和为；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角；过等腰三角形的顶点所作的高、中线、角平分线重合；当两条直线相交，且一直线上的两个点到交点等距离，那么这两个点到另一直线等距离。

8．A．   S=S正方形—2*S半圆+S，所以S—S=S正方形—S圆。

二、填空题

9．9和5．因为

10．（—4，—2）。

11．8和0。   因为又因为它们的乘积等于9，所以它们只能是。

12．9．      p=2，q=7.

13．3和5。  

14．1150．  

15．4：3：2：1。因为四边形的外角和是3600，所以∠A的外角=360，∠B的外角=720，∠C 的外角=1080，∠D的外角=1440。因此∠A=1440，∠B=1080，∠C=720。∠D=360。

16．10．    x3+4x2+7=(x+1)(x2+3x-3)+10=10

三、解答题

17．当

这时无解

因此方程的解为.

18.∵OC⊥AB，   

∴∠CAB+∠C=900，

∵AD⊥AE，

∴∠CAE+∠DAC=900

∵AC平分∠BAE，

∴∠CAB=∠CAE

因此∠DAC=∠C。

19．（1）设2012个数是在第n个1的位置或者                                        在第 n个1前。        

   这时+1的个数是n，-1的个数是 1+2+3+……+（n-1）,这样一共有

   1+2+3+……+n个数，所以 1+2+3+……+n2012,即，

  所以第2012项在第62个1与第63个1之间，因此第2012个数是—1。

（2）前2012个数中包含了62个1和2012-62个—1，所以前2012个数的和为

       -（2012-62-62）= -1888

20．方法一：

（1）三个团合起来购票总额：360+384+480-72= 1152 元，人均： 元。

因为360不能被16整除，所以A团队没有达到优惠人数。

若三个团队都没有达到优惠人数，那么普通票价为： 元，因为360不能被17整除，（384，480也一样），所以普通票价不可能是17元/人，因此B，C两个团队中至少有一个团队达到优惠人数。

如果B，C两个团队均达到优惠人数，那么B，C团票价为16元/人，因此B团有38416=24 人；C团有48016= 30 人，于是A团有18人。这时普通票价为36018=20元/人。

如果B团达到优惠人数，C团没有达到优惠人数，那么B团有24人，A，C两个团队共有48人，他们的票价都是普通价。设A团有x人，则C团有48-x人，，方程没有整数解。这种情况不可能。

如果C团达到优惠人数，B团没有达到优惠人数，那么C团有48016=30人，A，B两个团共有42人，设A团有x人，则有，方程没有整数解。

因此，A团队有18人，B团队有24人，C团队有30人。

（2）方案：当团队人数小于20（这个数可变，只要这个数小于24，且不小于18就行）人，不优惠，当团队人数大于或等于20人时，优惠。

  方法二：

    （1）三个团合起来购票总额：360+384+480-72= 1152 元，人均： 元。

因为360不能被16整除，所以A团队没有达到优惠人数。

若三个团队都没有达到优惠人数，那么普通票价为： 元，因为360不能被17整除，（384，480也一样），所以普通票价不可能是17元/人，因此B，C两个团队中至少有一个团队达到优惠人数。

如果B，C两个团队均达到优惠人数，那么B，C团票价为16元/人，因此B团有38416=24 人；C团有48016= 30 人，于是A团有18人。这时普通票价为36018=20元/人。

  如果B团达到优惠人数，C团没有达到优惠人数，那么B团有24人，A，C两个团队共有48人，他们的票价都是普通价。（360+480）48=17.5元/人，36017.5的结果不是整数，所以这种情况不可能。

     如果C团达到优惠人数，B团没有达到优惠人数，那么C团有48016=30人，A，B两个团共有42人，普通票价为（360+480）42=20，这样优惠金额为42472，所以这种情况也不能。

   因此，A团有18人，B团有24人，C团有30人。

   方案（同上）