椭圆的第二定义(比值定义)的应用(精)

陈 文

教学目标：1椭圆的比值定义，准线的定义

2、使学生理解椭圆的比值定义，并掌握基本应用方法

3、对学生进行对应统一的教育

教学重点：椭圆的比值定义的应用

教学难点：随圆的准线方程的应用

教学方法：学导式

教学过程：

一、复习

前节我们学习了随圆的第二定义（比值定义）：

若则M的轨迹是以F为焦点，L为准线的椭圆。

注：①其中F为定点，F（C，0），d为M到定直线L：的距离

②F与L是对应的，即：左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。

二、第二定义的应用

[例1]已知的右焦点，点M为椭圆的动点，求的最小值，并求出此时点M的坐标。

分析：此题主要在于的转化，由第二定义：，可得出，即为M到L（右准线）的距离。再求最小值可较快的求出。

解：如图所示，过M作于N，L为右准线：，由第二定义，知：，

要使为最小值，即：为“最小”，

由图知：

当A、M、N共线，即：时，为最小；且最小值为A到L的距离=10，此时，可设，代入椭圆方程中，解得：

故：当时，为的最小值为10

[评注]：（1）以上解法是椭圆第二定义的巧用，将问题转化为点到直线的距离去求，可使题目变得简单。

（2）一般地，遇到一个定点到定直线问题应想到椭圆的第二定义。

[例2]：设为椭圆的一点，离心率为e，P到左焦点F1和右焦点F2的距离分别为r1，r2

求证：

证明如图，由第二定义：

即：

又

注：①上述结论，称为椭圆中的焦半径公式

② 得出

即

当

当

[练习]（1）过的左焦点F作倾斜角为300的直线交椭圆于A、B两点，则弦AB的长为 2 

分析：

只需求（用联立方程后，韦达定理的方法可解）（学生完成）

（2）的左、右焦点，P为椭圆上的一点，若则P到左准线的距离为 24 

分析：由焦半径公式，设得

又左准线为：

则P到左准线距离为8-（-16）=24

[例3] 设椭圆的左焦点为F，AB过F的弦，试分析以AB为直径的圆与左准线L的位置关系

解，设M为弦AB的中点，（即为“圆心”）

作 

由椭圆的第二定义知：

又在直角梯形中，是中位线

即： 

（为圆M的半径为圆心M到左准线的距离d

故以AB为直径的圆与左准线相离

四、小结

本节，重点是掌握第二定义的应用方法，特别是焦半径公式的运用（通常在焦点弦中采用）

五、作业

1、《课外作业》P92、10

2、已知椭圆，能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M，使它到左准线的距离为它到两焦点F1、F2距离的等比中项？