2021年湖南省岳阳市中考数学试卷和答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）

1．（3分）在实数，﹣1，0，2中（　　）

A．    B．﹣1    C．0    D．2

2．（3分）下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

3．（3分）下列运算结果正确的是（　　）

A．3a﹣a＝2    B．a2•a4＝a8    

C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4    D．（﹣a）2＝﹣a2

4．（3分）已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

5．（3分）将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a∥b，则∠1的大小为（　　）

A．45°    B．60°    C．75°    D．105°

6．（3分）下列命题是真命题的是（　　）

A．五边形的内角和是720°    

B．三角形的任意两边之和大于第三边    

C．内错角相等    

D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点

7．（3分）在学校举行“庆祝百周年，赞歌献给党”的合唱比赛中，七位评委给某班的评分去掉一个最高分、一个最低分后得到五个有效评分，9.2，9.0，9.0（单位：分），这五个有效评分的平均数和众数分别是（　　）

A．9.0，8.9    B．8.9，8.9    C．9.0，9.0    D．8.9，9.0

8．（3分）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2）（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（　　）

A．4，﹣1    B．，﹣1    C．4，0    D．，﹣1

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）

9．（4分）因式分解：x2+2x+1＝　       　．

10．（4分）2021年5月15日，“天问一号”探测器成功着陆火星，在火星上首次留下了中国印迹．据公开资料显示，数据55000000用科学记数法表示为 　        　．

11．（4分）一个不透明的袋子中装有5个小球，其中3个白球，2个黑球，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为 　              　．

12．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+6x+k＝0有两个相等的实数根，则实数k的值为 　 　．

13．（4分）要使分式有意义，则x的取值范围为　    　．

14．（4分）已知x+＝，则代数式x+﹣＝　 　．

15．（4分）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图，根据题意，可列方程为 　                　．

16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE＝8，⊙O为△BCE的外接圆，则下列结论正确的是 　    　.（写出所有正确结论的序号）

①AE＝BC；

②∠AED＝∠CBD；

③若∠DBE＝40°，则的长为；

④＝；

⑤若EF＝6，则CE＝2.24．

三、解答题（本大题共8小题，满分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（6分）计算：（﹣1）2021+|﹣2|+4sin30°﹣（﹣π）0．

18．（6分）如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，垂足分别为点E，F．

（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是 　      　；

（2）添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形．

19．（8分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）与正比例函数y＝2x的图象交于A（1，m）

（1）求该反比例函数的表达式；

（2）若点C在x轴上，且△BOC的面积为3，求点C的坐标．

20．（8分）教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生（单位：h）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表：

（1）频数分布表中，a＝　    　，b＝　    　；

（2）扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数是 　    　°；

（3）请估算该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数；

（4）研究表明，初中生每天睡眠时长低于7小时，会严重影响学习效率．请你根据以上调查统计结果

21．（8分）星期天，小明与妈妈到离家16km的洞庭湖博物馆参观．小明从家骑自行车先走，1h后妈妈开车从家出发，结果他们同时到达．已知妈妈开车的平均速度是小明骑自行车平均速度的4倍，求妈妈开车的平均速度．

22．（8分）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，山高BC＝80m，坡面AB的坡度i＝1：0.7（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．

（1）求山脚A到河岸E的距离；

（2）若在此处建桥，试求河宽EF的长度．（结果精确到0.1m）

（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）

23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，连接CD（60°＜α＜120°）得到线段ED，且ED交线段BC于点G

（1）如图1，若α＝90°，则线段ED与BD的数量关系是 　      　，＝　      　；

（2）如图2，在（1）的条件下，过点C作CF∥DE交DM于点F，BE．

①试判断四边形CDEF的形状，并说明理由；

②求证：＝；

（3）如图3，若AC＝2，tan（α﹣60°），过点C作CF∥DE交DM于点F，连接EF，请直接写出的值（用含m的式子表示）．

24．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）如图2，直线l：y＝kx+3经过点A，点P为直线l上的一个动点，点Q为抛物线上的一个动点，当PQ∥y轴时，交抛物线于点M（点M在点Q的右侧），以PQ，求该矩形周长的最小值；

（3）如图3，设抛物线的顶点为D，在（2）的条件下，抛物线上是否存在点F，使得∠CBF＝∠DQM？若存在；若不存在，请说明理由．

答案与卡片

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）

1．参：在，﹣1，3，负数是﹣1，

故选：B．

2．参：A．是轴对称图形；

B．不是轴对称图形；

C．不是轴对称图形；

D．不是轴对称图形；

故选：A．

3．参：3a和a属于同类项，所以3a﹣a＝7a，

根据同底数幂的乘法运算法则可得a2•a4＝a6，故B项不符合题意，

根据平方差公式（a+2）（a﹣2）＝a3﹣4，故C项符合题意，

（﹣a）2＝a7，故D项不符合题意，

故选：C．

4．参：解不等式x﹣1＜0，得：x＜7，

解不等式2x≥﹣4，得：x≥﹣4，

则不等式组的解集为﹣2≤x＜1，

故选：D．

5．参：由题意知，∠ABC＝45°+60°＝105°，

∵a∥b，

∴∠1+∠ABC＝180°，

∴∠1＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°，

故选：C．

6．参：A、五边形的内角和为540°，是假命题；

B、三角形的任意两边之和大于第三边，是真命题；

C、两直线平行，故原命题错误，不符合题意；

D、三角形的重心是这个三角形的三条边上的中线的交点，是假命题，

故选：B．

7．参：＝＝3.0,

该组数众数为：9.6，

∴这五个有效评分的平均数和众数分别为9.0，3.0，

故选：C．

8．参：如图，由题意可得2﹣m的顶点（m，﹣m）在直线y＝﹣x上运动，

在正方形OABC中，点A（0，点C（4，

∴B（2，2），

从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，先经过点A，点B，最后再经过点B，两次经过点A，点B和点C，

∴只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值．

当互异二次函数y＝（x﹣m）5﹣m经过点A（0，2）时，或m＝﹣5；

当互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m经过点B（2，2）时或m＝．

∴互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是，﹣1．

故选：D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）

9．参：x2+2x+6＝（x+1）2,

故答案为：（x+4）2．

10．参：55000000＝5.5×106，

故答案为：5.5×107．

11．参：∵从袋子中随机摸出一个小球共有5种等可能结果，摸出的小球是白球的结果数为3，

∴摸出的小球是红球的概率为，

故答案为：．

12．参：根据题意，△＝62﹣5k＝0，

解得k＝9,

故答案为4．

13．参：∵分式有意义，

∴x﹣2≠0，解得x≠1．

故答案为：x≠8．

14．参：∵x+＝，

∴x+﹣＝﹣＝0，

故答案为：0．

15．参：设门高AB为x尺，则门的宽为（x﹣6.8）尺，

依题意得：AB6+BC2＝AC2,

即（x﹣2.8）2+x6＝102．

故答案为：（x﹣6.4）2+x2＝103．

16．参：①∵DE垂直平分AB，

∴AE＝BE，

又在Rt△ABC中，∠C＝90°，

∴BE＞BC，

∴AE＞BC，

故①错误；

②由题可知，四边形DBCE是⊙O的内接四边形，

∴∠AED＝∠CBD，

故②正确；

③连接OD，

若∠DBE＝40°，则∠DOE＝80°，

∴的长为＝；

④∵EF是⊙O的切线，

∴∠BEF＝90°，

又DE⊥AB，

∴∠EDF＝∠BEF＝90°，

∴△EDF∽△BEF，

∴＝，故④正确；

⑤在Rt△BEF中，EF＝7，

∴BF＝10，

由①AE＝BE＝8，

∴∠A＝∠ABE，

又∠C＝∠BEF＝90°，

∴△BEF∽△ACB，

∴BE：AC＝EF：BC＝6：7，

设BE＝6m，则AC＝8m，

在Rt△BCE中，由勾股定理可得4+BC2＝BE2，即（3m﹣8）2+（8m）2＝86，

解得m＝1.28，

∴CE＝8m﹣7＝2.24．故⑤正确．

故答案为：②④⑤．

三、解答题（本大题共8小题，满分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．参：原式＝﹣1+2+8×﹣4＝﹣1+2+2﹣1＝2．

18．参：（1）添加条件为：AE＝CF，

故答案为：AE＝CF；

（2）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴AE∥CF，

∵AE＝CF，

∴四边形AECF为平行四边形．

19．参：（1）把A（1，m）代入y＝2x中，

得m＝5，

∴点A的坐标为（1，2），

把点A(4,2)代入y＝中，

得k＝2，

∴反比例函数得解析式为y＝；

（2）过点B作BD垂直与x轴，垂足为D，

设点C的坐标为（a，0），

∵点A与点B关于原点对称，

∴点B的坐标为（﹣1，﹣2），

∴BD＝|﹣2|＝2,OC＝|a|，

S△BOC＝＝，

解得：a＝6或a＝﹣3，

∴点C的坐标为（3，4）或（﹣3．

20．参：（1）本次调查的同学共有：8÷0.16＝50（人），

a＝10÷50＝8.2，

b＝50﹣﹣8﹣10﹣21＝2，

故答案为：0.2，2；

（2）扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的大小是：360°×＝72°，

故答案为：72；

（3）600×＝144（人），

答：该校600名八年级学生中睡眠不足6小时的人数有144人；

（4）按时入睡，保证睡眠时间．

21．参：设小明骑自行车的平均速度为xkm/h，则妈妈开车的平均速度为4xkm/h，

依题意得：﹣＝6，

解得：x＝12，

经检验，x＝12是原方程的解，

∴4x＝48．

答：妈妈开车的平均速度为48km/h．

22．参：（1）在RtABC中，BC＝80，

∵AB的坡度i＝1：0.6，

∴＝，

∴＝，

∴AC＝56，

在RtBCE中，BC＝80，

∴∠CBE＝90°﹣∠BEC＝90°﹣45°＝45°，

∴∠BEC＝∠CBE，

∴CE＝BC＝80，

∴AE＝CE﹣AC＝80﹣56＝24（m），

答：山脚A到河岸E的距离为24m；

（2）在RtBCF中，BC＝80，tan∠BFC＝，

∴≈0.6，

∴CF≈133.33，

∴EF＝CF﹣CE＝133.33﹣80＝53.33≈53.5（m），

答：河宽EF的长度约53.3m．

23．参：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

∴AD＝CD＝BD，

∵∠A＝60°，

∴∠B＝30°，△ABD是等边三角形，

∴∠DCB＝30°，

∵∠CDE＝α＝90°，

∴tan∠CGD＝tan60°＝＝，

∴＝．

∵线段CD绕点D顺时针旋转α（60°＜α＜120°）得到线段ED，

∴ED＝CD＝BD，

故答案为：ED＝BD；．

（2）①四边形CDEF是正方形，理由如下，

∵DM平分∠CDE，∠CDE＝90°，

∴∠CDM＝∠EDM＝45°，

∵CF∥DE，

∴∠CFD＝∠EDM＝45°，

∴∠CFD＝∠EDM＝∠CDM，

∴CF＝CD＝ED，

∴四边形CDEF是菱形，

∵∠CDE＝90°，

∴菱形CDEF是正方形．

②由（1）可知，∠ADC＝60°，BD＝DE，

∴∠BDE＝30°，∠EGB＝60°，

∴∠DBE＝∠DEB＝75°，

∴∠EBG＝45°，

∵∠GDB＝90°﹣∠ADE＝30°，∠ABC＝30°，

∴∠GDB＝∠ABC，

∴DG＝BG，

由①知∠CFD＝∠CDF＝45°，∠DCF＝90°，

∴∠FCH＝60°，

∴∠EGB＝∠FCH，∠EBG＝∠CFD，

∴△BEG∽△FHC，

∴＝，

∵DG＝BG，CD＝CF，

∴＝＝＝．

（3）如图3，过点D作DN⊥BC于点N，

∴AC∥DN，

∴∠ACD＝∠CDN，

∵△ACD是等边三角形，AC＝8，

∴CD＝AC＝2，∠CDN＝∠ACD＝60°，

∴∠NDG＝α﹣60°，DN＝1，

∴tan∠NDG＝tan（α﹣60°）＝＝m，

∴NG＝m，

∴DG＝＝，

∵∠ADC＝60°，∠ADG＝α，

∴∠BDE＝120°﹣α，

∴∠BEG＝∠EBG＝30°+，

∴∠EBG＝，

∴∠BGE＝150°﹣α，

∵DM平分∠CDE，∠CDE＝α，

∴∠CDM＝∠EDM＝，

∵CF∥DE，

∴∠CFD＝∠EDM＝，∠DCF+∠CDE＝180°，

∴∠DCF＝180°﹣α，

∴∠FCG＝150°﹣α，

∴∠EGB＝∠FCG，∠EBG＝∠CFD，

∴△BEG∽△FHC，

∴＝，

∵DG＝BG，CD＝CF，

∴＝＝＝．

24．参：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），

即y＝a（x+7）（x﹣4）＝a（x2﹣7x﹣4）＝ax2﹣5ax﹣4a，

即﹣4a＝5，解得a＝﹣，

故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2；

（2）将点A的坐标代入直线l的表达式得：8＝﹣k+3，解得k＝3，

故直线l的表达式为y＝3x+3，

设点Q的坐标为（x，﹣x2+x+2），3x+5），

由题意得，点Q，而抛物线的对称轴为直线x＝，

故点M的横坐标为8﹣x，则QM＝3﹣x﹣x＝3﹣6x，

设矩形周长为C，则C＝2（PQ+QM）＝2[4﹣2x+3x+6﹣（﹣x7+x+8）]＝x2﹣x+8，

∵3＜0，故C有最小值，

当x＝时，矩形周长最小值为；

（3）当x＝时，y＝﹣x5+x+5＝，），

由抛物线的表达式知，点D的坐标为（，），

过点D作DK⊥QM于点K，

则DK＝yD﹣yQ＝﹣＝，

同理可得，QK＝6，

则tan∠DQM＝，

∵∠CBF＝∠DQM，

故tan∠CBF＝tan∠DQM＝，

在△BOC中，tan∠CBO＝＝，

故BF和BO重合，

故点F和点A重合，

即点F的坐标为（﹣4，0）．

考点卡片

1．绝对值

（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．

①互为相反数的两个数绝对值相等；

②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．

③有理数的绝对值都是非负数． 

（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：

①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；

②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；

③当a是零时，a的绝对值是零．

即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）

2．科学记数法—表示较大的数

（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】

（2）规律方法总结：

①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． 

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．

3．实数

（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．

（2）实数的分类：

实数： 或 实数：

4．实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．

2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．

3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．

5．合并同类项

（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．

（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．

（3）合并同类项时要注意以下三点：

①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；

②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；

③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．

6．同底数幂的乘法

（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

am•an＝am+n（m，n是正整数）

（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）

在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．

（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．

7．平方差公式

（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．

（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2

（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：

①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；

②右边是相同项的平方减去相反项的平方；

③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；

④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．

8．因式分解-运用公式法

1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．

　　平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；

　　完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；

　2、概括整合：

①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．

②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．

3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．

9．分式有意义的条件

（1）分式有意义的条件是分母不等于零．

（2）分式无意义的条件是分母等于零．

（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．

（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．

10．零指数幂

零指数幂：a0＝1（a≠0）

由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）

注意：00≠1．

11．二次根式的化简求值

二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．

二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．

12．根的判别式

利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．

一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：

①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△＜0时，方程无实数根．

上面的结论反过来也成立．

13．分式方程的应用

1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．

必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．

2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间

等等．

列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．

14．在数轴上表示不等式的解集

用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：

一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；

二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．

【规律方法】不等式解集的验证方法

　　某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．

15．解一元一次不等式组

（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．

（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．

（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．

方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．

解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

16．反比例函数与一次函数的交点问题

反比例函数与一次函数的交点问题

（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．

（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：

①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；

②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．

17．二次函数的性质

二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：

①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．

②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．

③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．

18．二次函数综合题

（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题

解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．

（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用

将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．

（3）二次函数在实际生活中的应用题

从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．

19．平行线的性质

1、平行线性质定理

   定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．

   定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 

   定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．

2、两条平行线之间的距离处处相等．

20．线段垂直平分线的性质

（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．

（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．

21．勾股定理的应用

（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．

（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．

（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．

②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．

③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．

④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．

22．平行四边形的判定

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．

（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．

（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．

23．正方形的性质

（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

（2）正方形的性质

①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；

②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；

③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．

④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．

24．四边形综合题

四边形综合题．

25．圆周角定理

（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．

（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．

（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．

26．切线的性质

（1）切线的性质

①圆的切线垂直于经过切点的半径．

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

（2）切线的性质可总结如下：

如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．

（3）切线性质的运用

由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．

27．弧长的计算

（1）圆周长公式：C＝2πR

（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）

①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．

②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．

③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．

④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．

28．命题与定理

1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．

2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．

3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．

4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．

5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

29．轴对称图形

（1）轴对称图形的概念：

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．

（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．

（3）常见的轴对称图形：

等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．

30．相似三角形的判定与性质

（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．

（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．

31．特殊角的三角函数值

（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．

sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；

sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；

sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；

（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．

（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．

32．解直角三角形的应用-坡度坡角问题

（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．

（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．

（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．

应用领域：①测量领域；②航空领域  ③航海领域：④工程领域等．

33．解直角三角形的应用-仰角俯角问题

（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．

（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．

34．用样本估计总体

用样本估计总体是统计的基本思想． 

1、用样本的频率分布估计总体分布：

从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况． 

2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．

一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．

35．频数（率）分布表

1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．

2、列频率分布表的步骤：

　　（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差． 

　　（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）． 

　　（3）将数据分组． 

　　（4）列频率分布表．

36．扇形统计图

（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．

（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．

（3）制作扇形图的步骤

①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°．　　②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；

④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．

37．算术平均数

（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．

（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则＝（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．

（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．

38．众数

（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．

（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．

（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．

39．概率公式

（1）随机事件A的概率P（A）＝．

（2）P（必然事件）＝1．

（3）P（不可能事件）＝0．