高考数学抛物线的性质重点题型

教学过程

课堂导入

太阳能是最清洁的能源．太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型例子．太阳能灶接受面是抛物线一部分绕其对称轴旋转一周形成的曲面．它的原理是太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳能灶把光能转化为热能的理论依据．

师：抛物线有几个焦点？

【提示】　一个．

师：抛物线的顶点与椭圆有什么不同？

【提示】　椭圆有四个顶点，抛物线只有一个顶点．

师：抛物线有对称中心吗？

【提示】　没有．

师：抛物线有对称轴吗？若有对称轴，有几条？

【提示】　有；1条．

一、复习预习

1、复习抛物线的定义及标准方程的内容

2、提问双曲线有哪些几何性质，获取的途径有哪些？

（从范围、对称性、顶点及离心率等研究抛物线的几何性质．）

   二、知识讲解

考点2 直线与抛物线

1、通径：过抛物线的焦点且垂直于抛物线的轴的弦AB，叫做抛物线的通径，

其长为叫做抛物线的．

2、抛物线焦半径公式：设P（x0,y0）为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，F为焦点，则；y2=2px(p＜0＝上任意一点，F为焦点，则；

3、抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦（过焦点的弦）为AB，A（x1,y1）、B(x2,y2),则有如下结论：（1）＝x1+x2+p;（2）y1y2=－p2，x1x2=;

   三、例题精析

【例题1】

【题干】已知拋物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与拋物线交于A、B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此拋物线的标准方程．

【答案】y2＝±4x.

【解析】由题意，设拋物线方程为y2＝ax(a≠0)．

焦点F(，0)，直线l：x＝，

∴A、B两点的坐标分别为(，)，(，－)，

∴AB＝|a|，

∵△OAB的面积为4，

∴·||·|a|＝4，∴a＝±4，

∴拋物线的方程为y2＝±4x.

【例题2】

【题干】已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴重合于椭圆＋＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为5，求抛物线的方程．

【答案】y2＝20x或y2＝－20x.

【解析】　∵椭圆＋＝1的焦点在y轴上，

∴椭圆＋＝1短轴所在的直线为x轴．

∴抛物线的对称轴为x轴．

∴设抛物线的方程为y2＝mx(m≠0)．

∴||＝5，∴m＝±20.

∴所求抛物线的方程为y2＝20x或y2＝－20x.

【例题3】

【题干】已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A、B两点，且AB＝p，求AB所在直线的方程．

【答案】y＝2(x－)或y＝－2(x－)．

【解析】法一　焦点F(，0)，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，若AB⊥Ox，则AB＝2p所以直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y＝k(x－)，k≠0.由，消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.由韦达定理得，y1＋y2＝，y1y2＝－p2.

∴AB＝ 

＝ 

＝·

＝2p(1＋)＝p，解得k＝±2.

∴AB所在直线方程为y＝2(x－)或y＝－2(x－)．

法二　如图所示，抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，A(x1，y1)、B(x2，y2)，

设A、B到准线的距离分别为dA，dB，

由抛物线的定义知，

AF＝dA＝x1＋，BF＝dB＝x2＋，

于是AB＝x1＋x2＋p＝p，x1＋x2＝p.当x1＝x2时，AB＝2p设直线AB的方程为y＝k(x－)．

由，得k2x2－p(k2＋2)x＋k2p2＝0，x1＋x2＝＝p，解得k＝±2，所以直线AB的方程为y＝2(x－)或y＝－2(x－)．

【例题4】

【题干】斜率为的直线经过抛物线x2＝8y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．

【答案】10

【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则对于抛物线x2＝8y，焦点弦长AB＝p＋(y1＋y2)＝4＋(y1＋y2)．

因为抛物线x2＝8y的焦点为(0,2)，且直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为y＝x＋2，代入抛物线方程x2＝8y，得y2－6y＋4＝0，从而y1＋y2＝6，所以AB＝10.

即线段AB的长为10.

【例题5】

【题干】已知P是抛物线y2＝4x上任意一点，点A(a,0)，试求当PA最小时P点的坐标．

【答案】P点的坐标为：a≤2时，P(0,0)；a＞2时，P(a－2，±2)．

【解析】设P(x，y)，则PA＝

＝

＝.

∵x≥0，a∈R，

∴需分类讨论如下：

(1)当a－2≤0即a≤2时，PA的最小值为|a|，此时P(0，0)．

(2)当a－2＞0即a＞2时，则x＝a－2，PA取得最小值为2，此时P(a－2，±2)．

综上所述，PA最小时，P点的坐标为：a≤2时，

P(0,0)；a＞2时，P(a－2，±2)．

【例题6】

【题干】求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．

【答案】.

【解析】　法一　设抛物线y＝x2上一点P(x0，y0)到直线l：x－y－2＝0的距离为d，

则d＝＝＝|(x0－)2＋|.

当x0＝时，dmin＝.

法二　消去y得x2－x－m＝0令Δ＝1＋4m＝0得m＝－，

∴切线方程为x－y－＝0，

∴最短距离为d＝＝.

【例题7】

【题干】求过定点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．

【答案】x＝0或y＝1或y＝x＋1.

【解析】若直线的斜率不存在，则过点P(0,1)的直线方程为x＝0.

由得

∴直线x＝0与抛物线只有一个公共点．

若直线的斜率存在，则由题意设直线的方程为y＝kx＋1.

由消去y得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.

当k＝0时，有即直线y＝1与抛物线只有一个公共点．

当k≠0时，有Δ＝4(k－1)2－4k2＝0，∴k＝，

即方程为y＝x＋1的直线与抛物线只有一个公共点．

综上所述，所求直线的方程为x＝0或y＝1或y＝x＋1.

  四、课堂运用

【基础】

1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是________．

【答案】　y2＝8x

【解析】　∵＝2，∴p＝4，∴抛物线标准方程为y2＝8x.

2．经过抛物线y2＝2px(p>0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为________．

【答案】　2p

【解析】　通径长为2p.

3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线与抛物线相交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝8，则PQ的值为________．

【答案】　10

【解析】　PQ＝x1＋x2＋2＝10.

4．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是________．

【答案】　

【解析】　由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，

双曲线的渐近线方程为x－y＝0或x＋y＝0，

则焦点到渐近线的距离d1＝＝或d2＝＝.

【巩固】

1．已知等边三角形AOB的顶点A，B在抛物线y2＝6x上，O是坐标原点，则△AOB的边长为________．

【答案】　12

【解析】　设△AOB边长为a，则A(a，)，∴＝6×a.

∴a＝12.

2．过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为m、n，则＋＝________.

【答案】　4a

【解析】　由焦点弦性质知＋＝，抛物线的标准方程为x2＝y(a>0)，∴2p＝，p＝，

∴＋＝4a，即＋＝4a.

3．已知弦AB过拋物线y2＝2px(p＞0)的焦点，则以AB为直径的圆与拋物线的准线的位置关系是________．

【答案】　相切

【解析】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)，如图，则AB＝AF＋BF＝x1＋x2＋p.

设A，B，M到准线l：x＝－距离分别为d1，d2，d，则有d1＝x1＋，d2＝x2＋，

d＝＝＝，

∴以AB为直径的圆与拋物线的准线相切．

4．如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米．

【答案】　2

【解析】　设水面与拱桥的一个交点为A，如图所示，建立平面直角坐标系，则A的坐标为(2，－2)．

设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则22＝－2p×(－2)，得p＝1.

设水位下降1米后水面与拱桥的交点坐标为(x0，－3)，则x＝6，解得x0＝±，所以水面宽为2米．

【拔高】

1．设抛物线顶点在原点，焦点在y轴负半轴上，M为抛物线上任一点，若点M到直线l：3x＋4y－14＝0的距离的最小值为1，求此抛物线的标准方程．

【答案】x2＝－16y.

【解析】　设与l平行的切线方程为3x＋4y＋m＝0，

由得2x2－3px－pm＝0.

∴Δ＝0即m＝－p.

又d＝＝1，∴p＝8或p＝(舍)，

∴抛物线的标准方程为x2＝－16y.

2．过点(0,4)，斜率为－1的直线与拋物线y2＝2px(p＞0)交于两点A，B，如果OA⊥OB(O为原点)求拋物线的标准方程及焦点坐标．

【答案】(1,0)．

【解析】　直线方程为y＝－x＋4.由消去y得x2－2(p＋4)x＋16＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2(p＋4)，x1x2＝16，Δ＝4(p＋4)2－＞0.

所以y1y2＝(－x1＋4)(－x2＋4)＝－8p.

由已知OA⊥OB得x1x2＋y1y2＝0，从而16－8p＝0，解得p＝2.所以，拋物线的标准方程为y2＝4x，焦点坐标为(1,0)．

3．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．

(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；

(2)如果·＝－4，证明：直线l必过一定点，并求出该定点．

【答案】（1）-3；（2）(2,0)．

【解析】　(1)设l：my＝x－1与y2＝4x联立，得y2－4my－4＝0，

∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，

∴·＝x1x2＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝－3.

(2)证明：设l：my＝x＋n与y2＝4x联立，得y2－4my＋4n＝0，

∴y1＋y2＝4m，y1y2＝4n.

由·＝－4＝(m2＋1)y1y2－mn(y1＋y2)＋n2＝n2＋4n，解得n＝－2，

∴l：my＝x－2过定点(2,0)．

课程小结

1．由抛物线的几何性质求抛物线的标准方程，应当先定位，再定量，恰当地设出标准形式，利用待定系数法求解．

2．当抛物线方程为y2＝2px(p>0)时，其焦点弦长公式为AB＝x1＋x2＋p，替代一般弦长公式计算更为简洁，对其它标准方程，可以得出相应焦点弦弦长公式．

3．抛物线的最值问题一般转化为函数最值问题，若是涉及到抛物线上的点坐标，应注意范围的．