MINITAB统计基础

1.正态总体的抽样分布

1)样本均值  的分布——标准正态分布及T分布

样本标准差计算公式：

◆T分布的定义：Student  t  distribution，如果X服从标准正态分布，S2服从个自由度的卡方分布，且它们相互，那么随机量

所服从的分布称为 个自由度的t分布。其分布密度函数为：

当 时的极限分布即是标准正态分布，

当 时就是Cauchy分布。

T分布只包含1个参数。数学期望和方差分别为0，（时期望不存在，方差不存在）。我们常常用表示 υ 个自由度的t分布。MINITAB对于更一般的t分布还增加了一个“非中心参数”，当非中心参数为0时，就得到了我们现在所说的t分布。在用MINITAB计算时，只要注意这一点就行了。

自由度：可以简单理解为在研究问题中，可以自由取值的数据或变量的个数。

范例：

✧Z~N(0，1)，求Z=1.98时的概率密度。

计算----->概率分布----->正态分布----->概率密度----->输入常数1.98----->确定

概率密度函数 

正态分布，均值 = 0 和标准差 = 1

   x     f( x )

1.980.0561831

✧。

计算----->概率分布----->正态分布----->累积概率----->输入常数2.4----->确定

累积分布函数 

正态分布，均值 = 0 和标准差 = 1

x P( X <= x )

2.4     0.991802

✧Z~N(0，1)，求使得P(Z计算----->概率分布----->正态分布----->逆累积概率----->输入常数0.95----->确定

逆累积分布函数 

正态分布，均值 = 0 和标准差 = 1

P( X <= x ) x

       0.95  1.485

✧自由度=12，求使得。

计算----->概率分布----->t分布----->逆累积概率----->输入自由度12----->输入常数0.95----->确定

逆累积分布函数 

学生 t 分布，12 自由度

P( X <= x ) x

       0.95  1.7822

✧自由度=12，求使得。

计算----->概率分布----->t分布----->累积概率----->输入自由度12----->输入常数3----->确定

累积分布函数 

学生 t 分布，12 自由度

x P( X <= x )

3     0.994467

2)双样本均值差的分布

3)正态样本正态样本方差S2的分布——卡房卡方分布

若X1，X2，……,Xn是从正态总体中抽出的一组样本量为n的随机样本，记

已知时：

当未知时，用  替 后可以得到

其概率密度函数在正半轴上呈正偏态分布。

◆卡方分布的定义：把n个相互的标准正态随机变量的平方和称为自由度为n的卡方分布。它的密度表达式为：

参数 称为自由度。

卡方分布有向右的偏斜，特别在较小自由度情况下（ 越小，分布越偏斜）。我们常用  表达自由度为 的卡方分布。

卡方分布有很多用途，其中一项就是用来分析单个正态总体样本方差的状况；还可以用来进行分布的拟合优度检验，即检验资料是否符合某种特定分布；对于离散数据构成的列联表，也可以用来分析两个离散型因子间是否等。

◆卡方分布的性质

a)卡方分布的加法性：设X和Y彼此，且都服从卡方分布，其自由度分别为n1，n2。若令Z=X+Y，则Z服从自由度为n1+n2的卡方分布。

b)若 X ，则，。

计算下列各卡方分布的相关数值：

✧自由度=10，求使得 成立的 x 值。

计算 -----> 概率分布 -----> 卡方分布 -----> 逆累积概率 -----> 自由度=10 -----> 常数=0.95 -----> 确定

逆累积分布函数 

卡方分布，10 自由度

P( X <= x ) x

       0.95  18.307

✧自由度=10，求 。

计算 -----> 概率分布 -----> 卡方分布 -----> 累积概率 -----> 自由度=10 -----> 常数=28 -----> 确定

累积分布函数 

卡方分布，10 自由度

x P( X <= x )

28     0.998195

4)两个的正态样本方差之比的分布——F分布

两个的正态样本方差之比的分布是F分布。

设有两个的正态总体  () 和  () ，它们的方差相等。又设X1，X2，…，Xn是来自 ()的一个样本Y1，Y2，…，Yn是来自 () 的一个样本，这两样相互。它们的样本方差之比是自由度为n-1和m-1的F分布：

n-1称为分子自由度；m-1为分母自由度；F分布的概率密度函数在正半轴上呈正偏态分布。

实际上，F统计量就是由两个卡方随机变量相除所构成的，如果， ，且二者相互，则称二者比值的分布为F分布，即

其密度函数是：

F分布的应用非常广泛，尤其是在判断两正态总体方差是否相等以及方差分析（ANOVA）等问题上面。

✧计算F0.95（8，,18）的数值。

计算 -----> 概率分布 -----> F分布 -----> 逆累积概率 -----> 分子自由度=8 -----> 分母自由度=18 ----->常数=0.95 ----->确定

逆累积分布函数 

F 分布，8 分子自由度和 18 分母自由度

P( X <= x ) x

       0.95  2.51016

2.参数的点估计

1)点估计的概念

用单个数值对于总体参数给出估计的方法称为点估计。

设Ɵ是总体的一个未知参数，X1，X2，…，Xn是从总体中抽取的样本量为n的一个随机样本，那么用来估计未知参数Ɵ的统计量（X1，X2，…Xn）称为Ɵ的估计量，或称为Ɵ的点估计。

我们总是在参数上方画一个帽子“∧”表示该参数的估计量。在工程中经常出现的点估计问题之最好结果是：

对于总体均值 ，   ；

对于总体方差  ，   ；

对于比率p ，   ，X是样本量为n的随机样本中我们感兴趣的那类出现的次数；

对于  1 -  2 ， =（两个随机样本均值之差）；

对于p1 - p2，估计为 （两个随机样本比率之差）；

2)点估计的评选标准

3.参数的区间估计

设Ɵ是总体的一个待估参数，从总体中获得样本量为n 的样本是X1，X2，…，Xn，对给定的显著性水平α（0﹤α﹤1），有统计量：ƟL= ƟL（X1，X2，…，Xn）与ƟU= ƟU（X1，X2，…，Xn），若对于任意Ɵ有P（ƟL≤Ɵ≤ƟU）= 1 - α，则称随机区间[ƟL，ƟU]是Ɵ的置信水平为1-α的置信区间，ƟL与ƟU分别称为置信下限和置信上限。

置信区间的大小表达了区间估计的精确性，置信水平表达了区间估计的可靠性， 1 - α是区间估计的可靠程度，而 α 表达了区间估计的不可靠程度。

在进行区间估计时，必须同时考虑置信水平与置信区间两个方面。对于置信区间的选取，一定要注意，决不能认为置信水平越大的置信区间就越好。实际上，置信水平定的越大，则置信区间相应也一定越宽，当置信水平太大时，则置信区间会宽得没有实际意义了。这两者要结合在一起考虑，才更为实际。通常我们取置信水平为0.95，极个别情况下可取0.99或0.90，一般不取其他的置信水平。

1)单正态总体均值的置信区间

当时，正态总体均值的置信区间有以下三种情况：

a)当总体方差已知时，正态总体均值 的 1 – α置信区间为：

式中，是标准正态分布的  分位数，也就是双侧 α 分位数。例如α=0.05时，。

在MINITAB中，我们通过：统计 -----> 基本统计量 -----> 单样本Z 来实现的。

由于实际情况中，已知标准差的情况很少见，因此我们这里重点关注的是标准差位置时的情况。

b)当总体方差未知时， 用样本标准差S代替，此时正态总体均值 的 1 – α置信区间为：

式中， 表示自由度为n – 1的 t 分布的  分位数，也就是t分布的双侧 α 分位数。例如α=0.05时，样本量n = 16时，，其值略大于。

在MINITAB中，我们通过：统计 -----> 基本统计量 -----> 单样本t 来实现的。

✧某集团公司正推进节省运输费用活动，下表为20个月使用的运输费用调查结果数据：

统计 -----> 基本统计量 -----> 单样本t -----> 样本所在列 = 运输费用 -----> 选项  -----> 置信水平 = 95  -----> 确定。

单样本 T: 运输费用 

                              均值标

变量       N    均值  标准差    准误    95% 置信区间

运输费用  20  1745.2    61.9    13.8  (1716.2, 1774.2)

c)前两种情况讨论的是当总体为正态分布时， 的区间估计，然而当总体不是正态分布时，如果样本量n 超过30，则可根据中心极限定理知道： 仍近似服从正态分布，因而仍可用正态分布总提示的均值 的区间估计方法，而且可以直接用样本标准差代替总体标准差，即采用公式：

在MINITAB中，通常直接采用：统计 -----> 基本统计量 -----> 图形化汇总 中得到总体均值的置信区间结果。只不过要注意的是：总体非正态时，在小样本情况下此结果并不可信，只有当样本量超过30后，由于中心极限定理的保证，此结果才是可信的。

2)单正态总体方差和标准差的置信区间

当时，正态总体方差的置信区间是：

式中，和分别是  分位数与  分位数。

当时，正态总体标准差的置信区间是：

✧某集团公司正推进节省运输费用活动，下表为20个月使用的运输费用调查结果数据：

统计 -----> 基本统计量 -----> 单方差 -----> 样本所在列 = 运输费用 -----> 选项  -----> 置信水平 = 95  -----> 确定。

单方差检验和置信区间: 运输费用 

方法

卡方方法仅适用于正态分布。

Bonett 方法适用于任何连续分布。

统计量

变量       N  标准差  方差

运输费用  20    61.9  3830

95% 置信区间

                   标准差置信    方差置信区

变量      方法        区间           间

运输费用  卡方    (47.1, 90.4)  (2215, 8170)

          Bonett  (49.0, 86.6)  (2401, 7507)

求总体标准差置信区间另一种方法：统计----->基本统计量----->图形化汇总----->变量：运输费用----->置信水平：95 ----->确定

3)单总体比率的置信区间

当时，也就是X取“非0则1”的0-1分布，我们常需要估计总体中感觉的那类比率的置信区间，比如，一批产品中，不合格品率的大致范围；顾客满意度调查中，有抱怨顾客的比率范围等。

这里我们记总体比率为p，样本比率为  。可以证明，当样本量足够大时（要求np>5及np（1-p）>5），且p值适中（0.1✧一电视台为了调查新节目收视率，在节目放映时间内进行了电话调查。在接受调查的2000名被调查者中有1230名正在收看本节目。求此节目收视率的95%置信区间。

统计----->基本统计量----->单比率----->汇总数据：事件数=1230，实验数=2000----->选项----->置信水平：95 ；勾选使用正态分布的检验和区间----->确定

由于np>5及np（1-p）>5，可用于正态分布近似二项分布，故可以勾选使用基于正态分布的检验和区间。

单比率检验和置信区间 

样本     X     N    样本 p      95% 置信区间

1     1230  2000  0.615000  (0.593674, 0.636326)

使用正态近似。

4)双总体均值差的置信区间

设有两个总体，，从总体X中抽取的样本X1，X2，…，Xn，样本均值为  ，样本方差为  ，样本标准差为  ，从总体Y中抽取的样本Y1，Y2，…，Yn，样本均值为  ，样本方差为  ，样本标准差为  。

对两总体均值差异的区间估计常有以下三种情况：

a)两个总体均服从正态分布，且两个总体的方差  都已知时，两总体均值差异  的1-α 置信水平下的置信区间为：

只要样本量足够大，无论两总体的方差是否相等，上式都成立。

b)两个总体均服从正态分布，且两个总体的方差  均未知时，两总体均值差异  的1-α 置信水平下的置信区间为：

式中，

✧一家冶金公司需要减少其排放到废水中的生物氧需求量含量。用于废水处理的活化泥供应商建议，用纯氧取代空气吹入活化泥以改善生物氧需求量含量（此数值越小越好）。从两种处理的废水中分别抽取10个和9个样品，数据如下：

求两总体的置信区间：统计----->基本统计量----->双样本t----->样本在不同列中：第一=空气，第二=氧气----->勾选假定等方差----->选项：置信水平=95，备择=不等于----->确定。

双样本 T 检验和置信区间: 空气, 氧气 

空气 与 氧气 的双样本 T

                         均值标

       N   均值  标准差    准误

空气  10  186.5    20.0     6.3

氧气   9  169.9    14.7     4.9

差值 = mu (空气) - mu (氧气)

差值估计值:  16.61

差值的 95% 置信区间:  (-0.58, 33.80)

差值 = 0 (与 ≠) 的 T 检验: T 值 = 2.04 P 值 = 0.057 自由度 = 17

两者都使用合并标准差 = 17.7356

c)当两个总体均服从正态分布，且两个总体的方差  均未知时，两总体均值差异  的1-α 置信水平下的置信区间为：

式中，自由度υ的计算公式为：

✧假定A，B两名工人生产相同规格的轴棒，关键尺寸是轴棒的直径。由于A使用的是老式车床，B使用的是新式车床，二者精度可能有差异。经检验，他们的直径数据确实来自两个方差不等的正态分布。现他们各测定13根轴棒直径，数据如下：

求两总体的置信区间：统计----->基本统计量----->双样本t----->样本在不同列中：第一=空气，第二=氧气----->选项：置信水平=95，备择=不等于----->确定。

双样本 T 检验和置信区间: A工人, B工人 

A工人 与 B工人 的双样本 T

                          均值标

        N   均值  标准差    准误

A工人  13  14.32    2.35    0.65

B工人  13  12.36    1.15    0.32

差值 = mu (A工人) - mu (B工人)

差值估计值:  1.965

差值的 95% 置信区间:  (0.435, 3.496)

差值 = 0 (与 ≠) 的 T 检验: T 值 = 2.71 P 值 = 0.015 自由度 = 17

✧随机样本取自均值未知，标准差未知的两个正态分布总体，若第一个总体样本标准差S1=0.73,样本量n=25，，第二个总体样本标准差S2=0.,样本量n=20，。求的95%置信区间。

统计----->基本统计量----->双样本t----->汇总数据：第一（样本数量=25，均差=6.9，标准差=0.73），第二（样本数量=20，均差=6.7，标准差=0.）----->选项：置信水平=95 ----->确定。

双样本 T 检验和置信区间 

                         均值标

样本   N   均值  标准差    准误

1     25  6.900   0.730    0.15

2     20  6.700   0.0    0.20

差值 = mu (1) - mu (2)

差值估计值:  0.200

差值的 95% 置信区间:  (-0.301, 0.701)

差值 = 0 (与 ≠) 的 T 检验: T 值 = 0.81 P 值 = 0.423 自由度 = 36

5)双总体比率差的置信区间

设两个总体的比率分别为p1和p2，为了估计p1 - p2 ，分别从两个总体中各随机抽取样本量为n1和n2的两个随机样本，并计算两个样本的比率，可以证明p1 - p2的置信水平为1 –α的置信区间为：

✧为了解员工对工资的满意度，对250名男员工、200名女员工进行调查，数据如下：

统计----->基本统计量----->双比率----->汇总数据：第一（事件=110，实验=250），第二（事件=104，实验=200）----->选项：置信水平=95 ----->勾选使用P的合并估计值进行检验 ----->确定。

双比率检验和置信区间 

样本    X    N    样本 p

1     110  250  0.440000

2     104  200  0.520000

差值 = p (1) - p (2)

差值估计值:  -0.08

差值的 95% 置信区间:  (-0.172630, 0.0126298)

差值 = 0(与 ≠ 0) 的检验: Z = -1.69  P 值 = 0.091

Fisher 精确检验: P 值 = 0.106