2021年岳阳市中考数学试题及答案

一、选择题（ 本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1．在实数，﹣1，0，2中，为负数的是（　　）

A． B．﹣1 C．0 D．2

2．下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（　　）

A． B．    

C． D．

3．下列运算结果正确的是（　　）

A．3a﹣a＝2 B．a2•a4＝a8    

C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4 D．（﹣a）2＝﹣a2

4．已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（　　）

A． B．    

C． D．

5．将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a∥b，则∠1的大小为（　　）

A．45° B．60° C．75° D．105°

6．下列命题是真命题的是（　　）

A．五边形的内角和是720°    

B．三角形的任意两边之和大于第三边    

C．内错角相等    

D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点

7．在学校举行“庆祝百周年，赞歌献给党”的合唱比赛中，七位评委给某班的评分去掉一个最高分、一个最低分后得到五个有效评分，分别为：9.0，9.2，9.0，8.8，9.0（单位：分），这五个有效评分的平均数和众数分别是（　　）

A．9.0，8.9 B．8.9，8.9 C．9.0，9.0 D．8.9，9.0

8．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（　　）

A．4，﹣1 B．，﹣1 C．4，0 D．，﹣1

二、填空题（ 本大题共8小题，每小题4分，共32分）

9．因式分解：x2+2x+1＝　       　．

10．2021年5月15日，“天问一号”探测器成功着陆火星，在火星上首次留下了中国印迹．据公开资料显示，地球到火星的最近距离约为55000000公里，数据55000000用科学记数法表示为 　        　．

11．一个不透明的袋子中装有5个小球，其中3个白球，2个黑球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为 　              　．

12．已知关于x的一元二次方程x2+6x+k＝0有两个相等的实数根，则实数k的值为 　 　．

13．要使分式有意义，则x的取值范围为　    　．

14．已知x+＝，则代数式x+﹣＝　 　．

15．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为 　                　．

16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，BE＝8，⊙O为△BCE的外接圆，过点E作⊙O的切线EF交AB于点F，则下列结论正确的是 　    　.（写出所有正确结论的序号）

①AE＝BC；

②∠AED＝∠CBD；

③若∠DBE＝40°，则的长为；

④＝；

⑤若EF＝6，则CE＝2.24．

三、解答题（ 本大题共8小题，共分）

17．（6分）计算：（﹣1）2021+|﹣2|+4sin30°﹣（﹣π）0．

18．（6分）如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F．

（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是 　      　；

（2）添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形．

19．（8分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）与正比例函数y＝2x的图象交于A（1，m），B两点．

（1）求该反比例函数的表达式；

（2）若点C在x轴上，且△BOC的面积为3，求点C的坐标．

20．（8分）教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t（单位：h）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表：

（1）频数分布表中，a＝　    　，b＝　    　；

（2）扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数是 　    　°；

（3）请估算该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数；

（4）研究表明，初中生每天睡眠时长低于7小时，会严重影响学习效率．请你根据以上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议．

21．（8分）星期天，小明与妈妈到离家16km的洞庭湖博物馆参观．小明从家骑自行车先走，1h后妈妈开车从家出发，沿相同路线前往博物馆，结果他们同时到达．已知妈妈开车的平均速度是小明骑自行车平均速度的4倍，求妈妈开车的平均速度．

22．（8分）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高BC＝80m，坡面AB的坡度i＝1：0.7（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．

（1）求山脚A到河岸E的距离；

（2）若在此处建桥，试求河宽EF的长度．（结果精确到0.1m）

（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）

23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，点D为AB的中点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转α（60°＜α＜120°）得到线段ED，且ED交线段BC于点G，∠CDE的平分线DM交BC于点H．

（1）如图1，若α＝90°，则线段ED与BD的数量关系是 　      　，＝　      　；

（2）如图2，在（1）的条件下，过点C作CF∥DE交DM于点F，连接EF，BE．

①试判断四边形CDEF的形状，并说明理由；

②求证：＝；

（3）如图3，若AC＝2，tan（α﹣60°）＝m，过点C作CF∥DE交DM于点F，连接EF，BE，请直接写出的值（用含m的式子表示）．

24．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）如图2，直线l：y＝kx+3经过点A，点P为直线l上的一个动点，且位于x轴的上方，点Q为抛物线上的一个动点，当PQ∥y轴时，作QM⊥PQ，交抛物线于点M（点M在点Q的右侧），以PQ，QM为邻边构造矩形PQMN，求该矩形周长的最小值；

（3）如图3，设抛物线的顶点为D，在（2）的条件下，当矩形PQMN的周长取最小值时，抛物线上是否存在点F，使得∠CBF＝∠DQM？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

岳阳市2021年中考数学试题参

一、选择题（ 本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1．B     2．A     3．C     4．D

5．C     6．B     7．C     8．D

二、填空题（ 本大题共8小题，每小题4分，共32分）

9．（x+1）2

10．5.5×107

11．

12．9

13．x≠1

14．0

15．（x﹣6.8）2+x2＝102

16．②④⑤

三、解答题（ 本大题共8小题，共分）

17．解：原式＝﹣1+2+4×﹣1＝﹣1+2+2﹣1＝2．

18．解：（1）添加条件为：AE＝CF，

故答案为：AE＝CF；

（2）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴AE∥CF，

∵AE＝CF，

∴四边形AECF为平行四边形．

19．解：（1）把A（1，m）代入y＝2x中，

得m＝2，

∴点A的坐标为（1，2），

把点A（1，2）代入y＝中，

得k＝2，

∴反比例函数的解析式为y＝；

（2）过点B作BD垂直与x轴，垂足为D，

设点C的坐标为（a，0），

∵点A与点B关于原点对称，

∴点B的坐标为（﹣1，﹣2），

∴BD＝|﹣2|＝2，OC＝|a|，

S△BOC＝＝，

解得：a＝3或a＝﹣3，

∴点C的坐标为（3，0）或（﹣3，0）．

20．解：（1）本次调查的同学共有：8÷0.16＝50（人），

a＝10÷50＝0.2，

b＝50﹣4﹣8﹣10﹣21＝7，

故答案为：0.2，7；

（2）扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的大小是：360°×＝72°，

故答案为：72；

（3）600×＝144（人），

答：估计该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数有144人；

（4）按时入睡，保证睡眠时间．

21．解：设小明骑自行车的平均速度为xkm/h，则妈妈开车的平均速度为4xkm/h，

依题意得：﹣＝1，

解得：x＝12，

经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，

∴4x＝48．

答：妈妈开车的平均速度为48km/h．

22．解：（1）在Rt△ABC中，BC＝80，

∵AB的坡度i＝1：0.7，

∴＝，

∴＝，

∴AC＝56，

在Rt△BCE中，BC＝80，∠BEC＝∠DBE＝45°，

∴∠CBE＝90°﹣∠BEC＝90°﹣45°＝45°，

∴∠BEC＝∠CBE，

∴CE＝BC＝80，

∴AE＝CE﹣AC＝80﹣56＝24（m），

答：山脚A到河岸E的距离为24m；

（2）在Rt△BCF中，BC＝80，∠BFC＝∠DBF＝31°，tan∠BFC＝，

∴≈0.6，

∴CF≈133.33，

∴EF＝CF﹣CE＝133.33﹣80＝53.33≈53.3（m），

答：河宽EF的长度约53.3m．

23．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，

∴AD＝CD＝BD，

∵∠A＝60°，

∴∠B＝30°，△ACD是等边三角形，

∴∠DCB＝30°，

∵∠CDE＝α＝90°，

∴tan∠CGD＝tan60°＝＝，

∴＝．

∵线段CD绕点D顺时针旋转α（60°＜α＜120°）得到线段ED，

∴ED＝CD＝BD，

故答案为：ED＝BD；．

（2）①四边形CDEF是正方形，理由如下，

∵DM平分∠CDE，∠CDE＝90°，

∴∠CDM＝∠EDM＝45°，

∵CF∥DE，

∴∠CFD＝∠EDM＝45°，

∴∠CFD＝∠EDM＝∠CDM，

∴CF＝CD＝ED，

∴四边形CDEF是菱形，

∵∠CDE＝90°，

∴菱形CDEF是正方形．

②由（1）可知，∠ADC＝60°，∠CGD＝60°，BD＝DE，

∴∠BDE＝30°，∠EGB＝60°，

∴∠DBE＝∠DEB＝75°，

∴∠EBG＝45°，

∵∠GDB＝90°﹣∠ADE＝30°，∠ABC＝30°，

∴∠GDB＝∠ABC，

∴DG＝BG，

由①知∠CFD＝∠CDF＝45°，∠DCF＝90°，

∴∠FCH＝60°，

∴∠EGB＝∠FCH，∠EBG＝∠CFD，

∴△BEG∽△FHC，

∴＝，

∵DG＝BG，CD＝CF，

∴＝＝＝．

（3）如图3，过点D作DN⊥BC于点N，

∴AC∥DN，

∴∠ACD＝∠CDN，

∵△ACD是等边三角形，AC＝2，

∴FC＝CD＝AC＝2，∠CDN＝∠ACD＝60°，

∴∠NDG＝α﹣60°，DN＝1，

∴tan∠NDG＝tan（α﹣60°）＝＝m，

∴NG＝m，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，

∴AB＝4，BC＝2，

∴BN＝CN＝，

∴BG＝﹣m，

∵∠ADC＝60°，∠CDG＝α，

∴∠BDE＝120°﹣α，

∴∠BEG＝∠EBG＝30°+，

∴∠EBG＝，

∴∠BGE＝150°﹣α，

∵DM平分∠CDE，∠CDE＝α，

∴∠CDM＝∠EDM＝，

∵CF∥DE，

∴∠CFD＝∠EDM＝，∠DCF+∠CDE＝180°，

∴∠DCF＝180°﹣α，

∴∠FCG＝150°﹣α，

∴∠EGB＝∠FCG，∠EBG＝∠CFD，

∴△BEG∽△FHC，

∴＝＝．

24．解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），

即y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4）＝ax2﹣3ax﹣4a，

即﹣4a＝2，解得a＝﹣，

故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2；

（2）将点A的坐标代入直线l的表达式得：0＝﹣k+3，解得k＝3，

故直线l的表达式为y＝3x+3，

设点Q的坐标为（x，﹣x2+x+2），则点P的坐标为（x，3x+3），

由题意得，点Q、M关于抛物线对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x＝，

故点M的横坐标为3﹣x，则QM＝3﹣x﹣x＝3﹣2x，

设矩形周长为C，则C＝2（PQ+QM）＝2[3﹣2x+3x+3﹣（﹣x2+x+2）]＝x2﹣x+8，

∵1＞0，故C有最小值，

当x＝时，矩形周长最小值为；

（3）当x＝时，y＝﹣x2+x+2＝，即点Q的坐标为（，），

由抛物线的表达式知，点D的坐标为（，），

过点D作DK⊥QM于点K，

则DK＝yD﹣yQ＝﹣＝，

同理可得，QK＝1，

则tan∠DQM＝，

∵∠CBF＝∠DQM，

故tan∠CBF＝tan∠DQM＝，

在△BOC中，tan∠CBO＝＝，

故BF和BO重合，

故点F和点A重合，

即点F的坐标为（﹣1，0），

当点F在直线BC的上方时，∵AC＝，BC＝2，AB＝5，

∴AB2＝AC2+BC2，

∴∠ACB＝90°，

则点A关于BC的对称点A′（1，4），

∴直线BF的解析式为y＝﹣x+，

由，解得或，

∴F（，），

综上所述，满足条件的点F的坐标为（﹣1，0）或（，）