关于高一数学几何数学经典试题

(1)  FD∥平面ABC;

(2)  AF⊥平面EDB.

解；(1)取AB的中点M,连FM,MC,

∵ F、M分别是BE、BA的中点 ∴ FM∥EA, FM= EA

∵ EA、CD都垂直于平面ABC  ∴ CD∥EA∴ CD∥FM

又 DC=a,  ∴  FM=DC  ∴四边形FMCD是平行四边形

∴ FD∥MC

FD∥平面ABC

(2) 因M是AB的中点，△ABC是正三角形，所以CM⊥AB

又  CM⊥AE,所以CM⊥面EAB, CM⊥AF, FD⊥AF, 

因F是BE的中点, EA=AB所以AF⊥EB. 

2、已知四棱锥P-ABCD(如图所示)的底面为正方形，点A是点P在底面AC上的射影，PA=AB=a，S是PC上一个动点．

1）求证：；（4分）

2）当的面积取得最小值时,求平面SBD与平面PCD所成二面角的大小．（10分）

  1）证明：连接AC．

∵点A是点P在底面AC上的射影,(1分)

∴PA?面AC.(2分)

PC在面AC上的射影是AC.

正方形ABCD中,BD?AC,(3分)

∴BD?PC.(4分)

2)解:连接OS.

∵BD?AC,BD?PC,

又AC、PC是面PAC上的两相交直线,

∴BD?面PAC. (6分)

∵OS?面PAC,

∴BD?OS.(7分)

正方形ABCD的边长为a，BD=，（8分）

∴?BSD的面积．（9分）

OS的两个端点中，O是定点，S是动点．

∴当取得最小值时，ＯＳ取得最小值，即OS?PC．（10分）

∵PC?BD， OS、BD是面BSD中两相交直线，

∴PC?面BSD．（12分）

又PC?面PCD，∴面BSD?面PCD．（13分）

∴面BSD与面PCD所成二面角的大小为90°．（14分）

4、在三棱锥P－ABC中，,,PA = PB = PC,点P到平面ABC的距离为 AC．

?1? 求二面角P－AC－B的大小；

?2? 若，求点B到平面PAC的距离．

.

 解 ：?1? 由条件知△ABC为直角三角形，且∠BAC = 90?，

∵ PA = PB = PC，

∴ 点P在平面ABC上的射影是△ABC的外心，

即斜边BC的中点E．

取AC中点D，连PD, DE, PE．

∵ PE⊥平面ABC，DE⊥AC ?∵ DE∥AB?, 

∵ AC⊥PD．

 ∴ ∠PDE为二面角P－AC－B的平面角．

又PE = AC ，DE = AC ，（）

∴    tan ∠PDE = =，

∴ ∠PDE = 60?． 

故二面角P－AC－B的大小为60?．

5. 如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝，M为BC的中点.

(Ⅰ)证明：AM⊥PM；

(Ⅱ)求二面角P－AM－D的大小；

(Ⅲ)求点D到平面AMP的距离.

解：(Ⅰ) ∵四边形ABCD是矩形

∴BC⊥CD

∵平面PCD⊥平面ABCD

∴BC⊥平面PCD……………………………2分

而PC平面PCD

∴BC⊥PC

同理AD⊥PD

在Rt△PCM中，PM= 

同理可求PA=，AM=

∴…………………………5分

∴∠PMA=90°

即PM⊥AM          ……………………6分

(Ⅱ)取CD的中点E，连结PE、EM

∵△PCD为正三角形

∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=

∵平面PCD⊥平面ABCD

∴PE⊥平面ABCD

由(Ⅰ) 可知PM⊥AM

∴EM⊥AM

∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角……………………………8分

∴sin ∠PME=

∴∠PME=45°

∴二面角P－AM－D为45°

7、（本小题满分14分）

 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=BC=CA=，AA1=

（I）求AB1与侧面CB1所成的角；（4分）

（II）若点P为侧棱AA1的中点，求二面角P－BC－A的大小；(5分)

（Ⅲ）在（II）的条件下，求点A到平面PBC的距离.

解：（I）取BC中点D,连结AD,B1D

 ∵三棱柱ABC－A1B1C1是直棱柱

∴侧面CB1⊥底面ABC,且交线为BC………………1分

∵△ABC为等边三角形∴AD⊥BC,

  ∴AD⊥面CB1     ∴∠AB1D为AB1与侧面CB1所成的角………2分

 在Rt△ADB1中 ∵AD=，AB1＝

∴sin∠AB1D＝ ∴∠AB1D=

（II）连结PB,PC,PD,

∵PA⊥底面A⊥BC 

∴PD⊥B∴∠PDA为二面角P－BC－A的平面角

在Rt△P∵tan∠PDA＝

∴∠PDA＝arctan.

Ⅲ）设点A到平面PBC的距离为h，则由得

∴

∴ ∵，

∴.

6、如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

（I）求证：平面BCD；

（II）求异面直线AB与CD所成角的大小的余弦值；

（I）证明：连结OC

在中，由已知可得而

即

平面

（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知

直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角

在中，

是直角斜边AC上的中线，