第1讲 随机抽样

第1讲　随机抽样

【2013年高考会这样考】

1．以选择题或填空题的形式考查随机抽样方法以及有关的计算．特别是对分层抽样的考查，几乎每年都出现在高考试题中. 

2．在解答题中与概率统计的有关问题相结合进行综合考查．

【复习指导】

1．本讲复习时，应准确理解三种抽样方法的定义，搞清它们之间的联系与区别，灵活选择恰当的抽样方法抽取样本．

2．新课标高考近几年常将抽样方法与频率分布直方图、概率等相结合进行综合考查，因此，要加强这方面的训练．　　

基础梳理

1．简单随机抽样

(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．

(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．

2．系统抽样的步骤

假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．

(1)编号：先将总体的N个个体编号；

(2)分段：确定分段间隔k，对编号进行分段，当(n是样本容量)是整数时，取k＝；

(3)确定首个个体：在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；

(4)获取样本：按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．

3．分层抽样

(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．

(2)分层抽样的应用范围：

当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．

4．分层抽样的步骤

(1)分层：将总体按某种特征分成若干部分；

(2)确定比例：计算各层的个体数与总体的个体数的比；

(3)确定各层应抽取的样本容量；

(4)在每一层进行抽样(各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取)，综合每层抽样，组成样本．

一条规律

三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性．若样本容量为n，总体的个体数为N，则用这三种方法抽样时，每个个体被抽到的概率都是.

三个特点

(1)简单随机抽样的特点：总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小；用简单随机抽样法抽出的个体带有随机性，个体间无固定间距．

(2)系统抽样的特点：适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用简单随机抽样．

(3)分层抽样的特点：适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样．

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为(　　)．

A．33人，34人，33人      B．25人，56人，19人

C．30人，40人，30人      D．30人，50人，20人

解析　因为125∶280∶95＝25∶56∶19，所以抽取人数分别为：25人，56人，19人．

答案　B

2．(2012·福州质检)为了了解全校240名学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是(　　)．

A．总体是240      B．个体是每一个学生

C．样本是40名学生      D．样本容量是40

解析　总体容量是240，总体是240名学生的身高；个体是每名学生的身高；样本是40名学生的身高；样本容量是40.

答案　D

3．(2012·昆明调研)下列说法中正确说法的个数是(　　)．

①总体中的个体数不多时宜用简单随机抽样法；

②在总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；

③百货商场的抓奖活动是抽签法；

④整个抽样过程中，每个个体被抽取的概率相等(有剔除时例外)．

A．1      B．2       C．3       D．4

解析　①②③显然正确，系统抽样无论有无剔除都是等概率抽样；④不正确．

答案　C

4．老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查，这种抽样方法是(　　)．

A．随机抽样      B．分层抽样

C．系统抽样      D．以上都不是

解析　因为所抽取学生的学号成等差数列，即为等距离抽样，属于系统抽样．

答案　C

5．(2011·天津)一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．

解析　抽取的男运动员的人数为×48＝12.

答案　12　　

考向一　简单随机抽样

【例1】►某车间工人加工一种轴承100件，为了了解这种轴承的直径，要从中抽取10件轴承在同一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？

[审题视点] 考虑到总体中个体数较少，利用抽签法或随机数表法均可容易获取样本．须按这两种抽样方法的操作步骤进行．抽签法应“编号、制签、搅匀、抽取”；随机数表法应“编号、确定起始数、读数、取得样本”．

解　法一　(抽签法)将100件轴承编号为1,2，…，100，并做好大小、形状相同的号签，分别写上这100个数，将这些号签放在一起，进行均匀搅拌，接着连续抽取10个号签，然后测量这10个号签对应的轴的直径．

法二　(随机数表法)将100件轴承编号为00,01,02，…，99，在随机数表中选定一个起始位置，如取第21行(见随机数表)第1个数开始，选取10个为68,34,30,13,70,55,74,30,77,40，这10件即为所要抽取的样本．

 (1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀，一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．

(2)随机数表随机出现0,1,2，…，9十个数字，也就是说，在表中的每个位置上出现各个数字的机会都是相等的．在使用随机数表时，如遇到三位数或四位数时，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或每四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．

【训练1】 福利彩票的中奖号码是在1～36个号码中，选出7个号码来按规则确定中奖情况，这种从36个号码中选7个号的适宜的抽样方法是________．

答案　抽签法

考向二　系统抽样

【例2】►用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为123，则第2组中应抽出个体的号码是________．

[审题视点] 根据系统抽样的特点，确定组数和每组的样本数，写出每组抽取号码的表达式，确定第一组所抽取的号码数，代入公式即可求得第2组抽取样本的号码．

解析　由题意可知，系统抽样的组数为20，间隔为8，设第1组抽出的号码为x，则由系统抽样的法则可知，第n组抽出个体的号码应该为x＋(n－1)×8，所以第16组应抽出的号码为x＋(16－1)×8＝123，解得x＝3，所以第2组中应抽出个体的号码为3＋(2－1)×8＝11.

答案　11

 (1)系统抽样的特点——机械抽样，又称等距抽样，所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．

(2)系统抽样时，如果总体中的个数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行．

【训练2】 从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是(　　)．

A．5,10,15,20,25  B．3,13,23,33,43

C．1,2,3,4,5  D．2,4,6,16,32

解析　间隔距离为10，故可能编号是3,13,23,33,43.

答案　B

考向三　分层抽样

【例3】►某市电视台在因特网上征集电视节目的现场参与观众，报名的共有1 2000人，分别来自4个城区，其中东城区2 400人，西城区4 600人，南城区3 800人，北城区1 200人，从中抽取60人参加现场节目，应当如何抽取？

[审题视点] 因为地域有名显的差异，故采用分层抽样．

解　因为：60∶1 2000＝1∶200，所以＝12，＝23，＝19，＝6.

故从东城区中抽取12人，从西城中抽23人，从南城中抽19人，从北城区中抽6人．

 在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即ni∶Ni＝n∶N.

【训练3】 (2010·重庆)某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为(　　)．

A．7                     B．15

C．25                    D．35

解析　由题意知，青年职工人数∶中年职工人数∶老年职工人数＝350∶250∶150＝7∶5∶3.由样本中青年职工为7人得样本容量为15.

答案　B　　

难点突破22——高考中抽样方法问题

从近两年新课标高考试题可以看出高考主要是以选择题或填空题的形式考查抽样方法，难度并不大．其中重点考查分层抽样，其次是系统抽样．计算时应注意：分层抽样是按比例抽样，系统抽样首先是对总体分段的计算，注意分段时可能要排除一些个体，各段的间距是一样的．

【示例1】► (2011·福建)某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为(　　)．

【示例2】► (2011·山东)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________．

【示例3】► (2010·湖北)将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为(　　)．

A．26,16,8      B．25,17,8

C．25,16,9     D．24,17,9