第5章 数列知识结构

【知识概要】

    一、数列的概念

    ●1. 数列的有关概念：

   （1）定义：按一定的次序排列的一列数；它是定义域为（或的有限子集）的函数所对应的一列函数值，数列是自变量离散变化的函数。

   （2）通项公式：数列的第项与项数之间的函数关系，如果能用一个公式表示，这个公式叫做数列的通项公式。

    ●2. 数列的表示法：

   （1）列表法：用列表法给出函数关系，自变量省略，仅列出函数值；如： 

   （2）图象法：以序号为横坐标，相应项为纵坐标，描点画图得到函数图象，用一群孤立点表示。

   （3）解析法：一般用通项公式表示，或用递推关系式表示。

如

    ●3. 数列的通项与前项和的关系：

        ，其中

    ●4. 两个重要的变形：

   （1）

（2）

    二、等差数列和等比数列

    ●1. 根据，利用公式求通项。

    ●2. 根据数列的递推关系，叠加法、累乘法求通项，其要点是：

   （1）；（2）

    ●3. 构造新的等差、等比数列，转化法求通项。

    四、特殊数列求和

    ●1. 利用等差、等比数列的公式求和。

    ●2. 倒序相加法求和。

    ●3. 乘公比错位相减法求和. 适用于由一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组成的数列。

    ●4. 裂项法求和. 它的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项（裂项），并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相消.常见裂项公式：

   （1）     （2）

    ●5. 分组求和. 通过拆和组的手段把问题化归为可求或易求的数列的问题。

    五、数列应用题

    在应用问题中，根据问题构造等差、等比数列的模型，然后再用数列的通项公式或求和公式等知识求解。