2017-2018学年九年级数学沪科版上册 第21章 二次函数与反比例函数 单元测试题

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)

1．如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是（   ）

A．x＜－2或x＞2  B．x＜－2或0＜x＜2

C．－2＜x＜0或0＜x＜2  D．－2＜x＜0或x＞2

第1题图

2. 如图，Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，设直线x＝t截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（   ）

3．函数y＝与y＝－kx2＋k(k≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是（   ）

4．如图，抛物线y＝2x2－1与直线y＝x＋2交于B、C两点，抛物线顶点为A，则△ABC的面积为（   ）

A.  B.  C.  D. 

　第4题图          　　第5题图

5．如图，已知点A是双曲线y＝在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化．设点C的坐标为(m，n)，则满足的关系式为（   ）

A．n＝－2m  B．n＝－  C．n＝－4m  D．n＝－

6．下列函数中，属于二次函数的是（   ）

A．y＝2x＋1  B．y＝(x－1)2－x2

C．y＝2x2－7  D．y＝－

7．反比例函数y＝－的图象位于（   ）

A．第一、三象限      B．第二、四象限

C．第一、四象限      D．第二、三象限

8．二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值是（   ）

A．－1  B．1  C．－2  D．2

9．二次函数y＝(x＋2)2－1的图象可以由二次函数y＝x2的图象平移而得到，下列平移正确的是（   ）

A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位

B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位

C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位

D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位

10．对抛物线y＝－x2＋2x－3而言，下列结论正确的是（   ）

A．与x轴有两个交点  B．顶点坐标是(1，－2)

C．与y轴的交点坐标是(0，3)  D．开口向上

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

11．如图，点A是反比例函数y＝图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为点B，C，若矩形ABOC的面积为4，则k＝       .

第11题图

12．定义：给定关于x的函数y，对于该函数图象上任意两点(x1，y1)，(x2，y2)，当x1＜x2时，都有y1＜y2，称该函数为增函数，根据以上定义，可以判断下面所给的函数中，是增函数的有       (填序号)．

①y＝2x；②y＝－x＋1；③y＝x2(x＞0)；④y＝－.

13．如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O到水面的距离CO为2.4m，在图中直角坐标系内，涵洞截面所在抛物线的解析式是____________．

　第13题图

　　　　第14题图

14．如图是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A(1，3)，与x轴的一个交点为B(4，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A，B两点．下列结论：①2a＋b＝0；②abc＞0；③方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1.其中正确的是       (填序号)．

三、解答题(本大题共9小题，共90分)

15．(8分)已知二次函数图象的顶点坐标为(1，－1)，且经过原点(0，0)，求该函数的解析式．

16．(8分)已知反比例函数y＝(m为常数，且m≠5)．

(1)若在其图象的每个分支上，y随x的增大而增大，求m的取值范围；

(2)若其图象与一次函数y＝－x＋1图象的一个交点的纵坐标是3，求m的值．

17．(8分)已知二次函数y＝x2＋bx－3的图象经过点A(2，5)．

(1)求二次函数的解析式；

(2)求二次函数的图象与x轴的交点坐标；

(3)将(1)中求得的函数解析式用配方法化成y＝(x－h)2＋k的形式．

18.(8分)九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：

(1)请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是     元；②月销量是       件(直接写出结果)；

(2)设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少元时，当月的利润最大，最大利润是多少元？

19．(10分)如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度．他先测出门的宽度AB＝8m，然后用一根长为4m的小竹竿CD竖直地接触地面和门的内壁，并测得AC＝1m.小强画出了如图的草图，请你帮他算一算门的高度OE(精确到0.1m)．

20．(10分)如图所示，二次函数y＝－x2＋2x＋m的图象与x轴的一个交点为A(3，0)，另一交点为B，且与y轴交于点C.

(1)求m的值；

(2)求点B的坐标；

(3)该二次函数图象上有一点D(x，y)(其中x>0，y>0)，使S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标．

21．(12分)如图，一次函数y1＝－x＋5与反比例函数y2＝的图象交于A(1，m)、B(4，n)两点．

(1)求A、B两点的坐标和反比例函数的解析式；

(2)根据图象，直接写出当y1>y2时x的取值范围；

(3)求△AOB的面积．

22．(12分)若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．

(1)请写出二次函数y＝x2－2x＋3的一个“同簇二次函数”；

(2)已知关于x的二次函数y1＝x2－2x＋3和y2＝ax2＋bx＋2，若y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式；

(3)已知二次函数y1＝x2－2x＋3，若y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，请直接写出符合要求的二次函数y2的所有表达式(可用含字母的解析式表示)．

23．(14分)如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m.按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝－x2＋bx＋c表示，且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m.

(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；

(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？

(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少？

1.D　2.D　3.B　4.A  5．B　6．C　7.B　8.D　9.B　10.B　

11.－4　12.①③　13.y＝－x2

14．①③⑤　解析：对于抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对称轴x＝－＝1，∴2a＋b＝0，①正确；由抛物线图象可知a＜0，x＝－＞0，c>0，∴b＞0，∴abc＜0，②错误；由抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象与y＝3只有一个交点，∴方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根，③正确；设抛物线与x轴的另一个交点为(x2，0)，由抛物线的对称性可知＝1，∴x2＝－2，∴抛物线与x轴的另一个交点是(－2，0)，④错误；通过函数图象可直接得到当1＜x＜4时，有y2＜y1，⑤正确．故答案为①③⑤.

15．解：设y＝a(x－1)2－1，(2分)当x＝0时，y＝0，即0＝a－1，∴a＝1.(5分)∴y＝(x－1)2－1＝x2－2x.(8分)

16．解：(1)∵在反比例函数y＝的图象的每个分支上，y随x的增大而增大，∴m－5＜0，解得m＜5；(3分)

(2)将y＝3代入y＝－x＋1中，得x＝－2，∴反比例函数y＝的图象与一次函数y＝－x＋1图象的一个交点坐标为(－2，3)．(5分)将(－2，3)代入y＝得3＝，解得m＝－1.(8分)

17．解：(1)∵二次函数的图象经过点A(2，5)，∴4＋2b－3＝5，解得b＝2，∴二次函数的解析式为y＝x2＋2x－3；(3分)

(2)令y＝0，则x2＋2x－3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为(－3，0)和(1，0)；(6分)

(3)y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.(8分)

18．(1)x－60　－2x＋400(4分)

(2)解：由题意得y＝(x－60)(－2x＋400)＝－2x2＋520x－24000＝－2(x－130)2＋9800，(6分)∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．(8分)

19．解：如图，分别以AB、OE所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，(2分)则依题意可得点A的坐标为(－4，0)，点D的坐标为(－3，4)．(4分)设抛物线的解析式为y＝ax2＋k，(5分)则

解得(8分)∴y＝－x2＋，∴OE＝m.(10分)

20．解：(1)将(3，0)代入二次函数y＝－x2＋2x＋m中，得－32＋2×3＋m＝0，∴m＝3；(3分)

(2)由(1)知二次函数解析式为y＝－x2＋2x＋3，令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，∴x＝3或x＝－1，∴点B的坐标为(－1，0)；(6分)

(3)∵S△ABD＝S△ABC，点D在第一象限，∴点C、D关于二次函数图象的对称轴对称．(8分)由二次函数解析式可得其对称轴为直线x＝1.又∵点C的坐标为(0，3)，∴点D的坐标为(2，3)．(10分)

21．解：(1)将A(1，m)、B(4，n)代入y1＝－x＋5，得m＝4，n＝1，∴A、B两点的坐标分别是A(1，4)、B(4，1)．(4分)把A(1，4)代入y2＝，得k＝4，∴反比例函数的解析式为y2＝；(6分)

(2)当y1>y2时，x的取值范围是x＜0或1＜x＜4；(8分)

(3)如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，则AC＝4，OC＝1，OD＝4，BD＝1，∴S△AOB＝S△AOC＋S梯形ACDB－S△OBD＝S梯形ACDB＝(4＋1)×(4－1)＝.(12分)

22．解：(1)∵y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，∴y＝x2－2x＋3的一个“同簇二次函数”为y＝2(x－1)2＋2；(3分)

(2)y1＋y2＝x2－2x＋3＋ax2＋bx＋2＝(a＋1)x2＋(b－2)x＋5，∵y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，∴y1＋y2＝(a＋1)(x－1)2＋2＝(a＋1)x2－2(a＋1)x＋a＋3，其中a＋1＞0，即a＞－1.∴(7分)解得∴函数y2的表达式为y2＝2x2－4x＋2；(9分)

(3)二次函数y2的所有表达式为y2＝n(2x2－4x＋2)(n>0)．(12分)

23．解：(1)由题意得点B的坐标为(0，4)，点C的坐标为，代入y＝－x2＋bx＋c中，得解得∴该抛物线的函数关系式为y＝－x2＋2x＋4.(4分)∵y＝－x2＋2x＋4＝－(x－6)2＋10，∴拱顶D到地面OA的距离为10m；(6分)

(2)能安全通过．当x＝6－4＝2时，y＝－(2－6)2＋10＝＞6，∴这辆货车能安全通过；(9分)

(3)当y＝8时，－ x2＋2x＋4＝8，即x2－12x＋24＝0，∴x1＋x2＝12，x1x2＝24，(11分)∴两排灯的水平距离的最小值是|x1－x2|＝＝＝＝＝4 (m)．(13分)

答：两排灯的水平距离最小是4m.(14分)