安徽省2010年高中数赛(初赛)

（考试时间：2010年9月4日9:00—11:30）

二

题 号 一 9 10 11 12 总 分

得 分 评卷人 复核人

注意： 1．本试卷共12小题，满分150分； 2．用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；

3．书写不要超过装订线；

4．不能使用计算器。

一、填空题（每小题8分，共分） 1. 函数242)(x x x x f −−=的值域是 。

2. 函数=y

的图像与x e y =的图像关于直线1=+y x 对称。

3. 正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于 。

4. 设椭圆

11

12

2=−++t y t x 与双曲线1=xy 相切，则=t

。 5. 设z 是复数，则|1||i ||1|++−+−z z z 的最小值等于

。

6. 设c b a ,,是实数，若方程023=+++c bx ax x 的三个根构成公差1的等差数列，

则c b a ,,应满足的充分必要条件是

。

7. 设O 是ABC Δ的内心，765===BC AC AB ，，OC z OB y OA x OP ++=，

1,,0≤≤z y x 。动点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于

。 8. 从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是

。

二、解答题（共86分）

9. （20分）设数列}{n a 满足2，12

，01

1≥+==−n a a a n n 。求n a 的通项公式。

10. （22分）求最小正整数n 使得242++n n 可被2010整除。

11. （22分）已知ABC Δ的三边长度各不相等，F E D ,,分别是C B A ∠∠∠,,的角平分

线与边AB CA BC ,,的垂直平分线的交点。求证：ABC Δ的面积小于DEF Δ的面积。

12. （22分）桌上放有n 根火柴，甲乙二人轮流从中取走火柴。甲先取，第一次可

取走至多1−n 根火柴。此后每人每次至少取走一根火柴，但是不超过对方刚才取走火柴数目的两倍。取得最后一根火柴者获胜。问：当100=n 时，甲是否有获胜策略？请详细说明理由。

参及评分标准

一、填空题（每小题8分，共分）

1．]8,524[− 2．)1ln(1x −−

3．3

1−

4．5

5．31+

6．3

271332a

a c a

b −=−=，

7．612 8．7

6

二、解答题（共86分）

9． 由11122−−++=

+n n n a a a 和1

1

111−−+−=−n n n a a a ，

(10分) 得n

n n n n a a a a )2(12)2(1211−==−+−=−+−−L ，于是1

)2(2)2(−−+−=n n n a 。

(20分)

10．⎪⎩⎪⎨⎧≡+≡+≡+⇔⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≡++≡++≡++≡++⇔++67

mod 435mod 13mod 067

mod 0245mod 0243mod 0242

mod 02424 2010222222

22

n n n n n n n n n n n n n n n n (10分)

67

mod 561067mod 435

mod 25mod 13

mod 203mod 0222或或≡⇔≡+≡⇔≡+≡⇔≡+n n n n n n n n n 所求最小正整数77=n (22分) 11．由题设可证F E D C B A ,,,,,六点共圆。

(10分)

不妨设圆半径1，则有⎩⎨⎧++=++=ΔΔ)sin sin (sin )2sin 2sin 2(sin 2

1

21C B A S C B A S DEF ABC 。由于

C

B A A

C C B B A A C A C C B C B B A B A A C C B B A C

B A sin sin sin )sin()sin()sin()cos()sin()cos()sin()cos()sin()

2sin 2(sin )2sin 2(sin )2sin 2(sin 2sin 2sin 2sin 21

2121++=+++++<−++−++−+=+++++=++

所以DEF ABC S S ΔΔ<。

(22分)

12．把所有使得甲没有获胜策略的初始火柴数目n 从小到大排序为L ,,21n n 。容易发

现其前4项分别为2,3,5,8。下面我们用数学归纳法证明： (1)}{i n 满足11−++=i i i n n n ；

(2)当i n n =时，乙总可取到最后一根火柴，并且乙此时所取的火柴数目1−≤i n ； (3)当1+<i n ≤。

设i n n k −=，4≥i 。注意到122/−−<z 当2/1i n k <≤时，甲第一次时取k 根火柴，剩余k n i 2>根火柴，乙无法获胜。 z 当12/−<≤i i n k n 时，12−−<且甲此时所取的火柴数目2−≤i n 。剩余22−>i i n n 根火柴，乙无法获胜。 z 当1−=i n k 时，设甲第一次时取走m 根火柴。若k m ≥，则乙可取走所有剩下的火

柴。若k m <，则根据归纳假设，乙总可以取到第k 根火柴，并且乙此时所取的火柴数目2−≤i n 。剩余22−>i i n n 根火柴，甲无法获胜。 z 综上可知，11−++=i i i n n n 。

因为100不在数列}{i n 中，所以当100=n 时甲有获胜策略。

(22分)