八年级数学全等三角形中考真题专项练习

一、填空题

1.如图1，和是分别沿着边翻折形成的，若

ABE △ACD △ABC △AB AC ，180 ，则

150BAC ∠= θ∠答案： 60度

二、解答题：

1、如图，要测量河两岸相对的两点A 和B 的距离，可以在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，再作BF 的垂线DE ，使A 、C 、E 三点在同一直线上。

（1）若CD = BC ，这时测得DE 的长就是AB 的距离，为什么？

（2）若CD ≠ BC ，量得BC=10米、CD=20米、DE=30米，你能求出A 、B 间的距离吗？

解：（1）证明：△ABC ≌△EDC （4分）（2）证明△ABC ∽△EDC ，（2分）

（2分）10,152030

AB AB ==2、如图，在□ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，且AE=CF ．求证：BE=DF ．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形-----------------------∴AB//=CD------------------------------2分

∴∠BAE=∠DCF ----------------------------------------4分又∵AE=CF-----------------------------------------------∴⊿ABE ≌⊿DCF （SAS ）----------------------------6分∴BE=DF --------------------------------------------------8分

C

第1题图

3. 如图，已知△ABC ，∠ACB=90º，AC=BC ，点E 、F 在AB 上，∠ECF=45º， 　　（1）求证：△ACF ∽△BEC （5分）

　　（2）设△ABC 的面积为S ，求证：AF·BE=2S （3）答案：

证明：(1) ∵ AC=BC ，

∴ ∠A = ∠B 　　　　

　　∵ ∠ACB=90º， ∴ ∠A = ∠B = 45 0，

　　∵ ∠ECF= 45º， ∴ ∠ECF = ∠B = 45º，　　　　　　　∴ ∠ECF ＋∠1 = ∠B ＋∠1

　　∵ ∠BCE = ∠ECF ＋∠1，∠2 = ∠B ＋∠1；

　　∴ ∠BCE = ∠2，　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵ ∠A = ∠B ，AC=BC ，

　　∴ △ACF ∽△BEC 。　　　　　　　　　　　　　　　　(2)∵△ACF ∽△BEC

　　∴ AC = BE ，BC = AF ，　　　　　　　　　　　　　　　∴△ABC 的面积：S =

AC·BC = BE·AF 　　　　212

1

∴AF·BE=2S.　

4、如图，以O 为原点的直角坐标系中，A 点的坐标为（0，1），直线x=1交x 轴于点B 。P 为线段AB 上一动点，作直线PC ⊥PO ，交直线x=1于点C 。过P 点作直线MN 平行于x 轴，交y 轴于点M ，交直线x=1于点N 。

　　（1）当点C 在第一象限时，求证：△OPM ≌△PCN ；

　　（2）当点C 在第一象限时，设AP 长为m ，四边形POBC 的面积为S ，请求出S 与m 间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；

（3）当点P 在线段AB 上移动时，点C 也随之在直线x=1上移动，△PBC 是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC 成为等腰直角三角形的点P 的坐标；如

果不可能，请说明理由。

答案：

（1）∵OM ∥BN ，MN ∥OB ，∠AOB=900，　　∴四边形OBNM 为矩形。　　∴MN=OB=1,∠PMO=∠CNP=900　　∵

，AO=BO=1，AM PM

AO BO

　　∴AM=PM 。

　　∴OM=OA-AM=1-AM ，PN=MN-PM=1-PM ，　　∴OM=PN ，　　∵∠OPC=900，　　∴∠OPM+CPN=900，

　　又∵∠OPM+∠POM=900　　∴∠CPN=∠POM ，

∴△OPM ≌△PCN.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2）∵AM=PM=APsin450

，

　　∴，∴；

　　∴=1　　

　　（3）△PBC 可能为等腰三角形。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①当P 与A 重合时，PC=BC=1，此时P （0，1）　　②当点C 在第四象限，且PB=CB 时，

　　有BN=PN=1，

　　∴-m ，

∴NC=BN+BC=1-m ，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7分

　　由⑵知：，

　　∴1，　　∴m=1.　　　　　　　　　　　　　　　　8分

　　∴，BN=1=1，

　　∴P ,1）.

∴使△PBC 为等腰三角形的的点P 的坐标为（0，1,1）　　　　10分5.如图2点在同一直线上，,

C E B F ，，AC DF ∥，.求证：．

AC DF =BC EF =AB DE =答案：易证: △ABC ≌△DEF(SAS),得AB=DE.

A

F

B

E

C

D

6.△ABC 是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG ，使正方形的一条边DE 落在BC 上，顶点F 、G 分别落在AC 、AB 上. Ⅰ.证明：△BDG ≌△CEF ；

Ⅱ. 探究：怎样在铁片上准确地画出正方形.

小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ⅱa 和Ⅱb 的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答. 如果两题都解，只以Ⅱa 的解答记分.

Ⅱa . 小聪想：要画出正方形DEFG ，只要能计算出正方形的边长就能求出BD 和CE 的长，从而确定D 点和E 点，再画正方形DEFG 就容易了.

设△ABC 的边长为2 ，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示，) .

Ⅱb . 小明想：不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是：

①在AB 边上任取一点G’，如图作正方形G’D’E’F’；

A

B

C

D

E

F

G

图3

A

B

C

D E

F

G

②连结BF’并延长交AC 于F ；

③作FE ∥F’E’交BC 于E ，FG ∥F ′G ′交AB 于G ，GD ∥G’D’交BC 于D ，则四边形DEFG 即为所求.

你认为小明的作法正确吗？说明理由.

答案:Ⅰ.证明：∵DEFG 为正方形，

∴GD =FE ，∠GDB =∠FEC =90°∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分

∵△ABC 是等边三角形，∴∠B =∠C =60°∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分 ∴△BDG ≌△CEF (AAS ) ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分

Ⅱa .解法一：设正方形的边长为x ，作△ABC 的高AH ，

求得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7分

3=AH

由△AGF ∽△ABC 得：

∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分3

32x x -=解之得：(或) ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分

3

232+=

x 634-=x 　　　　　　　

解法二：设正方形的边长为x ，则∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7分2

2x

BD -=

　　　　　　　　　在Rt △BDG 中，tan ∠B =

，BD

GD

∴

∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分32

2=-x x

解之得：(或) ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分

3

232+=

x 634-=x 解法三：设正方形的边长为x ，

B

D E

E ′

D ′B

D

E

H

则∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7分x GB x

BD -=-=

2,2

2 由勾股定理得：∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分2

222

2(

)2(x x x -+=-

解之得：∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分

634-=x 7.如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，

AB 为直径，ABC =30°，CD 是⊙O 的切线，∠ED ⊥AB 于F ，

（1）判断△DCE 的形状；

（2）设⊙O 的半径为1，且OF =，

2

13-求证△DCE ≌△OCB ．

答案:（1）△CDE 为等腰三角形；（2）CE =AE -AC ==BC ，又∠OCB =∠ACB -∠3ACO =90°-60°=

30°=∠ABC ，故△CDE ≌△COB ．

8.如图△ABC 与△CDE 都是等边三角形，

点E 、F 分别在AC 、BC 上，且EF ∥AB （1）求证：四边形EFCD 是菱形；（2）设CD ＝4，求D 、F 两点间的距离．

答案:（1） 证AB//CD ，DE //CF ，又∵EF //AB ，∴EF //CD ，∴四边形EFCD 是菱形；（2）DF =．

3

49.两个直角边为6的全等的等腰直角三角形Rt AOB △和

Rt CED △，按如图一所示的位

B

D

置放置，点O 与E

重合．

（1）Rt AOB △固定不动，Rt CED △沿x 轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，当点

E 运动到与点B 重合时停止，设运动x 秒后，Rt AOB △和Rt CED △的重叠部分面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；

（2）当Rt CED △以（1）中的速度和方向运动，运动时间2x =秒时， Rt CED △运动到如图二所示的位置，若抛物线2

14

y x bx c =

++过点A G ，求抛物线的解析式；（3）现有一动点P 在（2）中的抛物线上运动，试问点P 在运动过程中是否存在点P 到x 轴或y 轴的距离为2的情况，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．答案:解：（1）由题意知重叠部分是等腰直角三角形，作GH OE ⊥．

2OE x ∴=，GH x =，

211

222

y OE GH x x x === （03x ≤≤）

（2）(66)A ，）

当2x =时，224OE =⨯=．

22OH GH ∴==，(22)G ∴，

．163612424

b c b c

⎧=++⎪⎪∴⎨⎪=++⎪⎩ ， 13b c =-⎧∴⎨

=⎩，2

134

y x x ∴=

-+．（3）设()P m n ，．

当点P 到y 轴的距离为2时，有||2m =，∴2m =±

．

当2m =时，得2n =，当2m =-时，得6n =．

当点P 到x 轴的距离为2时，有||2n =．

2

134

y x x =

-+ 21

(2)204x =-+>2n ∴=．

当n 2=时，得2m =．

综上所述，符合条件的点P 有两个，分别是1(22)(26)P P -，，．10.如图，A 、E 、B 、D 在同一直线上，在△ABC 与△DEF 中，AB=DE ，AC=DF ，AC ∥DF 。（1）求证：△ABC ≌△DEF ；

（2）你还可以得到的结论是 （写出一个即可，不再添加其他线段）。

答案：(1) 由AC ∥DF 得 ,△ABC ≌△DEF(SAS) A ∠=D ∠ (2) EF ∥BC （答案不唯一）

11.如图，已知AC=DE ，AF=DB ，∠A=∠D ，求证：BG=FG.

答案：证△ACB ≌△DEF 即可

12.如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，F 、E 分别是AD 及其延长线上的点，CF ∥BE.（1）求证：△BDE ≌△CDF ；

（2）请连结BF ，CE ，试判断四边形BECF

C

E

B

D

A

F C

∴∠FCD＝∠EBD …………………………… 1分∵D是BC的中点，

∴CD＝BD …………………………… 2分∵∠FDC＝∠EDB

∴△CDF≌△BDE (ASA) …………………………… 4分（2）四边形BECF是平行四边形………………………… 5分

理由: ∵△CDF≌△BDE

∴DF＝DE，DC＝DB

∴四边形BECF是平行四边形…………………………… 8分