大学生论文开题报告

1、选题目的和意义

1、目的：所谓级数解法即要求微分方程具有级数形式的解.在求解常微分方程的诸多方法中,级数求解法是最有效的方法之一.牛顿几乎在发现微积分算法的同时就进行了微分方程求解，开辟了应用无穷级数求解常微分方程的先河，为微分方程的发展奠定了一定的理论基础。随着数学的发展其求解方法也可谓多种多样，对于求常系数微分方程，尤其是高阶线性非齐次微分方程的解，一般教科书介绍的是待定系数法，算子法，拉普拉斯变换法。而且在各种数学刊物上还提出了很多种方法。这些方法虽各有千秋，但存在共同的缺点:不是准备知识过多或过程太长，就是演算过繁，给学习、使用带来不便。

有一种简单、快速的方法，称之为微分算子级数法，克服了上述困难。微分算子级数法，可以看作是在算子法基础上发展起来的方法，而无穷级数是分析学的重要应用工具之一。在求解常微分方程的诸多方法中，级数求解法是最有效的方法之一。以往级数解法一般是指要求微分方程具有级数形式的解，而微分算子级数法开创了解常微分方程新的方法，同时也成为了求解常微分方程最简单的方法。

本课题主要任务，综述前人在常微分方程的无穷级数求解方法上做出的所有成果，并以此对能用级数方法求解的常微分方程进行分类。通过该课题的研究，使学生能够熟悉常微分方程的无穷级数求解方法和技巧，并希望对此问题研究的结果能够付诸于教学以及实践中去。

2、意义

理论意义：通过对不同方法的比较分析各种级数法存在的优势和缺点。

现实意义：找出针对不同特征的方程应该用何种级数法求解才更加简便精确。

2、选题的国内外研究趋势和概况

常微分方程是现代数学的一个重要分支，在物理学，微分几何，计算数学，计算机图形学, 图象处理以及大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等学科中都有许多重要的应用。科学技术发展过程中提出大量的线性与非线性偏微分方程。有意义而且影响深远的微分方程来源，主要是物理与几何。随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，常微分方程的应用范围更广泛。对数学建模问题的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。

国内外研究情况： 70年代随着数学向化学和生物学的渗透，出现了大量的反应扩散方程。 从“求通解”到“求解定解问题” 数学家们首先发现微分方程有无穷个解。常微分方程的解会含有一个或多个任意常数，其个数就是方程的阶数。命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化，人们就可能得到方程所有的解，于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”。在很长一段时间里，人们致力于“求通解”。一阶常微分方程组可以求得通解的还是很少的。高阶方程中几乎只有少数二阶方程可以求得通解。现在人们已经不再将工作重心放在找通解上，转为研究自动微分。自动微分的理论研究主要在数学和计算机科学领域中进行，而它的应用范围则相当广泛。在物理、化学、力学、经济学、电子工程、化学工程、环境工程、电力工程、医学、生物医学、气象、航空航天等科学、工程和社会领域中，不同的研究人员根据各自领域的特点对自动微分进行了改造和应用，取得了大量有益的成果和经验。

所以对常微分方程求解方法的研究具有重要的意义。

3、论文写作的指导思想及技术方案。

分类讨论思想

所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。分类时要注意明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论。

函数与方程思想　　

函数思想是指对一个数学问题，构造出一个相应的函

问题。方程思想是对数学问题中的各字母从数量关系分析

入手，转化为确定各字母的值或各字母间的相等（不等）

关系，然后通过解方程（不等式），或利用方程（不等

式）的有关定理性质，解决所给问题。 函数与方程虽然是

两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f（x）

＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函

数y＝f（x）也可以看作二元方程f（x）-y＝0，通过方程进

行研究。

4.转化与化归思想

转化与化归思想是在处理问题时把待解决的问题通

过某种转化过程归纳为一类已经解决或比较容易解

学生签名：

                                                                  年     月    日

转化与化归思想

转化与化归思想是在处理问题时把待解决的问题通过某种转化过程归纳为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解决。化归思想在数学中应用非常广泛,如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的全面提高。

4、论文的基本框架

1、题目：级数法求解常微分方程

2、摘要

3、目录

4、引言

5、正文

  本文的基本框架如下：

（一）简述级数法解常微分方程的形成，发展，以及介绍微分算子级数法的公式，符号，概念和内容。

（二）阐述级数法解常微分方程的条件，原理，具体算法，并结合实例综述前人在常微分方程的无穷级数求解方法上做出的成果。

（三）对能用级数方法求解的常微分方程进行分类，并对这一算法给予综合的评价，分析。

五、 完成论文（设计）的条件、方法及措施，包括实验设计、调研计划、资料收集、参考文献等内容：

1、理论分析法：通过查阅大量图书馆、电子期刊、网络等一切可以利用和参考的文献资料，经过对文献资料归纳、整理，分析比较各种学术观点，并提出自己的一些见解，最大限度的提高论文的准确性、严谨性、客观性和全面性。

2、理论与实践相结合：分析目前我国宗教旅游资源开发模式，把实证分析和规范分析相结合，列出事实和依据，用真实案例来分析和证明论点。

3、与指导老师经常进行沟通与交流，保证论文的方向与质量。

【计划进程】

2013年11月，查找文献资料、调研与文献阅读；

   2013年12月，撰写开题报告并在开题报告会上报告和答疑；

   2014年1-2月，撰写论文初稿并在指导教师指导下认真修改；

2014年3月，根据指导教师意见完成修改稿，提交指导教师审阅；

2014年4月15日，根据指导教师审阅意见，完成论文定稿；

提交指导教填写论文评语；

2014年4月30日，系论文指导委员会论文评阅意见填写；准备答辩稿；

2014年5月，毕业论文答辩，成绩评定。

【参考文献】

1)叶彦谦编，常微分方程讲义：第二版[M]，北京：高等教育出版社，1982.

2)王柔怀 任卓群编，常微分方程讲义[M]，北京：人民教育出版社，19.

3)丁同仁 李承志编，常微分方程教程[M]，北京：高等教育出版社，1998．

4)克莱因M.古今数学思想(第二、三册)[M].上海:上海科学技术出版社，2002. 

5)柯红路编，微分方程的新解法——微分算子级数法[M]，北京：中国科学文化出版社，2003.

6)柯红路 唐任其，求非齐次方程特解的徽分算子级数法[J]，后勤工程学院学报，1995.

7)谢和熙 柯红路，两类问题的微分算子级数解及其应用[J]，重庆师范学院学报，1997.

8)任瑞芳， 常微分方程的级数解法探源[J]， 数学史，2009.

9) 周展宏，高等数学[M]，广州:华南理工大学出版社，2002.

10)周展宏，求常系数线性非齐次微分方程特解的微分算子级数法[J]，高等数学研究，2004. 

11)周肇锡，一类微分方程犷齐次项的一种简化法及其应用[J]，数学学习，1987.

12)曾蜀良，求二阶线性微分方程特解的一个方法[J]，内江教育学院学报(综合版)，1996.                          

报告人签名：陈佳佳

                                                  2013 年 12 月18 日

指导教师评语：

指导教师签名：

年     月     日