量子力学期末试卷解析2

本套试卷共两大类题，11题，满分100分。最后一页有可能用到的数学公式。

一、证明题（共30分）

1．（本题5分）

证明方向动量算符为厄密算符。

2．（本题5分）

证明对易关系： 。     

3．（本题5分）

证明对易关系：。        

4．（本题5分）

已知：，，证明： 

5．（本题5分）

    若为泡利矩阵，证明。                                         

6．（本题5分）

是否为厄密算符？给出证明。

二、计算题（共70分）

7．（本题10分）

设粒子处于和的共同本征态态，试求和。

8．（本题15分）

    设一体系未受微扰作用时只有两个非简并能级和，，现在受到微扰的作用，体系的哈密顿算符为       

其中为常数，用微扰公式求能量至二级近似，然后再用直接的方法求能量算符的本征值，并将能量本征值与微扰法得到的能量二级近似值进行比较（提示：做级数展开，保留到前三项）。

9．（本题15分）

已知在表象中的矩阵形势为

求：（1）其本征值和在表象中的正交归一化本征函数。

（2）使对角化的幺正变换矩阵。

10．（本题15分）

已知氢原子在时处于状态             

求能量及自旋分量的各种可能取值及其概率与平均值，写出时的波函数。

由于n=1,2,3.对应于能量为，对应概率为。平均值为，自旋z的分离可能取，且其概率分别为，平均值为0.

t>0时的波函数为

11．（本题15分）

设氢原子处在的态，为玻尔半径，求

（1）r的平均值；（2）势能的平均值；（3）动能的平均值；（4）最概然半径。（波函数已归一化，不必检验。任选其中两问即可，多答不多得分）

附：可能用到的公式

1、

2、  

3、

4、  

5、

6、  其中

7、

8、氢原子能级公式： 

9、