函数对称性总结

一、   三角函数图像的对称性

1、与关于轴对称。

换种说法：与若满足，即它们关于对称。

2、与关于Y轴对称。

换种说法：与若满足，即它们关于对称。

3、与关于直线对称。

换种说法：与若满足，即它们关于对称。

4、与关于直线对称。

换种说法：与若满足，即它们关于对称。

5、关于点对称。

换种说法：与若满足，即它们关于点对称。

6、与关于直线对称。

二、单个函数的对称性

一、函数的轴对称：

定理1：如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.

推论1：如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.

推论2：如果函数满足，则函数的图象关于直线（y轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.

二、函数的点对称：

定理2：如果函数满足，则函数的图象关于点对称.

推论3：如果函数满足，则函数的图象关于点对称.

推论4：如果函数满足，则函数的图象关于原点对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.

性质5：函数满足时，函数的图象关于点（，）对称。

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）

1、曲线与关于X轴对称。

2、曲线与关于Y轴对称。

3、曲线与关于直线对称。

4、曲线关于直线对称曲线为。

5、曲线关于直线对称曲线为。

6、曲线关于直线对称曲线为。

7、曲线关于点对称曲线为。

例1：定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（   ）    （第十二届希望杯高二 第二试题）

(A)是偶函数，也是周期函数        (B)是偶函数，但不是周期函数 

(C)是奇函数，也是周期函数        (D)是奇函数，但不是周期函数

例2.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，

f (x) = －x，则f (8.6 ) = _________ （第八届希望杯高二 第一试题）

例3．若函数的图象与的图象关于      对称，则函数

=        。

例4．函数的图象关于      对称