垂直平分线及角平分线典型题

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线段的垂直平分线与角平分线(1)

知识要点详解

1、线段垂直平分线的性质

（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端

点的距离相等.

定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C

在直线m 上，则AC ＝BC.

定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.课堂笔记：

2、线段垂直平分线性质定理的逆定理

（1）线段垂直平分线的逆定理：

到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且

AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.

定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.

课堂笔记：

3、关于三角形三边垂直平分线的定理

（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：

三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.

定理的数学表示：如图3，若直线分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA

,,i j k 的垂直平分线，则直线相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.

,,i j k 定理的作用：证明三角形内的线段相等.

（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：

图1

图2

a

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若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交

点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；

三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分

线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.

经典例题：

例1　如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（　　）　　A ．6cm 　 　　 B ．8cm C ．10cm 　　 D ．12cm

课堂笔记：

针对性练习：

1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点 E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC= 2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果

BC=8cm ，那么△EBC 的周长是

3）如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28

度，那么∠EBC 是

例2. 已知： AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。

课堂笔记：

针对性练习：

已知：在△ABC 中，ON 是AB 的垂直平分线,OA=OC 求证：点O 在BC 的垂直平分线

B

C

B

A

C

O

N

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例3. 在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC 的底角∠B 的大小为_______________。

课堂笔记：

针对性练习：

1. 在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为40°，则底角B 的大小为________________。

例4、如图8，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，且∠C＝2∠B，

求证：BD ＝AC ＋CD.

证明：在BD 上取一点E ，使DE ＝DC ，连接AE ，则AE ＝AC ，课堂笔记：

课堂练习：

1.如图，AC =AD ，BC =BD ，则（ ）

A.CD 垂直平分AD

B.AB 垂直平分CD

C.CD 平分∠ACB

D.以上结论均不对

2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（ ）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形

3.下列命题中正确的命题有（ ）

①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P 在线段AB 外且PA =PB ，过P 作直线MN ，则MN 是线段AB 的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4.△ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于D ，如果AC =5 cm ，BC =4cm ，那么△DBC 的周长是（ ）

A.6 cm

B.7 cm

C.8 cm

D.9 cm

5.已知如图，在△ABC 中，AB =AC ，O 是△ABC 内一点，且OB =OC ，求证：AO ⊥B C.

6.如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =120°，AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、AB 于点M 、N . 求证：CM =2BM .

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课后作业：

1. 如图7，在△ABC中，AC＝23，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点

E，△ACE的周长为50，求BC边的长.

2. 已知：如图所示，∠ACB，∠ADB都是直角，且AC=AD，P是AB上任意一点，求证：CP=DP。

线段的垂直平分线与角平分线（2）

知识要点详解

4、角平分线的性质定理：

角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

定理的数学表示：如图4，已知OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，

若CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，则CF＝DF.

定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；

角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.

课堂笔记：

5、角平分线性质定理的逆定理：

角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.

定理的数学表示：如图5，已知点P在∠AOB的内部，且PC⊥OA于

C，PD⊥OB于D，若PC＝PD，则点P在∠AOB的平分线上.

定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线

注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.

课堂笔记：

6、关于三角形三条角平分线的定理：

（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：

图4

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三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.

定理的数学表示：如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB 的平分线，那么：

① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ；

② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI.

定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：

三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.

7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：

（1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线；

（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.

课堂笔记：

经典例题：

例1、已知：如图，点B 、C 在∠A 的两边上，且AB=AC ，P PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E 、F 。

求证：PE=PF

课堂笔记：

针对性练习：

已知： PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 平分线，它们交于P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ，求证：BP 为∠MBN 的平分线。

例2、如图10，已知在直角梯形ABCD 中，AB∥CD，AB⊥BC，E 为BC 中点，连接AE 、DE ，DE 平分

∠ADC，求证：AE 平分∠BAD.课堂笔记：

图10

E

i n

g s

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针对性练习：

如图所示，AB=AC ，BD=CD ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：DE=DF 。

例3、如图11-1，已知在四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC，且∠BAD 与∠BCD 互补，

求证：AD ＝CD.

课堂练习：

1. △ABC 中，AB=AC ，AC 的中垂线交AB 于E ，△EBC 的周长为20cm ，AB=2BC ，则腰长为________________。

2. 如图所示，AB//CD ，O 为∠A 、∠C 的平分线的交点，OE ⊥AC 于

E ，且OE=2，则AB 与CD 之间的距离等于______________。

A B

O E

C D

３已知：如图，∠B=∠C=900，DM 平分∠ADC ， AM 平分∠DAB 。求证： M B=MC

课后作业：

1.如右图，已知BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 相交于点D ，若BD =CD .求证：AD 平分∠BAC .

D

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.专业知识编辑整理. 2. 如图所示，直线表示三条互相交叉的公路，现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路l l l 123，的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A. 一处

B. 二处

C. 三处

D. 四处 l 3 l 1 l 2