高中数学第二章推理与证明2.1.2演绎推理课堂探究新人教B选修1-2创新

版选修1-2

探究一 假言推理

假言推理的规则为“如果p q ，p 为真，则q 为真”，要想验证q 为真，若p 是q 的充分条件，则只要验证p 为真即可．此种推理方法可以将所证问题进行合理迁移．有的问题需要借助p 与q 的关系，进行逆推进而求参．

【典型例题1】 已知函数f (x )＝m ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋1x 的图象与函数h (x )＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称．

(1)求m 的值；

(2)若g (x )＝f (x )＋a 4x

在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围． 思路分析：应用假言推理，根据对称的性质，f (x )图象上的点关于点A (0,1)的对称点在h (x )的图象上，代入h (x )即可求得．

解：(1)设P (x ，y )为函数h (x )图象上的任一点，点P 关于点A 的对称点为Q (x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝－x ，y ′＝2－y .

∵点Q (x ′，y ′)在函数f (x )＝m ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋1x 的图象上， ∴y ′＝m ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ′＋1x ′. 将x ′＝－x ，y ′＝2－y 代入上式，

得2－y ＝m ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－x －1x . 整理，得y ＝m ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋1x ＋2. 又点P (x ，y )满足h (x )＝14⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2， 即y ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2，∴m ＝14

. (2)由(1)知，g (x )＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋a 4x ＝14⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋1＋a x . 设x 1，x 2是区间(0,2]上的任意两个实数，且x 1＜x 2，

则g (x 1)－g (x 2)＝14(x 1－x 2)·x 1x 2－(1＋a )x 1x 2

＞0对一切x 1，x 2∈(0,2]恒成立． ∴x 1x 2－(1＋a )＜0对一切x 1，x 2∈(0,2]恒成立．

∵x 1x 2的最大值为4，∴1＋a ＞4，

∴a 的取值范围是(3，＋∞)．

探究二 三段论推理

三段论推理

用集合的观点来讲，就是：若集合M 中的所有元素都具有性质P ，S 是M 的子集，那么S 中所有元素也都具有性质P .

【典型例题2】 已知△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，求证：a ＜b .证明：∵∠A ＝30°，∠B ＝60°，∴∠A ＜∠B .∴a ＜b .

其中，画线部分是演绎推理的( )

A ．大前提

B ．小前提

C ．结论

D ．三段论

答案：B

点评演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果大前提是显然的，则可以省略．

探究三 传递性关系推理

传递性关系推理的推理规则是“若a R b ，b R c ，则a R c ”．要注意与三段论推理的形式及实质区别开来，三段论推理中的每一步都是一种逻辑上的衔接，且有大前提、小前提、结论三个部分，而传递性关系推理要用a ，b ，c 之间的关系来衔接．

【典型例题3】 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：a ＋1

2＋b ＋1

2

≤2. 思路分析：本题属于条件不等式的证明，直接用条件a ＋b ＝1来推理，方向不够明确，但只要注意所求证式子的特点，我们不难想到利用传递性关系推理进行证明．

证明：∵a ＞0，b ＞0，且1＝a ＋b ≥2ab ， ∴ab ≤14.∴12(a ＋b )＋ab ＋14

≤1. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12⎝ ⎛⎭

⎪⎫b ＋12≤1. ∴2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12⎝ ⎛⎭

⎪⎫b ＋12≤4， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫b ＋12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12≤4. ∴⎝

⎛⎭

⎪⎫a ＋12＋b ＋122≤4. ∴a ＋1

2＋b ＋1

2≤2. 探究四 完全归纳推理

思路分析：令n取1,2,3，…，10得出f(1)，f(2)，…，f(10)再判断即可．

解：f(1)＝12＋1＋41＝43，

f(2)＝22＋2＋41＝47，

f(3)＝32＋3＋41＝53，

f(4)＝42＋4＋41＝61，

f(5)＝52＋5＋41＝71，

f(6)＝62＋6＋41＝83，

f(7)＝72＋7＋41＝97，

f(8)＝82＋8＋41＝113，

f(9)＝92＋9＋41＝131，

f(10)＝102＋10＋41＝151.

由上可知，n∈{1,2,3，…，10}时，f(n)＝n2＋n＋41均为质数．

点评若将本例题中的“n∈{1,2,3，…，10}”改为“n∈N＋”结论就不成立了，可举反例f(40)来说明．

探究五易错辨析

易错点：在应用三段论推理来证明问题时，首先应明确什么是问题中的大前提和小前提．在应用三段论进行推理的过程中，大前提、小前提或推理形式任何一个出现错误，都可能导致结论错误．

【典型例题5】如图，在△ABC中，AC＞BC，CD是AB边上的高．求证：∠ACD＞∠BCD.

错解：证明：在△ABC中，因为CD⊥AB，AC＞BC，所以AD＞BD，所以∠ACD＞∠BCD.

错因分析：上面的证明过程中，小前提由AD＞BD得出∠ACD＞∠BCD是错误的．因为只有在同一个三角形中才有大边所对的角较大这一结论．

正解：证明：在△ABC中，

因为CD⊥AB，所以∠ACD＋∠A＝∠BCD＋∠B＝90°.

又因为AC＞BC，

所以∠B＞∠A，

所以∠ACD＞∠BCD.

点评应用三段论推理证明问题时，必须保证大前提、小前提及推理过程全部正确．