线性规划题型总结

1. “截距”型考题

在线性约束条件下，求形如的线性目标函数的最值问题，通常转化为求直线在轴上的截距的取值. 结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得.掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差.

1．（2017天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（　　）

A．    B．1    C．    D．3

答案：D

解：变量x，y满足约束条件的可行域如图：

目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，

由可得A（0，3），目标函数z=x+y的最大值为：3．

2．（2017新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的最小值为　           　．

答案：﹣1．

解：由z=3x﹣4y，得y=x﹣，作出不等式对应的可行域（阴影部分），

平移直线y=x﹣，由平移可知当直线y=x﹣，

经过点B（1，1）时，直线y=x﹣的截距最大，此时z取得最小值，

将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1，

即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1．

3．（2017浙江）若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（　　）

A．[0，6]    B．[0，4]    C．[6，+∞）    D．[4，+∞）

答案：D．

解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：

目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，

由解得C（2，1），

目标函数的最小值为：4

目标函数的范围是[4，+∞）．

4．（2016河南二模）已知x，y∈R，且满足，则z=|x+2y|的最大值为（　　）

答案：C．

解：作出不等式组，对应的平面区域如图：（阴影部分）

由z=|x+2y|，

平移直线y=﹣x+z，

由图象可知当直线y=﹣x﹣z经过点A时，z取得最大值，

此时z最大．

即A（﹣2，﹣2），

代入目标函数z=|x+2y|得z=2×2+2=6。

5．（2016湖南模拟）设变量x、y满足约束条件，则z=32x﹣y的最大值为（　　）

A．    C．3    D．9

答案：D．

解：约束条件对应的平面区域如图：

令2x﹣y=t，变形得y=2x﹣t，根据t的几何意义，由约束条件知t过A时在y轴的截距最大，使t最小，由得到交点A（，）所以t最小为；过C时直线y=2x﹣t在y轴截距最小，t最大，由解得C（1，0），所以t的最大值为2×1﹣0=2，所以，故。

2 . “距离”型考题

在线性约束条件下，求形如z=（x-a）2+（y-b）2的线性目标函数的最值问题，通常转化为求点（a，b）到阴影部分的某个点的距离的平方的取值. 

6．（2016山东）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（　　）

A  C  D．12

答案：C．

解：由约束条件作出可行域如图，

∵A（0，﹣3），C（0，2），∴|OA|＞|OC|，

联立，解得B（3，﹣1）．

∵，

∴x2+y2的最大值是10．

7．（2016浙江）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域中的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=（　　）

A．2    D．6

答案：C

解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），

区域内的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成线段R′Q′，即SAB，

而R′Q′=RQ，

由得，即Q（﹣1，1），

由得，即R（2，﹣2），

则|AB|=|QR|===3，

8．（2016安徽模拟）如果实数x，y满足，则z=x2+y2﹣2x的最小值是（　　）

答案：B．

解：由z=x2+y2﹣2x=（x﹣1）2+y2﹣1，

设m=（x﹣1）2+y2，

则m的几何意义是区域内的点到点D（1，0）的距离的平方，

作出不等式组对应的平面区域如图：

由图象知D到AC的距离为最小值，

此时d==，

则m=d2=（）2=，

则z=m﹣1=﹣1=。

3. “斜率”型考题

在线性约束条件下，求形如z=的线性目标函数的最值问题，通常转化为求过点（a，b）阴影部分的某个点的直线斜率的取值.

9．（2016唐山一模）若x，y满足不等式组，则的最大值是（　　）

A．    B．1    C．2    D．3

答案：C

解：由题意作平面区域如下，

的几何意义是阴影内的点（x，y）与原点的连线的斜率，结合图象可知，

过点A（1，2）时有最大值，此时==2，

10．（2016莱芜一模）已知x，y满足约束条件，则z=的范围是（　　）

A．[，2]，]，]，]

答案：C

解：画出满足条件的平面区域，如图示：

，

 由，解得A（1，2），

由，解得B（3，1），

而z=的几何意义表示过平面区域内的点与（﹣1，﹣1）的直线的斜率，

显然直线AC斜率最大，直线BC斜率最小，

KAC==，KBC==．

11．（2016衡阳二模）已知变量x，y满足，则的取值范围是（　　）

A．

答案：[，]

解：作出满足所对应的区域（如图阴影），

变形目标函数可得 ==1+，

表示可行域内的点与A（﹣2，﹣1）连线的斜率与1的和，

由图象可知当直线经过点B（2，0）时，目标函数取最小值1+=；

当直线经过点C（0，2）时，目标函数取最大值1+=．

4. “平面区域的面积”型考题

12．设平面点集A＝{(x，y)|(y－x)(y－)≥0}，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，则A∩B所表示的平面图形的面积为(　　)

A．      B．      C．      D．

答案： D　

解：不等式(y－x)(y－)≥0可化为或集合B表示圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上以及圆内部的点所构成的集合，A∩B所表示的平面区域如图阴影部所示．由线，圆(x－1)2＋(y－1)2＝1均关于直线y＝x对称，所以阴影部分占圆面积的一半，故选D项．

5. “求约束条件中的参数”型考题

规律方法：当参数在线性规划问题的约束条件中时，作可行域，要注意应用“过定点的直线系”知识，使直线“初步稳定”，再结合题中的条件进行全方面分析才能准确获得答案.

13．（2016兴安盟一模）若x，y满足不等式组，且y+x的最大值为2，则实数m的值为（　　）

答案：D

解：∵y+x的最大值为2，

∴此时满足y+x=2，

作出不等式组对应的平面区域如图：

则由，解得，即A（1，），

同时A也在直线y=mx上，

则m=，

14．（2016绍兴一模）若存在实数x，y满足，则实数m的取值范围是（　　）

A．（0，，，，）

答案：D

解：作出所对应的区域（如图△ABC即内部，不包括边界），

直线m（x+1）﹣y=0，可化为y=m（x+1），过定点D（﹣1，0），斜率为m，

存在实数x，y满足，

则直线需与区域有公共点，，

解得B（，），，解得A（，）

KPA==，KPB==，∴＜m＜．

6. “求目标函数中的参数”型考题

规律方法：目标函数中含有参数时，要根据问题的意义，转化成“直线的斜率”、“点到直线的距离”等模型进行讨论与研究.

15．（2015山东）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（　　）

答案：B　

解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．

则A（2，0），B（1，1），

若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，目标函数为z=2x+y，即y=﹣2x+z，

平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，

若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，

即y=﹣3x+z，

平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，故a=2

16．（2016扶沟县一模）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值为2，则ab的最大值为（　　）

答案：C

解：满足约束条件的可行域如下图所示：

∵目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）

故zA=2a+2b，zB=2a+3b，

由目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值为2，

则2a+2b=2，即a+b=1

则ab≤=

故ab的最大值为

7. 其它型考题

17.（2016四川）设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，

q：实数x，y满足，则p是q的（　　）

答案：A　

解：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2表示以（1，1）为圆心，以为半径的圆内区域（包括边界）；

满足的可行域如图有阴影部分所示，

故p是q的必要不充分条件.

18．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料，乙材料，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为　216000　元．

解：（1）设甲、乙两种产品每件分别是x件和y件，获利为z元．

由题意，得，z=2100x+900y．

不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），

目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．答案为：216000．

19．（2016天津）某化工厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料，生产1扯皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示：

（1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

（2）问分别生产甲、乙两种肥料，求出此最大利润．

解：（1）x，y满足的条件关系式为：．

作出平面区域如图所示：

（2）设利润为z万元，则z=2x+3y．

∴y=﹣x+．

∴当直线y=﹣x+经过点B时，截距最大，即z最大．

解方程组得B（20，24）．

∴z的最大值为2×20+3×24=112．

答：当生产甲种肥料20吨，乙种肥料24吨时，利润最大，最大利润为112万元．