柯西不等式的证明及其应用

赵增林

（青海民族大学，数学学院，青海，西宁，810007）

摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用五种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。

关键词：柯西不等式，证明，应用

柯西不等式

定理：如果为两组实数，则

      （*）

当且仅当时等号成立。

若，则不等式的等号成立的条件是。

我们称不等式（*）为柯西不等式。

柯西不等式的证明：

一）两个实数的柯西不等式的证明：

对于实数，恒有，当且仅当

时等号成立。如果则等式成立的条件是。

证明：对于任意实数，恒有

，而，

故当且仅当时等号成立。

    不等式的几何意义如图1所示，在直角坐标系中有

异于原点的两点，，由距离公式

得：||，||

||

设与的夹角为，

由余弦定理得。

因为，所以，即，

即当且仅当时等号成立，

即共线时等号成立。这时有，即。

二）柯西不等式的证明：

常用的证明柯西不等式的方法有：

1）配方法：

作差：因为

所以，即

即

当且仅当

即时等号成立。

2）利用恒等式证明：

  先用数学归纳法证明如下恒等式，然后证明柯西不等式： 对于二组实数有柯西—拉格朗日恒等式

由实数性质可得柯西不等式成立。

3）利用判别式证明（构造二次函数法）

i)若，则不等式显然成立。

ii)若至少有一个不为，则>

对于任意的实数，总有,。

当时，将以上个式子相加，有

当时，上面的不等式对于所有的均成立。

故有判别式

即。

当时，因为。

故。同理可得。

两式相乘，得

即不等式的等号成立。

不等式的等号成立，即

时，有

则关于的方程

则有

于是，即，即。

4）用数学归纳法证明 

i）当时，有，不等式成立。

当时， 

。

因为，故有

当且仅当，即时等号成立。

ii）假设时不等式成立。即

当且仅当时等号成立。

那么当时，

当且仅当时等号成立，

即时等号成立。

于是时不等式成立。

由i）ii）可得对于任意的自然数，柯西不等式成立。

5）用向量法证明

设维空间中有二个向量a，b，其中为任意两组实数。

由向量的长度定义，有|a|,|b|

又由内积的定义，ab|a||b|,j是a, b的夹角，

且有ab。 因||，故| ab | |a||b|，于是

||即

当且仅当||时，即a与b共线时等号成立。

由a,b共线可知

即

由以上，命题得证。

柯西不等式的应用：

1）证明不等式

     在不等式的证明中，柯西不等式的作用是很突出的。有些不等式的证明用常归方法很繁琐，而用柯西不等式却很简单。

例1：已知为互不相等的正整数，求证：对于任意的正整数，有不等式。

证明：由柯西不等式：

于是。

又因为为互不相等的正整数，故其中最小的数不小于，次小的数不小于，最大的不小于，这样就有。

所以有。

因为

而

所以有。

例2：设，则证明： 

证明：由柯西不等式，对于任意的个实数，有

      即        

于是

     。

2）求函数的极值

柯西不等式也可以广泛应用于求函数的极值或最值。事实上，由

可得

，如将上式左

边当作一个函数，而右边值确定时，则可知的最大值与最小值分别是与

，且取最大值与最小值的充要条件是。

反过来，如果把柯西不等式右边的一个因式或两个的积当作函数，而其他的因式已知时，则可求出此函数的最小值。

例1：求函数的极值，其中是常数。

解： 

  故有。

 当且仅当时，即时，

函数有极小值，极大值。

例2：已知为常数，当时，求函数的最大值与最小值。

 解：由柯西不等式： 

     故。

     当且仅当，即（为常数）时等号成立。

     将代入得

     则，即当时，

    分别为所求的最大与最小值。

3）解方程

例1：解方程组 

解：由柯西不等式有

    即，故方程组无解。

例2：在实数集内解方程组    

解：由柯西不等式

                （1）

   因为

   又因为。

  即

   即（1）式取等号。

   由柯西不等式取等号的条件有                   （2）

      （2）式与联立，则有。

4）解三角与几何问题

例1：在三角形中，证明。

证明：由柯西不等式： 

即        （1）

因为

故          （2）

又因为

因而                           （3）

将（3）代入（2）得              （4）

  将（4）代入（1）得

即。

例2：求证三角形三边上正方形面积之和不小于该三角形面积的倍，即，其中为三角形的三边长，为三角形的面积。

证明：由海伦——秦九韶面积公式，其中。

于是

由柯西不等式，有

当且仅当，即时等式成立。

于是。

变形得：

。

即（是三角形的面积）

故有，当且仅当时等号成立。

5）推导点到直线的距离公式

    已知点及直线，设是上任意一点，点到的距离的最小值||就是点到的距离，证明：||。

证明：因为是上的点，所以有。                     （1）

      而||                                 （2）

      由柯西不等式，

                   （3）

  由（1）得：                                    （4）

  将（4）代入（3），则有

即

移项则有：||                               （5）

当且仅当即时（5）式取等号，即点到直线的距离公式：

||。

参考文献：

[1]    王学功，著名不等式，中国物资出版社

[2]李永新李得禄，中学数学教材教法，东北师大出版社

[3]柯西不等式与排序不等式，南山，湖南教育出版社

[4]柯西不等式的微小变动，数学通报，2002 第三期

Application of Cauchy inequality 

Zenglin Zhao 

(Department of mathematics, Qinghai University For Nationalities,Xining,Qinghai,810007)

Abstract: Cauchy inequality is a very important inequality in this paper using five different methods to prove the Cauchy inequality, and gives a number of inequality in the proof of Cauchy's inequality, and the value function, solution of equations, solution of triangular and geometric issues application, and finally to prove the point with the straight-line distance from the formula, a better explanation of the Cauchy inequality.

Keywords: Cauchy inequality; proof; application