南通市区高中数学解题能力竞赛试卷

（时长：120分钟，满分：160分）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1． 已知集合A={(x，y)│|x|＋|y|=2，x，y∈R}，B={(x，y)│|xy|=a，x，y∈R}，若A∩B

中的元素所对应的点恰好是一个正八边形的八个顶点，则正数a的值为         ．

2． 给出一个算法：

Read  x

If  x≤ 0  Then  

     ← 4x

Else

     ←

End  If

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根据以上算法，可求得的值为         ．

3． 已知≤是定义域为R的奇函数，且当x＝2

时，f(x)取得最大值2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=         ．

4． 已知O是△ABC内一点，，则△AOB与△AOC的面积的比值

为            ．

5． 在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且．则A=         ．

6． 某学生对函数进行研究后，得出如下四个结论：

①函数f (x)在上单调递增；②存在常数，使对一切实

数x均成立；③函数f (x)在(0,π)上无最小值，但一定有最大值；④点（π，0）是

函数图象的一个对称中心．

其中正确的是          ．

7． 某工厂投入98万元购买一套设备，第一年的维修费用12万元，以后每年增加4万

元，每年可收入50万元．就此问题给出以下命题：

①前两年没能收回成本；②前5年的平均年利润最多；③前10年总利润最多；④

第11年是亏损的；⑤10年后每年虽有盈利但与前10年比年利润有所减少（总利润

=总收入－投入资金－总维修费）．

其中真命题是           ．

8． 若a＞0，b＞0，a3＋b3＜2a2b，则的取值范围是            ．

9． 数列{an}的构成法则如下：a1=1；如果an－2为自然数且之前未出现过，则用递推

公式，否则用递推公式．则a6=          ．

10．过抛物线y2=2px（p>0）的焦点的直线x－my+m=0与抛物线交于A、B两点，且

△OAB（O为坐标原点）的面积为2，则m6+m4=                ．

11．已知等腰三角形腰上的中线长为，则该三角形的面积的最大值是           ．

12．若函数，则          ．

13．已知三次函数在R上单调递增，则的最小值为              ．

14．设短轴长为的椭圆C:和双曲线的离心率互为倒数，过定圆E上的每一个点都可以作两条互相垂直的直线，且与椭圆的公共点都只有一个，则所求的圆的方程为                  ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.（本小题满分14分）

在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的5个小球，这些小球除去标注的数字外完全相同．甲、乙两人玩一种游戏，甲先摸出一个球，记下球上的数字后放回，乙再摸出一个小球，记下球上的数字，如果两个数字之和为偶数则甲胜，否则为乙胜．

（1）求两数字之和为6的概率；

（2）这种游戏规则公平吗?试说明理由．

16．（本小题满分14分）

直棱柱中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，．

（1）求证：AC⊥平面BB1C1C；

（2）在A1B1上是否存一点P，使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论．

17．（本小题满分15分）

平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M经过点F1（0，－c），F2（0，c），A（c，0）三点，其中c＞0．

（1）求圆M的标准方程（用含的式子表示）；

（2）已知椭圆（其中）的左、右顶点分别为D、B，

圆M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧．

①求椭圆离心率的取值范围；

②若A、B、M、O、C、D（O为坐标原点）依次均匀分布在x轴上，问直线MF1与直线DF2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．

18．（本小题满分15分）

设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为f (n)（n∈）．

（1）求f (1)，f (2)的值及的表达式；

（2）记，若对于一切正整数n，总有成立，求实数m的取值范围；

（3）设为数列{}的前项和，其中，问是否存在正整数n，t，使成立？若存在，求出正整数n，t；若不存在，说明理由．

19．（本小题满分16分）

已知函数的图象上，以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为．

（1）求m，n的值；

（2）是否存在最小的正整数k，使得不等式≤k－1991对于恒成立； 

（3）求证：≤．

20．(本小题满分16分)

已知数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）对任意给定的，是否存在（）使成等差数列？若存在，用分别表示和（只要写出一组）；若不存在，请说明理由；

（3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为．

南通市区高中数学解题能力竞赛答案

1．        2．－8        3．2±2        4．        5．        6．②③

7．①③④        8．    9．15        10．2        11．2        12．2011．

13．3        14． 

15．（1）设“两数字之和为6”为事件A，事件A包含的基本事件为

（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共5个．……………………2分

又甲、乙二人取出的数字共有5×5＝25（个）等可能的结果， ……………………4分

所以． ………………………………………………………………………6分

答：两数字之和为6的概率为．………………………………………………………………7分

      （2）这种游戏规则不公平．……………………………………………………………………9分

设“甲胜”为事件B，“乙胜”为事件C， ……………………………………………10分

则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个：

（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），

（4，2） ，（4，4），（5，1） ，（5，3），（5，5）．

所以甲胜的概率P（B）＝，从而乙胜的概率P（C）＝1－＝．

由于P（B）≠P（C），所以这种游戏规则不公平． ………………………………14分

16．（1） 直棱柱中，BB1⊥平面ABCD， BB1⊥AC． ………………………2分

又∠BAD＝∠ADC＝90°，，

∴，∠CAB＝45°，∴， BC⊥AC．………………………………5分

又，平面BB1C1C，

AC⊥平面BB1C1C．     ………………7分

（2）存在点P，P为A1B1的中点． ………………8分

证明：由P为A1B1的中点，有PB1‖AB，

且PB1＝AB．……………………………………9分

又∵DC‖AB，DC＝AB， DC ∥PB1，且DC＝ PB1，

∴DC PB1为平行四边形，从而CB1∥DP．……………………………………………11分

又CB1面ACB1，DP面ACB1， DP‖面ACB1．………………………………13分

同理，DP‖面BCB1．……………………………………………………………………14分

17．（1）设⊙M的方程为，

则由题设，得解得       ………………………3分

⊙M的方程为，

⊙M的标准方程为．       …………………………………5分

（2）⊙M与x轴的两个交点，，又，，

由题设即所以     ………………………7分

解得，即．

所以椭圆离心率的取值范围为．     ………………………………………10分

（3）由（1），得．由题设，得．

 ∴，．

∴直线MF1的方程为，     ①

直线DF2的方程为．     ②…………………………………………13分

由①②，得直线MF1与直线DF2的交点，易知为定值，

∴直线MF1与直线DF2的交点Q在定直线上．…………………………15分

18．（1）由题意，作图易得f (1)=3，f (2)=6．  ………………………………………………………2分

一般地，由,，得．

又，∴．

∴Dn内的整点在直线和上． …………………………………………………3分

记直线为,与直线和的交点的纵坐标分别为，，

则，．

∴．  ……………………………………………………………………5分

（2）由（Ⅰ），得，   …………………………………………………………6分

∴．

∴当n≥3时,，且.………………………………………8分

于是是的最大项，故m≥．……………………………………………10分

（3）假设存在正整数n，t使得上面的不等式成立，

由（Ⅰ），有，∴  ．  …………………………………………11分

不等式，即，

解得．

∴n=t=1． …………………………………………………………………………………14分

即存在正整数n=1，t=1，使成立． …………………………………15分

19．（1）=，依题意，得=，即．

∴．把N（1，n）代入，得n=．

∴m=，n=． …………………………………………………………………………4分

（2）令=，得．

当时， =；当时， =；

当时， =．

又．

因此，当时≤≤15；………………………………………………9分

要使得不等式≤k－1991对于恒成立，则k≥15+1991=2006．

所以，存在最小的正整数k=2006，使得不等式≤k－1991对于恒成立．

………………………………………………………………………11分

（3）(方法1)： =

==

==

=≤．……………………………………………………………13分

又∵，∴≥，≥1．

∴=

           =≥．

综上可得，≤．     ……………………16分

(方法2)  由（2）知，函数在上是增函数；在上是减函数；在上是增函数．

又，

所以，当时，≤≤，即≤．

∵，∴≤，≤．

∴≤+≤+≤．  …………………11分

又∵，∴≥>1，且函数在上是增函数．

∴≥．

综上可得，≤．       …………………16分

20．（1）当时，；当时，，

        所以；综上所述，．…………………………3分

   （2）当时，若存在p，r使成等差数列，则，

因为，所以，与数列为正数相矛盾，因此，当时不存在；………5分

    当时，设，则，所以， ……………………7分

    令，得，此时，，

    所以，，

    所以；

综上所述，当时，不存在p，r；当时，存在满足题设.

……………………10分

（3）作如下构造：，其中，

它们依次为数列中的第项，第项，第项， ……12分

显然它们成等比数列，且，，所以它们能组成三角形．

由的任意性，这样的三角形有无穷多个．                    ……………………14分

下面用反证法证明其中任意两个三角形和不相似：

若三角形和相似，且，则，

整理得，所以，这与条件相矛盾，

因此，任意两个三角形不相似．

故命题成立．                                                  ……………………16分

    【注】1．第（2）小题当ak不是质数时，p，r的解不唯一；

2.  第（3）小题构造的依据如下：不妨设，且符合题意，则公比>1，因，又，则，所以，因为三项均为整数，所以为内的既约分数且含平方数因子，经验证，仅含或时不合，所以；

      3．第（3）小题的构造形式不唯一．