放缩法技巧及例题解析(高中数学)

一．放缩技巧

    所谓放缩的技巧：即欲证，欲寻找一个（或多个）中间变量，使，

由到叫做“放”，由到叫做“缩”.常用的放缩技巧

（1）若

（2），，， 

（3）

（4）

（5）若，则

（6）

（7）（因为）

（7）

      或

（8），

（9）， 

（10） 

【经典回放】

例1、设数列的前项和为.已知, ,.

(Ⅰ) 求的值；

(Ⅱ) 求数列的通项公式；

(Ⅲ) 证明:对一切正整数,有.

【解析】(Ⅰ) 依题意, ,又,所以；

   (Ⅱ) 当时, ,

   两式相减得

   整理得,即,又

   故数列是首项为,公差为的等差数列,

所以,所以.

   (Ⅲ) 当时,；当时,；

   当时, ,此时

综上,对一切正整数,有.

例2：

【经典例题】

例1、设数列满足

（1）求的通项公式；

（2）若求证：数列的前n项和

分析：（1）此时我们不妨设

即与已知条件式比较系数得

又是首项为2，公比为2的等比数列。.

（3）由（1）知. 当时,

当n=1时， =1也适合上式，所以，故

方法一：， (这步难度较大,也较关键,后一式缩至常数不易想到.必须要有执果索因的分析才可推测出.)

        .

方法二 :在数列中,简单尝试的方法也相当重要.很多学生做此题时想用裂项相消法但是发现此种处理达不到目的.但是当n3时,我们看:

易验证当n=1，2时.  综上

例2、已知正项数列满足

（1）判断数列的单调性；

（2）求证： 

分析：（1），即

  故数列{}为递增数列.

(2) 不妨先证

再证： 

原解答中放缩技巧太强，下面给出另一种证法

.

当时， 

.

易验证当n=1时,上式也成立.

综上,故有成立.

经典方法归纳：

一．先求和后放缩

例1．正数数列的前项的和，满足，试求：

（1）数列的通项公式；

（2）设，数列的前项的和为，求证： 

解：（1）由已知得，时，，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以

（2），所以

注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．

例2、已知求证： 

证明： 

若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了，从而是使和式得到化

二．先放缩再求和

1．放缩后成等差数列，再求和

例1．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.

(1) 求证：；

(2) 求证： 

解：（1）在条件中，令，得， ，又由条件有，上述两式相减，注意到得

    ∴                                   

所以，，  

所以

（2）因为，所以，所以

； 

例2．已知数列满足：．求证:.

证明：因为，所以与同号，又因为，所以，

即，即．所以数列为递增数列，所以，

即，累加得：．

令，所以，两式相减得：

，所以，所以，

故得．

2．放缩后成等比数列，再求和

例2．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：；

（2）等比数列{an}中，，前n项的和为An，且A7，A9，A8成等差数列．设，

     数列{bn}前n项的和为Bn，证明：．

解：（1）当n为奇数时，an≥a，于是，． 

         当n为偶数时，a－1≥1，且an≥a2，于是

． 

（2）∵，，，∴公比． 

∴．． 

∴． 

3．放缩后为裂项相消，再求和

例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj（即前面某数大于后面某

     数），则称Pi与Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 

     记排列的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列321的逆序数．

（1）求a4、a5，并写出an的表达式； 

（2）令，证明

解（1）由已知得，.

（2）因为，

所以.

又因为，

所以

　　　　　　　　　　　　　 =.

          综上，.

注：常用放缩的结论：（1）

（2）．

三. 裂项放缩

1、若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。

例1. 已知n∈N*，求。

证明：因为，则

，证毕。

例2、已知an=n ，求证： ＜3．

证明： =＜1＋ 

＜１＋=

=1＋  (－) 

=1＋1＋－－＜2＋＜3．

本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.

例3. 已知且，求证：对所有正整数

     n都成立。

证明：因为，所以，

又，

所以，综合知结论成立。

2、固定一部分项，放缩另外的项；

例4、求证： 

证明： 

此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。

例5、设求证： 

  解析  又

（只将其中一个变成，进行部分放缩），，

于是

例10 设数列满足，当时证明对所有有；（02年全国高考题）

 解析用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，则当时，成立。

      利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得

      注：上述证明用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：；证明就直接使用了部分放缩的结论。

3. 添减项放缩

例11  设，求证.

简析 观察的结构，注意到，展开得

，

即，得证.

四. 公式放缩

利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。

例6. 已知函数证明：对于且都有。

证明：由题意知

，又因为且，所以只须证，又因为

所以。

巩固练习：

1．设（），数列的前项和为，求证： 

1．证：    

2．设

（1）求证：当时，；

（2）试探究：当时，是否有？说明理由.

2．解：（1）∵当时， 

∴＝ 

又∵

∴

∴当时，.

（2）∵

∴

＝

    当时,要只需

    即需，显然这在时成立

    而,当时显然

    即当时也成立

综上所述：当时，有. 

3．设，求证：

（1）     （2）

3．证法一：∵∴

∴ 

∴.………………10分

证法二：，下同证法一.            …………10分

证法三：（利用对偶式）设，，

则.又，也即，所以，也即，

又因为，所以.即

                      ………………10分

证法四：（数学归纳法）①当时, ,命题成立;

   ②假设时,命题成立,即,

   则当时, 

    即

即

故当时，命题成立.

综上可知，对一切非零自然数，不等式②成立.           ………………10分 

②由于，

所以，

从而.

也即………………14分

4．设， 

 求证（1）

    （2）

4． 证明：（法一）

   ………………12分

   （法二）（1）当，显然成立 …………5分

   （2）假设时，

  ………………7分

即当时，不等式成立，由（1）（2）可得原不等成立。…………12分

5． 设，， 求证: 

5．证明: 当时，．

     当时.    

    ． 

    故

    综上，原不等式成立． 

6．设为数列的前项和，对任意的N，都有为常数，且．

（1）求证：数列是等比数列；

（2）设数列的公比，数列满足， N，

     求数列的通项公式；

（3）在满足（2）的条件下，求证：数列的前项和．

6．（1）证明：当时，，解得． 

当时，． 

即．

∵为常数，且，∴． 

∴数列是首项为1，公比为的等比数列． 

（2）解：由（1）得，，． 

∵， 

∴，即． 

∴是首项为，公差为1的等差数列． 

∴，即（N）．

（3）证明：由（2）知，则．…所以， 

当时，， 

所以

       ． 

7.在单调递增数列中，，，且成等差数列，成等比数列，

     ．

（1）分别计算，和，的值；

（2）求数列的通项公式（将用表示）；

（3）设数列的前项和为，证明：，．

解：（1）由已知，得，，，　. 

（2）（证法1），，，……；

，，，…….

∴猜想,，，             

以下用数学归纳法证明之．

①当时，，，猜想成立；

②假设时，猜想成立，即,，

那么

,

.

∴时，猜想也成立．

由①②，根据数学归纳法原理，对任意的，猜想成立．         

∴当为奇数时，；

当为偶数时，．

即数列的通项公式为．          

（注：通项公式也可以写成）

（证法2）令，，则

．

∴，．

从而（常数），，又，

故是首项为，公差为的等差数列，∴，

解之，得，即，．              

∴

，

从而．（余同法1）

（注：本小题解法中，也可以令，或令，余下解法与法2类似）

（3）（法1）由（2），得．

显然，；                

当为偶数时，

；                  

当为奇数（）时， 

.

综上所述，，．                        

（解法2）由（2），得．

以下用数学归纳法证明，．

①当时，；

当时，．∴时，不等式成立．……

②假设时，不等式成立，即，

那么，当为奇数时，

；

当为偶数时，

               ．

∴时，不等式也成立．

由①②，根据数学归纳法原理，对任意的，不等式成立．……14