2021年四川省广元市中考数学真题试卷(附答案解析)

一、选择题.（每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的．每小题3分，共30分）

1．（3分）（2021•广元）计算|﹣3|﹣（﹣2）的最后结果是（　　）

A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5

2．（3分）（2021•广元）下列图形均表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．医疗废物 B．中国红十字会    

C．医疗卫生服务机构 D．国际急救

3．（3分）（2021•广元）下列运算正确的是（　　）

A．（a）2＝a2 B．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9    

C．﹣2（3a+1）＝﹣6a﹣1 D．（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣2b2

4．（3分）（2021•广元）一组数据：1，2，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（　　）

A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差

5．（3分）（2021•广元）下列命题中，真命题是（　　）

A．2x﹣1

B．对角线互相垂直的四边形是菱形    

C．顺次连接矩形各边中点的四边形是正方形    

D．已知抛物线y＝x2﹣4x﹣5，当﹣1＜x＜5时，y＜0

6．（3分）（2021•广元）观察下列作图痕迹，所作线段CD为△ABC的角平分线的是（　　）

A． B．    

C． D．

7．（3分）（2021•广元）如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（　　）

A． B． C． D．1

8．（3分）（2021•广元）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（　　）

A．或﹣3 B．或﹣3 C．或﹣3 D．或﹣3

9．（3分）（2021•广元）如图，在边长为2的正方形ABCD中，AE是以BC为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B．π﹣2 C．1 D．

10．（3分）（2021•广元）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ．则CQ的最小值是（　　）

A． B．1 C． D．

二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上．每小题4分，共24分）

11．（4分）（2021•广元）实数的算术平方根是 　 　．

12．（4分）（2021•广元）中国杂交水稻之父、中国工程院院士、共和国勋章获得者袁隆平于2021年5月22日因病去世，享年91岁，袁隆平的去世是中国乃至全世界的重大损失．袁隆平一生致力于水稻杂交技术研究，为提高我国水稻亩产量做出了巨大贡献．截至2021年，“种三产四”丰产工程项目累计示范推广面积达2000多万亩，增产20多亿公斤．将20亿这个数据用科学记数法表示为 　      　．

13．（4分）（2021•广元）如图，实数，，m在数轴上所对应的点分别为A，B，C，点B关于原点O的对称点为D．若m为整数，则m的值为 　   　．

14．（4分）（2021•广元）如图，在4×4的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，其中A、B、D又在⊙O上，点E是线段CD与⊙O的交点．则∠BAE的正切值为 　              　．

15．（4分）（2021•广元）如图，点A（﹣2，2）在反比例函数y的图象上，点M在x轴的正半轴上，点N在y轴的负半轴上，且OM＝ON＝5．点P（x，y）是线段MN上一动点，过点A和P分别作x轴的垂线，垂足为点D和E，连接OA、OP．当S△OAD＜S△OPE时，x的取值范围是 　      　．

16．（4分）（2021•广元）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD上，连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF、EF，AF交BD于G，现有以下结论：①AP＝PF；②DE+BF＝EF；③PB﹣PDBF；④S△AEF为定值；⑤S四边形PEFG＝S△APG．以上结论正确的有 　     　（填入正确的序号即可）．

三、解答题（96分）要求写出必要的解答步骤或证明过程

17．（6分）（2021•广元）解方程：4．

18．（8分）（2021•广元）先化简，再求值：（）．其中x，y＝1．

19．（8分）（2021•广元）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，连接AE，若AE的延长线和BC的延长线相交于点F．

（1）求证：BC＝CF；

（2）连接AC和BE相交于点为G，若△GEC的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．

20．（9分）（2021•广元）为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．甲、乙两家商场以相同的价格出售同种品牌的篮球和足球，已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个．

（1）若学校计划用不超过3550元的总费用购买这款篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球数量的．学校有哪几种购买方案？

（2）若甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过500元后，超出500元的部分按90%收费；乙商场累计购物超过2000元后，超出2000元的部分按80%收费．若学校按（1）中的方案购买，学校到哪家商场购买花费少？

21．（9分）（2021•广元）“此生无悔入华夏，来世再做中国人！”自疫情暴发以来，我国科研团队经过不懈努力，成功地研发出了多种“新冠”疫苗，并在全国范围内免费接种．截止2021年5月18日16：20，全球接种“新冠”疫苗的比例为18.29%；中国累计接种4.2亿剂，占全国人口的29.32%．以下是某地甲、乙两家医院5月份某天各年龄段接种疫苗人数的频数分布表和接种总人数的扇形统计图：

①填空：a＝　     　，b＝　     　，c＝　     　；

②在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40﹣49周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为 　     　；

（2）若A、B、C三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗，求这三人在同一家医院接种的概率．

22．（10分）（2021•广元）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米，小区楼房BC的高度为15米．

（1）求此时无人机的高度；

（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：tan75°＝2，tan15°＝2．计算结果保留根号）

23．（10分）（2021•广元）如图，直线y＝kx+2与双曲线y相交于点A、B，已知点A的横坐标为1．

（1）求直线y＝kx+2的解析式及点B的坐标；

（2）以线段AB为斜边在直线AB的上方作等腰直角三角形ABC．求经过点C的双曲线的解析式．

24．（10分）（2021•广元）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD是∠BAC的平分线，以AD为直径的⊙O交AB边于点E，连接CE，过点D作DF∥CE，交AB于点F．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）若BD＝5，sin∠B，求线段DF的长．

25．（12分）（2021•广元）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB边上一点（含端点A、B），过点B作BE垂直于射线CD，垂足为E，点F在射线CD上，且EF＝BE，连接AF、BF．

（1）求证：△ABF∽△CBE；

（2）如图2，连接AE，点P、M、N分别为线段AC、AE、EF的中点，连接PM、MN、PN．求∠PMN的度数及的值；

（3）在（2）的条件下，若BC，直接写出△PMN面积的最大值．

26．（14分）（2021•广元）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：

（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；

（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

2021年四川省广元市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题.（每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的．每小题3分，共30分）

1．（3分）（2021•广元）计算|﹣3|﹣（﹣2）的最后结果是（　　）

A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5

【分析】根据绝对值的性质以及有理数的减法法则计算即可；有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．

【解答】解：|﹣3|﹣（﹣2）＝3+2＝5．

故选：C．

【点评】本题考查了有理数的减法以及绝对值，掌握有理数减法法则是解答本题的关键．

2．（3分）（2021•广元）下列图形均表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．医疗废物 B．中国红十字会    

C．医疗卫生服务机构 D．国际急救

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；

D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．

故选：C．

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

3．（3分）（2021•广元）下列运算正确的是（　　）

A．（a）2＝a2 B．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9    

C．﹣2（3a+1）＝﹣6a﹣1 D．（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣2b2

【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．

【解答】解：（a）2＝a2﹣a，故选项A错误；

（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9，故选项B正确；

﹣2（3a+1）＝﹣6a﹣2，故选项C错误；

（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣ab﹣2b2，故选项D错误；

故选：B．

【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．

4．（3分）（2021•广元）一组数据：1，2，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（　　）

A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差

【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．

【解答】解：A、原来数据的平均数是2，添加数字3后平均数为，故不符合题意；

B、原来数据的中位数是2，添加数字3后中位数仍为2，故符合题意；

C、原来数据的众数是2，添加数字3后众数为2和3，故不符合题意；

D、原来数据的方差[（1﹣2）2+2×（2﹣2）2+（3﹣2）2]，

添加数字3后的方差[（1）2+2×（2）2+2×（3）2]，故方差发生了变化，故不符合题意；

故选：B．

【点评】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．

5．（3分）（2021•广元）下列命题中，真命题是（　　）

A．2x﹣1

B．对角线互相垂直的四边形是菱形    

C．顺次连接矩形各边中点的四边形是正方形    

D．已知抛物线y＝x2﹣4x﹣5，当﹣1＜x＜5时，y＜0

【分析】由负整数指数幂的定义、菱形的判定、二次函数的性质分别对各个选项进行判断即可．

【解答】解：A、∵2x﹣1，

∴选项A不符合题意；

B、∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形（菱形的判定定理），

∴选项B不符合题意；

C、顺次连接矩形各边中点的四边形是菱形，理由如下：

在矩形ABCD中，连接AC、BD，如图：

∵四边形ABCD为矩形，

∴AC＝BD，

∵AH＝HD，AE＝EB，

∴EH是△ABD的中位线，

∴EHBD，

同理，FGBD，HGAC，EFAC，

∴EH＝HG＝GF＝FE，

∴四边形EFGH为菱形，

∴选项C不符合题意；

D、∵抛物线y＝x2﹣4x﹣5的开口向上，与x轴的两个交点为（﹣1，0）、（5，0），

∴当﹣1＜x＜5时，y＜0，

∴选项D符合题意；

故选：D．

【点评】本题考查了菱形的判定、中点四边形、平行四边形的性质、矩形的性质、二次函数的性质等知识；熟练掌握菱形的判定和二次函数的性质是解题的关键．

6．（3分）（2021•广元）观察下列作图痕迹，所作线段CD为△ABC的角平分线的是（　　）

A．    

B．    

C．    

D．

【分析】根据基本作图的方法对各选项进行判断．

【解答】解：根据基本作图，A、D选项中为过C点作AB的垂线，B选项作AB的垂直平分线得到AB边上的中线CD，C选项作CD平分∠ACB．

故选：C．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的角平分线、中线和高．

7．（3分）（2021•广元）如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（　　）

A． B． C． D．1

【分析】首先求得扇形的弧长，然后利用圆的周长公式即可求得．

【解答】解：∵⊙O的直径为2，则半径是：1，

∴S⊙O＝π×12＝π，

连接BC、AO，根据题意知BC⊥AO，AO＝BO＝1，

在Rt△ABO中，AB，

即扇形的对应半径R，

弧长l，

设圆锥底面圆半径为r，则有

2πr，

解得：r．

故选：B．

【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．

8．（3分）（2021•广元）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（　　）

A．或﹣3 B．或﹣3 C．或﹣3 D．或﹣3

【分析】分两种情形：如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4（﹣3≤x≤1）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可．

【解答】解：二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4），

当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，

则抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点为A（﹣1，0），B（3，0），

把抛物线y＝﹣x2+2x+3图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3），顶点坐标M（1，﹣4），

如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，

∴3+b＝0，解得b＝﹣3；

当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4（﹣3≤x≤1）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，

即（x﹣1）2﹣4＝x+b有相等的实数解，整理得x2﹣3x﹣b﹣3＝0，△＝32﹣4（﹣b﹣3）＝0，解得b，

所以b的值为﹣3或，

故选：A．

【点评】此题主要考查了翻折的性质，一元二次方程根的判别式，抛物线的性质，确定翻折后抛物线的关系式；利用数形结合的方法是解本题的关键，画出函数图象是解本题的难点．

9．（3分）（2021•广元）如图，在边长为2的正方形ABCD中，AE是以BC为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B．π﹣2 C．1 D．

【分析】根据切线的性质得到EC＝EF，根据勾股定理列出方程求出CE，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．

【解答】解：假设AE与BC为直径的半圆切于点F，则AB＝AF，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠BCD＝90°，

∴EC与BC为直径的半圆相切，

∴EC＝EF，

∴DE＝2﹣CE，AE＝2+CE，

在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，即（2+CE）2＝22+（2﹣CE）2，

解得：CE，

∴DE＝2，

∴阴影部分的面积＝22π×122，

故选：D．

【点评】本题考查的是切线的性质、正方形的性质、勾股定理的应用、扇形面积计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、扇形面积公式是解题的关键．

10．（3分）（2021•广元）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ．则CQ的最小值是（　　）

A． B．1 C． D．

【分析】如图在CD的下方作等边△CDT，作射线TQ．证明△CDP≌△TDQ（SAS），推出∠DCP＝∠DTQ＝90°，推出∠CTQ＝30°，推出点Q在射线TQ上运动，当CQ⊥TQ时，CQ的值最小．解法二：在CD的上方，作等边△CDM，连接PM，过点M作MH⊥CB于H．利用全等三角形的性质解决问题即可．

【解答】解：如图在CD的下方作等边△CDT，作射线TQ．

∵∠CDT＝∠QDP＝60°，DP＝DQ，DC＝DT，

∴∠CDP＝∠QDT，

在△CDP和△TDQ中，

，

∴△CDP≌△TDQ（SAS），

∴∠DCP＝∠DTQ＝90°，

∴∠CTD＝60°，

∴∠CTQ＝30°，

∴点Q在射线TQ上运动（点T是定点，∠CTQ是定值），

当CQ⊥TQ时，CQ的值最小，最小值＝CT•sin30°CTCDBC＝1，

解法二：如图，CD的上方，作等边△CDM，连接PM，过点M作MH⊥CB于H．

∵△DPQ，△DCM都是等边三角形，

∴∠CDM＝∠PDQ＝60°，

∵DP＝DQ，DM＝DC，

∴△DPM≌△DQC（SAS），

∴PM＝CQ，

∴PM的值最小时，CQ的值最小，

当PM⊥MH时，PM的值最小最小值＝CHCD＝1，

∴CQ的最小值为1．

故选：B．

【点评】本题考查旋转的性质，垂线段最短，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上．每小题4分，共24分）

11．（4分）（2021•广元）实数的算术平方根是 　2　．

【分析】一个正数的正的平方根叫它的算术平方根，由此即可求出结果．

【解答】解：，

4的算术平方根是2，

所以实数的算术平方根是2．

故答案为：2．

【点评】此题主要考查了算术平方根的概念，比较简单．

12．（4分）（2021•广元）中国杂交水稻之父、中国工程院院士、共和国勋章获得者袁隆平于2021年5月22日因病去世，享年91岁，袁隆平的去世是中国乃至全世界的重大损失．袁隆平一生致力于水稻杂交技术研究，为提高我国水稻亩产量做出了巨大贡献．截至2021年，“种三产四”丰产工程项目累计示范推广面积达2000多万亩，增产20多亿公斤．将20亿这个数据用科学记数法表示为 　2×109　．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：20亿＝2000000000＝2×109．

故答案为：2×109．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

13．（4分）（2021•广元）如图，实数，，m在数轴上所对应的点分别为A，B，C，点B关于原点O的对称点为D．若m为整数，则m的值为 　﹣3　．

【分析】先求出点D表示的数，然后确定点C的取值范围，根据m为整数，即可得到m的值．

【解答】解：∵点B表示的数是，点B关于原点O的对称点是点D，

∴点D表示的数是，

∵点C在点A、D之间，

∴m，

∵﹣43，﹣32，

∴3，

∵m为整数，

∴m的值为﹣3．

答案为：﹣3．

【点评】本题主要考查了对称的性质和估算无理数的大小，解答本题的关键是确定无理数的整数部分．

14．（4分）（2021•广元）如图，在4×4的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，其中A、B、D又在⊙O上，点E是线段CD与⊙O的交点．则∠BAE的正切值为 　　．

【分析】根据“同弧所对的圆周角相等”可得∠BDE＝∠BAE，在Rt△BDC中，tan∠BDC，则tan∠BAE．

【解答】解：由题意可得，∠BDE＝∠BAE，

在Rt△BDC中，∠DBC＝90°，

∴tan∠BDC，

∴tan∠BAE．

故答案为：．

【点评】本题主要考查圆周角定理，锐角三角形函数的定义，利用圆周角定理把所求角经过等量转换放在直角三角形中是解题关键．

15．（4分）（2021•广元）如图，点A（﹣2，2）在反比例函数y的图象上，点M在x轴的正半轴上，点N在y轴的负半轴上，且OM＝ON＝5．点P（x，y）是线段MN上一动点，过点A和P分别作x轴的垂线，垂足为点D和E，连接OA、OP．当S△OAD＜S△OPE时，x的取值范围是 　1＜x＜4　．

【分析】利用点A（﹣2，2）在反比例函数y的图象上，可得反比例函数的解析式为y；过点B作BF⊥ON于F，连接OB，过点C作CG⊥OM于点G，连接OC，易知S△OAD＝S△OBF＝S△OCG＝2，因此从图中可以看出当点P在线段BC上时，满足S△OAD＜S△OPE；用待定系数法求得直线MN的解析式，再与反比例函数解析式联立，求出B，C的坐标，x的取值范围可得．

【解答】解：过点B作BF⊥ON于F，连接OB，过点C作CG⊥OM于点G，连接OC，如图，

∵点A（﹣2，2）在反比例函数y的图象上，

∴k＝﹣4．

∴y．

∵点A（﹣2，2），

∴AD＝OD＝2．

∴．

设B（a，b），则ab＝﹣4，OF＝﹣b，BF＝a．

∴2．

同理：S△OCG＝2．

从图中可以看出当点P在线段BC上时，S△OPE＞S△OBF，

即当点P在线段BC上时，满足满足S△OAD＜S△OPE．

∵OM＝ON＝5，

∴N（0，﹣5），M（5，0）．

设直线MN的解析式为y＝mx+n，则：

，

解得：．

∴直线MN的解析式为y＝x﹣5．

∴，

解得：，．

∴B（1，﹣4），C（4，﹣1）．

∴x的取值范围为1＜x＜4．

【点评】本题主要考查了反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质，待定系数法，反比例函数图象上点的坐标的特点．利用 点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键，利用数形结合的方法可使问题简单明了．

16．（4分）（2021•广元）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD上，连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF、EF，AF交BD于G，现有以下结论：①AP＝PF；②DE+BF＝EF；③PB﹣PDBF；④S△AEF为定值；⑤S四边形PEFG＝S△APG．以上结论正确的有 　①②③⑤　（填入正确的序号即可）．

【分析】①正确．证明A，B，F，P四点共圆，推出∠PAG＝∠PBF＝45°，可得结论．

②正确．将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，利用全等三角形的性质证明即可．

③正确．连接PC，过点P作PG⊥CF于G，过点P作PW⊥CD于W，则四边形PGCW是矩形，证明FG＝GC，由PBBG，PDPWCGFG，推出PB﹣PD（BG﹣FG）BF．

④错误．由△AEF≌△AMF，推出S△AEF＝S△AMFFM•AB，因为FM的长度是变化的，所以△AEF的面积不是定值．

⑤正确．利用相似三角形的性质证明即可．

【解答】解：取AF的中点T，连接PT，BT．

∵AP⊥PF，四边形ABCD是正方形，

∴∠ABF＝∠APF＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，

∵AT＝TF，

∴BT＝AT＝TF＝PT，

∴A，B，F，P四点共圆，

∴∠PAF＝∠PBF＝45°，

∴∠PAF＝∠PFA＝45°，

∴PA＝PF，故①正确，

将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，

∵∠ADE＝∠ABM＝90°，∠ABC＝90°，

∴∠ABC+∠ABM＝180°，

∴C，B，M共线，

∵∠EAF＝45°，

∴∠MAF＝∠FAB+∠BAM＝∠FAB+∠DAE＝45°，

∴∠FAE＝∠FAM，

在△FAM和△FAE中，

，

∴△FAM≌△FAE（SAS），

∴FM＝EF，

∵FM＝BF+BM＝BF+DE，

∴EF＝DE+BF，故②正确，

连接PC，过点P作PG⊥CF于G，过点P作PW⊥CD于W，则四边形PGCW是矩形，

在△PBA和PCB中，

，

∴△PBA≌△PBC（SAS），

∴PA＝PC，

∵PF＝PA，

∴PF＝PC，

∵PG⊥CF，

∴FG＝GC，

∵PBBG，PDPWCGFG，

∴PB﹣PD（BG﹣FG）BF，故③正确，

∵△AEF≌△AMF，

∴S△AEF＝S△AMFFM•AB，

∵FM的长度是变化的，

∴△AEF的面积不是定值，故④错误，

∵A，B，F，P四点共圆，

∴∠APG＝∠AFB，

∵△AFE≌△AFM，

∴∠AFE＝∠AFB，

∴∠APG＝∠AFE，

∵∠PAG＝∠EAF，

∴△PAG∽△FAE，

∴（）2＝（）2，

∴S四边形PEFG＝S△APG，故⑤正确，

故答案为：①②③⑤．

【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

三、解答题（96分）要求写出必要的解答步骤或证明过程

17．（6分）（2021•广元）解方程：4．

【分析】解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此解答即可．

【解答】解：4，

3（x﹣3）+2（x﹣1）＝24，

3x﹣9+2x﹣2＝24，

3x+2x＝24+9+2，

5x＝35，

x＝7．

【点评】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．

18．（8分）（2021•广元）先化简，再求值：（）．其中x，y＝1．

【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．

【解答】解：（）

•x（x+y）

•x

，

当x，y＝1时，原式44．

【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．

19．（8分）（2021•广元）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，连接AE，若AE的延长线和BC的延长线相交于点F．

（1）求证：BC＝CF；

（2）连接AC和BE相交于点为G，若△GEC的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．

【分析】（1）由平行线的性质得出AD∥CB，AD＝BC，证明△ADE≌△FCE（ASA），由全等三角形的性质得出AD＝CF，则可得出结论；

（2）由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB＝DC，证明△ABG∽△CEG，由相似三角形的性质得出，，求出S△ABC＝12，则可得出答案．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥CB，AD＝BC，

∴∠D＝∠FCE；

∵E为DC中点，

∴ED＝EC，

在△ADE与△FCE中，

，

∴△ADE≌△FCE（ASA），

∴AD＝CF，

∴BC＝CF．

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝DC，

∴△ABG∽△CEG，

∴，，

∵DE＝CE，

∴AB＝2CE，

∴2，4，

∵△GEC的面积为2，

∴S△BGC＝2S△CEG＝4，S△ABG＝4S△CEG＝8，

∴S△ABC＝S△BGC+S△ABG＝4+8＝12，

∴平行四边形ABCD的面积＝2S△ABC＝24．

【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．

20．（9分）（2021•广元）为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．甲、乙两家商场以相同的价格出售同种品牌的篮球和足球，已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个．

（1）若学校计划用不超过3550元的总费用购买这款篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球数量的．学校有哪几种购买方案？

（2）若甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过500元后，超出500元的部分按90%收费；乙商场累计购物超过2000元后，超出2000元的部分按80%收费．若学校按（1）中的方案购买，学校到哪家商场购买花费少？

【分析】（1）设购买篮球x个，购买足球（20﹣x）个，根据用不超过3550元的总费用购买这款篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球数量的，列出不等式组求解即可；

（2）分别求出三种方案到甲乙两商场的费用比较即可得到．

【解答】解：（1）设购买篮球x个，购买足球（20﹣x）个，由题意得，

，

解得8＜x≤11，

∵x取正整数，

∴x＝9，10，11，

∴20﹣x＝11，10，9，

答：一共有3种方案：

方案一：购买篮球9个，购买足球11个；

方案二：购买篮球10个，购买足球10个；

方案三：购买篮球11个，购买足球9个．

（2）1°当购买篮球9个，购买足球11个时，

甲商场的费用：500+0.9×（200×9+150×11﹣500）＝3155元，

乙商场的费用：2000+0.8×（200×9+150×11﹣2000）＝3160元，

∵3155＜3160，

∴学校到甲商场购买花费少；

2°当购买篮球10个，购买足球10个时，

甲商场的费用：500+0.9×（200×10+150×10﹣500）＝3200元，

乙商场的费用：2000+0.8×（200×10+150×10﹣2000）＝3200元，

∵3200＝3200，

∴学校到甲商场和乙商场购买花费一样；

3°当购买篮球11个，购买足球9个时，

甲商场的费用：500+0.9×（200×11+150×9﹣500）＝3245元，

乙商场的费用：2000+0.8×（200×11+150×9﹣2000）＝3240元，

∵3245＞3240，

∴学校到乙商场购买花费少．

【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，找到关键描述语，进而找到所求的量的数量关系，列出不等式组求解．

21．（9分）（2021•广元）“此生无悔入华夏，来世再做中国人！”自疫情暴发以来，我国科研团队经过不懈努力，成功地研发出了多种“新冠”疫苗，并在全国范围内免费接种．截止2021年5月18日16：20，全球接种“新冠”疫苗的比例为18.29%；中国累计接种4.2亿剂，占全国人口的29.32%．以下是某地甲、乙两家医院5月份某天各年龄段接种疫苗人数的频数分布表和接种总人数的扇形统计图：

①填空：a＝　1500　，b＝　0.35　，c＝　900　；

②在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40﹣49周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为 　108°　；

（2）若A、B、C三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗，求这三人在同一家医院接种的概率．

【分析】（1）分别求出在甲医院和乙医院的接种人数，即可解决问题；

（2）求出在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40﹣49周岁年龄段人数，再由360°乘以所占比例即可；

（3）画树状图，共有8种等可能的结果，A、B、C三人在同一家医院接种的结果有2种，再由概率公式求解即可．

【解答】解：（1）在甲医院接种人数为：900÷0.15＝6000（人），

∴a＝6000×0.25＝1500，b＝2100÷6000＝0.35，

在乙医院的接种人数为：400÷0.1＝4000（人），

∴c＝4000×0.225＝900，

故答案为：1500，0.35，900；

（2）在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40﹣49周岁年龄段人数为：2100+900＝3000（人），

∴40﹣49周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为：360°108°，

故答案为：108°；

（3）画树状图如图：

共有8种等可能的结果，A、B、C三人在同一家医院接种的结果有2种，

∴三人在同一家医院接种的概率为．

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率的知识以及频数分布表和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．

22．（10分）（2021•广元）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米，小区楼房BC的高度为15米．

（1）求此时无人机的高度；

（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：tan75°＝2，tan15°＝2．计算结果保留根号）

【分析】（1）过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，由题意得AB＝45米，∠DAE＝75°，∠DCF＝45°，再由锐角三角函数定义表示出AE的长，然后表示求出CF＝BE的长，进而得到AE+BEDE﹣1545，即可求得DE．

（2）求得AH，即可求得DG＝EH，进而即可求得无人机刚好离开操控者的视线所用的时间．

【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，如图所示：

则四边形BCFE是矩形，

由题意得：AB＝45米，∠DAE＝75°，∠DCF＝45°，

在Rt△ADE中，∠AED＝90°，

∴tan∠DAE，

∴AE，

∵四边形BCFE是矩形，

∴EF＝BC＝15米，FC＝BE，

在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，

∴∠CDF＝∠DCF＝45°，

∴CF＝DF＝DE﹣15，

∴AB＝AE+BEDE﹣1545，

∴DE＝15（2）（米），

答：此时无人机的高度为15（2）米．

（2）∵DE＝15（2）米，

∴AE15（米），

过D点作DG∥AB，交AC的延长线于G，作GH⊥AB于H，

在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝45米，BC＝15米，

∴tan∠BAC，

在Rt△AGH中，GH＝DE＝15（2）米，

AH（3045）米，

∴DG＝EH＝AH﹣AE＝（3045）﹣15＝（3030）米，

（3030）÷5＝（66）（秒），

答：经过（66）秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题、矩形的判定与性质等知识；掌握仰角俯角定义是解题的关键．

23．（10分）（2021•广元）如图，直线y＝kx+2与双曲线y相交于点A、B，已知点A的横坐标为1．

（1）求直线y＝kx+2的解析式及点B的坐标；

（2）以线段AB为斜边在直线AB的上方作等腰直角三角形ABC．求经过点C的双曲线的解析式．

【分析】（1）将点A的横坐标代入双曲线的解析式中，求出点A的纵坐标，在将点A的坐标代入直线AB的解析式中，求出k，最后联立直线AB的解析式和双曲线的解析式，得出方程组求解，即可得出点B的坐标；

（2）过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两线相交于点F，过点C作CD⊥AF，交AF于D，过点C作CE⊥BF于E，得出∠DCE＝90°，进而判断出∠ACD＝∠BCE，即可利用AAS判断出△ACD≌△BCE，得出AD＝BE，CD＝CE，设点C（m，n），求出AD＝n，CD＝m﹣1，BE＝3﹣m，CE＝n，进而建立方程组求解得出点C的坐标，即可得出结论．

【解答】解：（1）∵点A在双曲线y上，且点A的横坐标为1，

∴点A的纵坐标为，

∴点A（1，），

∵点A（1，）在直线y＝kx+2上，

∴k+2，

∴，

∴直线AB的解析式为yx+2，

联立直线AB和双曲线的解析式得，，

解得，（点A的纵横坐标）或，

∴B（3，）；

（2）如图，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两线相交于点F，过点C作CD⊥AF，交AF于D，过点C作CE⊥BF于E，

∴∠D＝∠F＝∠CEF＝∠CEB＝90°，

∴四边形CDFE是矩形，

∴∠DCE＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD＝∠BCE，

∵以线段AB为斜边在直线AB的上方作等腰直角三角形ABC，

∴AC＝BC，

∴△ACD≌△BCE（AAS），

∴AD＝BE，CD＝CE，

设点C（m，n），

∵A（1，），B（3，），

∴AD＝n，CD＝m﹣1，BE＝3﹣m，CE＝n，

∴，

∴，

∴C（，2），

设过点C的双曲线的解析式为y，

∴k'＝25，

∴过点C的双曲线的解析式为y．

【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形求出点C的坐标是解本题的关键．

24．（10分）（2021•广元）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD是∠BAC的平分线，以AD为直径的⊙O交AB边于点E，连接CE，过点D作DF∥CE，交AB于点F．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）若BD＝5，sin∠B，求线段DF的长．

【分析】（1）利用垂径定理得出OD⊥EC，因为DF∥CE，可得OD⊥FD，结论得证；

（2）连接DE，由（1）知，DE＝CD，利用BD＝5，sin∠B，在直角三角形BDE中求得DE，BE；通过说明△BED∽△BCA求出线段AB，AE．利用△DEF∽△AED，求得线段EF，利用勾股定理在直角三角形EFD中，FD可求．

【解答】解：（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAD＝∠CAD．

∴．

∴OD⊥EC．

∵DF∥CE，

∴OD⊥DF．

∴DF是⊙O的切线．

（2）连接DE，如图，

∵，

∴ED＝DC．

∵AD是⊙O的直径，

∴DE⊥AE．

∴∠BED＝90°．

∵sin∠B，sin∠B，BD＝5，

∴DE＝3．

∴BE，DC＝DE＝3．

∴BC＝BD+CD＝5+3＝8．

∵∠B＝∠B，∠BED＝∠BCA＝90°，

∴△BED∽△BCA．

∴．

∴BA＝2BD＝10，AC＝2DE＝6．

∴AE＝AB﹣BE＝10﹣4＝6．

∵∠ADF＝90°，DE⊥AF，

∴△DEF∽△AED．

∴．

∴EF．

∴FD．

【点评】本题主要考查了切线的判定与性质，角平分线的性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，三角形的相似的判定与性质．连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．

25．（12分）（2021•广元）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB边上一点（含端点A、B），过点B作BE垂直于射线CD，垂足为E，点F在射线CD上，且EF＝BE，连接AF、BF．

（1）求证：△ABF∽△CBE；

（2）如图2，连接AE，点P、M、N分别为线段AC、AE、EF的中点，连接PM、MN、PN．求∠PMN的度数及的值；

（3）在（2）的条件下，若BC，直接写出△PMN面积的最大值．

【分析】（1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．

（2）如图2中，延长PM交AF于T．证明四边形MNFT是平行四边形，推出∠TMN＝∠AFC＝45°，推出∠PMN＝135°，再证明AFEC，利用三角形的中位线定理可得结论．

（3）因为MNPM，∠PMN＝135°，PMEC，所以当EC的值最大时，PM的值最大，此时△PMN的面积最大，

【解答】（1）证明：如图1中，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，EF＝EB，∠BEF＝90°，

∴∠CBA＝∠EBF＝45°，ABBC，BFBE，

∴∠CBE＝∠ABF，，

∴△ABF∽△CBE．

（2）解：如图2中，延长PM交AF于T．

∵BE⊥CF，

∴∠CEB＝90°，

∵△ABF∽△CBE，

∴∠CEB＝∠AFB＝90°，，

∴AFEC，

∵∠EFB＝45°，

∴∠AFC＝45°，

∵AP＝PC，AM＝ME，

∴PT∥CF，PMEC，

∵AM＝ME，EN＝NF，

∴MN∥AF，MNAF，

∴四边形MNFT是平行四边形，MNPM，

∴∠TMN＝∠AFC＝45°，

∴∠PMN＝135°，

∴．

（3）解：∵MNPM，∠PMN＝135°，PMEC，

∴当EC的值最大时，PM的值最大，此时△PMN的面积最大，

∵当点E与B重合时，EC的值最大，EC的最大值为，

此时PM，MNPM＝1，

∴△PMN的面积的最大值为1．

【点评】本题属于相似形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．

26．（14分）（2021•广元）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：

（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；

（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

【分析】（1）运用待定系数法即可求出抛物线解析式，再运用配方法求出顶点坐标；

（2）如图1，将点沿y轴向下平移1个单位得C′（0，2），连接BC′交抛物线对称轴x＝1于点Q′，过点C作CP′∥BC′，交对称轴于点P′，连接AQ′，此时，C′、Q′、B三点共线，BQ′+C′Q′的值最小，运用勾股定理即可求出答案；

（3）如图2，连接BE，设D（t，﹣t2+2t+3），且t＞3，可得DF＝t2﹣2t﹣3，BF＝t﹣3，AF＝t+1，运用圆内接四边形的性质可得∠DAF＝∠BEF，进而证明△AFD∽△EFB，利用，即可求得答案．

【解答】解：（1）根据表格可得出A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），

设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），

将C（0，3）代入，得：3＝a（0+1）（0﹣3），

解得：a＝﹣1，

∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴该抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为M（1，4）；

（2）如图1，将点沿y轴向下平移1个单位得C′（0，2），连接BC′交抛物线对称轴x＝1于点Q′，

过点C作CP′∥BC′，交对称轴于点P′，连接AQ′，

∵A、B关于直线x＝1对称，

∴AQ′＝BQ′，

∵CP′∥BC′，P′Q′∥CC′，

∴四边形CC′Q′P′是平行四边形，

∴CP′＝C′Q′，Q′P′＝CC′＝1，

在Rt△BOC′中，BC′，

∴AQ′+Q′P′+P′C＝BQ′+C′Q′+Q′P′＝BC′+Q′P′1，

此时，C′、Q′、B三点共线，BQ′+C′Q′的值最小，

∴AQ+QP+PC的最小值为1；

（3）线段EF的长为定值1.

如图2，连接BE，

设D（t，﹣t2+2t+3），且t＞3，

∵EF⊥x轴，

∴DF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，

∵F（t，0），

∴BF＝OF﹣OB＝t﹣3，AF＝t﹣（﹣1）＝t+1，

∵四边形ABED是圆内接四边形，

∴∠DAF+∠BED＝180°，

∵∠BEF+∠BED＝180°，

∴∠DAF＝∠BEF，

∵∠AFD＝∠EFB＝90°，

∴△AFD∽△EFB，

∴，

∴，

∴EF1，

∴线段EF的长为定值1．

【点评】本题是二次函数与圆的综合题，主要考查了待定系数法求抛物线解析式，配方法，轴对称的应用，平行四边形的判定与性质，勾股定理，圆内接四边形性质，相似三角形的判定和性质等，属于中考数学压轴题，综合性强，难度大；第（2）小题难度不小，解决该问时，利用轴对称加平移找出AQ+QP+PC最小时点P、Q的位置是解题关键．第（3）小题运用圆内接四边形性质得出△AFD∽△EFB是解题关键．