浙江省温州市2020-2021学年高一上学期期末数学试题(A卷)

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知全集，集合，，则（    ）

A． ． ． ．

2．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是（    ）

A． ． ． ．

3．在平面直角坐标系中，角a的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则=（    ）

A． ． ． ．

4．已知函数，则的定义域为（    ）

A． ．

C． ．

5．已知a，b，c是实数，且a≠0，则“<0”是“<0”的是（    ）

A．充分不必要条件 ．必要不充分条件

C．充分必要条件 ．既不充分也不必要条件

6．已知a>0，b>0，a+b=1，则下列等式可能成立的是（    ）

A． ．

C． ．

7．某工厂有如图1所示的三种钢板，其中长方形钢板共有100张，正方形钢板共有60张，正三角形钢板共有80张.用这些钢板制作如图2所示的甲､乙两种模型的产品，要求正方形钢板全部用完，则制成的甲模型的个数最少有（    ）

A．10个 ．15个 ．20个 ．25个

8．已知函数，则存在非零实数，使得（    ）

A． ．

C． ．

9．已知实数a，b满足0<2aA． ．

C． ．

二、多选题

10．已知函数的值域是，则其定义域可能是（    ）

A． ． ． ．

11．已知，且，则下列正确的有（    ）

A． ．

C． ．

12．在同一直角坐标系中，函数，的图象可能是（    ）

A． ．

C． ．

三、填空题

13．已知，则___________.

14．当=___________时，函数在区间上单调(写出一个值即可).

15．某单位要租地建仓库，已知每月土地费用与仓库到码头的距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到码头的距离成正比.经测算，若在距离码头10处建仓库，则每月的土地费用和运输费用分别为2万元和8万元.那么两项费用之和的最小值是___________万元.

16．已知函数若方程有两个不同的实根，且满足，则实数a的取值范围为___________.

四、解答题

17．已知，集合，.

（1）若a=1，求，；

（2）若，求实数a的取值范围.

18．已知函数.

（1）求的最小正周期及对称轴的方程；

（2）若，且，求的值.

19．已知函数是奇函数.

（1）求m的值；

（2）求不等式的解集.

20．用打点滴的方式治疗“新冠”病患时，血药浓度(血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度)随时间变化的函数符合，其函数图像如图所示，其中V为中心室体积(一般成年人的中心室体积近似为600)，为药物进入人体时的速率，k是药物的分解或排泄速率与当前浓度的比值.此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合，其中c为停药时的人体血药浓度.

（1）求出函数的解析式；

（2）一病患开始注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？(保留小数点后一位，参考数据lg2≈0.3，lg3≈0.48)

21．已知函数

（1）用定义证明在(0，1)内单调递减；

（2）证明存在两个不同的零点，，且.

22．已知定义域为的两个函数，，a，b为两个不同的常数.

（1）求的最小值；

（2），使得对于，，恒成立，求所有可能的值.

参

1．B

【分析】

先求，再与A求交集即可

【详解】

∵全集，

∴

又

∴.

故选：B

【点睛】

集合的交、并、补运算：

(1)离散型的数集用韦恩图；

(2)连续型的数集用数轴．

2．D

【分析】

由函数解析式直接判断即可.

【详解】

因为，是奇函数，是偶函数，

故排除ABC，

的定义域为，故既不是奇函数也不是偶函数，

故选：D

3．B

【分析】

由任意角的三角函数的定义求出，再由诱导公式求出．

【详解】

∵角a终边过点，

∴

∴，

故．

故选：B．

【点睛】

(1) 三角函数值的大小与点P（x,y）在终边上的位置无关，严格代入定义式子就可以求出对应三角函数值；

(2) 当角的终边在直线上时，或终边上的点带参数必要时，要对参数进行讨论．

4．A

【分析】

根据对数的定义，结合复合函数的定义域性质进行求解即可.

【详解】

由可知：或，

因此有：或，显然不成立，故，解得或.

故选：A

5．A

【分析】

根据充分必要条件的定义以及结合一元二次不等式恒成立和判别式的关系判断选项.

【详解】

，若“<0”，则，则“<0”能推出“<0”

若，只能说明与轴没有交点，若，则恒成立，若，则恒成立，则不能推出“<0”.

所以当时，“<0”是“<0”的充分不必要条件.

故选：A

6．D

【分析】

根据已知条件由可求出，又由完全平方公式可得，即可判断A、B；由已知条件可知，则，因此，可判断C；由平方差公式可得，与联立可求出满足条件的a、b，故D可能成立.

【详解】

，

当且仅当时等号成立，

又，，

，则不可能成立；

，当且仅当时等号成立，故不可能成立；

，，，

（由A可知），则不可能成立；

，联立，解得，满足条件，D成立.

故选：D

7．C

【分析】

依题意要使甲模型尽可能少，则正方形钢板先用来制作乙模型，剩下的正方形钢板来制作甲模型，再计算可得；

【详解】

解：由题可知，制作一个乙模型需要正方形钢板一个，正三角形钢板4个，则最多制作（个）乙模型，需要个正方形钢板，还剩（个）正方形钢板用来制作甲模型，则可以制作甲模型（个），需要长方形钢板（个），，符号题意，故甲模型最少有20个；

故选：C

8．D

【分析】

判断函数的奇偶性并求出其值域，根据值域可判断A错误；由函数的奇偶性可推出，此式不成立，故B错误；由所给等式可知，此时不成立，故C错误；由三角函数诱导公式可知，代入等式可得成立，故D正确.

【详解】

，

，

，是定义在R上的奇函数，

令，，

当时，单调递增，，

又函数为奇函数，，

函数的值域为，

，不存在使得成立，A错误；

，若成立，则，

又函数的值域为，

所以不成立，B错误；

若成立，则，不成立，C错误；

，

则成立，故D正确.

故选：D

9．D

【分析】

对各个选项一一验证：

对于A.由0<2a对于B.由0<2a对于C.由0<2a对于D.先用诱导公式转化为同名三角函数，借助于余弦函数的单调性判断；

【详解】

因为0<2a对于A. 有0<，

若，有；若有，故A错；

对于B.有 ，若，有，故B错；

对于C. ，若，有，故C错；

对于D. 

又因为b<3-<3，所以

∵∴

∴，故D对.

故选：D.

【点睛】

利用函数单调性比较大小，需要在同一个单调区间内．

10．BC

【分析】

根据值域及，可求得定义域的最大范围，结合题意，分析即可得答案.

【详解】

令，可得或，

解得或，

所以要满足的值域为，定义域为的子集，且必须包含x=1以及至少一个边界点，

A选项中，故错误；D选项中不包含边界点及，故错误.

BC满足题意.

故选：BC

11．AD

【分析】

根据同角三角函数的关系、诱导公式及两角和与差的正切公式逐项判断.

【详解】

，又，

，

，，A正确；

，B错误；

，C错误；

，D正确.

故选：AD

12．AC

【分析】

根据指数函数、对数函数的单调性判断的取值范围，对比两函数图像得出的的取值范围即可判断.

【详解】

A：根据的图像知对数函数在定义域上单调递增，所以，图像过点，所以；根据的图像为的一条直线可判断，且无论a为何值图像均为，此类情况符合题意，A正确；

B：由的图像可知，若，对数函数的图像应向右平移，选项中的图像向左平移，故B错误；

C：由对数函数的图像知且，函数的图像与直线交点的横坐标小于1且函数单调递减，所以且，C正确；

D：由的图像知函数单调递减则，但未向右平移，错误.

故选：AC

【点睛】

本题考查函数图像问题，熟练掌握指数函数、对数函数的图像与性质是解题的关键.

13．1

【分析】

先把a、b用对数表示出来，再借助于换底公式计算ab，然后计算即可．

【详解】

∵，∴，同理．

∴，

∴．

故答案为：1．

【点睛】

对数运算技巧：

(1)应用常用对数值；

(2)灵活应用对数的运算性质；

(3)逆用法则、公式；

(4)应用换底公式，化为同底结构．

14． （集合或中的任何一个值都行 ）

【分析】

由函数的周期，和区间长度可以确定和是单调区间的端点值，由此列式，求值.

【详解】

的周期是，而区间的长度是个单位长度，则一个周期内完整的一个单调增区间或减区间，

当时，，

所以 ，解得：，

或，解得：，，

所以其中一个，

故答案为： （集合或中的任何一个值都行 ）

【点睛】

关键点点睛：本题考查三角函数的性质，求参数的取值范围，本题的关键是确定和是单调区间的端点值，列式后就比较容易求解.

15．8

【分析】

由题意求出土地费用与运输费用，作和求出总费用与距离的函数解析式，利用基本不等式可求得两项费用之和的最小值.

【详解】

设仓库与车站距离为x，土地费用为，运输费用为，于是

，解得，

设总费用为，则，当且仅当即时取等号，

两项费用之和的最小值是8万元.

故答案为：8

16．

【分析】

首先画出函数图象，结合函数图象可得，对和分类讨论，当时，分别与、有交点，设，则由消去得，再根据，即可求出的取值范围，从而求出的取值范围，即可求出参数的取值范围；

【详解】

解：因为，函数图象如下所示：

当时，，由图可知当即时，函数取得最小值，又，

当时，方程才有两个不同的实根，当时，方程有两个不同的实根，即有两个解，即有两个根，此时，不符题意，

当时，分别与、有交点，设，则由消去得，所以，因为，所以，解得，或，又因为，所以，由函数图象可知在上单调递减，又

所以，故

故答案为：

【点睛】

函数零点的求解与判断方法：

(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

17．（1），；（2）．

【分析】

（1）当，先求出集合，再利用集合的交集和补集计算即可；

（2）先利用已知条件得到，由一元二次方程的根的分布建立不等式组，即可得出结果.

【详解】

（1）由题意知：，当a=1时，，

所以，；

（2），

因为恒成立，所以，

所以要使，则需，解得，

所以实数的取值范围为：.

18．（1）最小正周期为，对称轴方程为；（2）

【分析】

（1）利用三角恒等变换将函数化简，再根据正弦函数的性质求出最小正周期即对称轴方程；

（2）由，可得，利用同角三角函数的基本关系求出，再利用诱导公式计算可得；

【详解】

解：（1）因为，

所以

即，所以函数的最小正周期

令，解得，故对称轴方程为

（2）因为，即，

因为，所以，

因为时，所以，

因此

所以

【点睛】

本题考查三角函数及三角恒等变换的应用，解得的关键是将函数化简为的形式，再根据正弦函数的性质计算可得；

19．（1）；（2）

【分析】

（1）利用奇函数的性质可得，求得的值，并验证；（2）不等式等价于，再换元，化简，求不等式的解集.

【详解】

（1）是奇函数，，得，

当时，，函数的定义域是 ，，

，满足函数是奇函数，

所以；

（2） 

，

，

设， 

得，

整理为 ，

得 ，即，

所以 ，

所以不等式的解集是.

【点睛】

易错点睛：本题考查指数型函数的性质，解不等式，第一问根据求后，需验证条件，第二问的关键是不等式的变形，整理.

20．（1）；（2）所以从开始注射后，最迟隔16小时停止注射；所以为保证治疗效果，最多再隔多7.7小时后开始进行第二次注射.

【分析】

（1）根据图象可知，两个点，在函数图象上，代入后求解参数，求；（2）由（1）求中的范围；求得后，再求中的范围.

【详解】

（1）由条件可知，，由图象可知点，在函数图象上，

则 ，两式相除得，

解得：，，

所以函数 ；

（2），得，

解得：，

所以从开始注射后，最迟隔16小时停止注射；

 ，由题意可知 ，

，当，得，

即 

得，

解得：，

所以为保证治疗效果，最多再隔多7.7小时后开始进行第二次注射.

【点睛】

关键点点睛：本题的关键是能够读懂题意，并根据题意，通过代点的方法求两个函数的解析式，第二个关键就是计算，本题的计算要求比较高，注意指对运算技巧.

21．（1）证明见解析；（2）证明见解析；

【分析】

（1）利用作差法证明函数的单调性；

（2）由（1）可得在内单调递减，同理可得在内单调递增，利用零点存在性定理说明函数存在两个零点，即可得证；

【详解】

解：（1）设，且，

则

因为，且，所以，，，所以，所以，所以在内单调递减；

（2）由（1）可知在内单调递减，当时，，，，可得，所以

所以在内单调递增，

又，，，，根据零点存在性定理可得函数在及上各存在一个零点，即存在两个不同的零点，，令， 则，，所以，

【点睛】

本题考查函数的单调性的证明，一般利用作差法证明，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成；

22．（1）；（2）1

【分析】

（1）根据解析式，当时，根据的单调性，即可求得最小值，当时，分别讨论、两种情况，分别求得最小值，综合即可得答案.

（2）由题意可得即为的最小值，同理为的最小值，根据（1）可得的表达式，同理可得的表达式，相加即可求得答案.

【详解】

（1）因为，，

当时，，为开口向上，对称轴为的抛物线，

所以在上为增函数，所以；

当时，

若时， ，为开口向上，对称轴为的抛物线，

   当，即时，因为，

所以

当即时，因为，

所以

 若时，，为开口向上，对称轴为的抛物线，

所以在上为增函数，所以，

所以当时，，所以

所以，

当时，，

当时，

综上

（2）因为，所以即为的最小值，同理为的最小值，

由（1）可知，，同理，

因为与在同一点处取得最小值，且a，b为两个不同的常数.

所以a，b不可能在同一区间，

且当时，在处取得最小值1，

若，则在处有最小值，

所以，无解；

同理若，则在处有最小值，

所以，无解；

同理也无解，

由（1）可得当时，在处有最小值，

中，只能，则在处有最小值，

所以，解得，

所以，

同理若时，在处有最小值，中，只能，

此时在处有最小值，

所以，解得，

所以，

综上：

【点睛】

解题的关键是根据a的范围，结合二次函数的性质，分类讨论，分别求得最小值，解题技巧为，根据与形式一致，可得最小值和形式一致，分类讨论，进而求得答案，考查分析理解，分类讨论的能力，属难题.