课标全国卷数学高考模拟试题精编(七)

【说明】　本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．复数在复平面内对应的点与原点的距离为(　　)

A．1  B. 

C.  D．2

2．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，若a∥b，则|2a＋3b|＝(　　)

A.  B．4

C．3  D．2

3．已知α，β表示两个相交的平面，直线l在平面α内且不是平面α，β的交线，则“l⊥β”是“α⊥β”的(　　)

A．充分条件  B．必要条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

4.

如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥平面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，该三棱柱的侧视图的面积为(　　)

A．4  B．2

C．2  D. 

5．已知一个数列{an}的各项是1或2，首项为1，且在第k个1和第(k＋1)个1之间有(2k－1)个2，即1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1，…，则前2 012项中1的个数为(　　)

A．44  B．45

C．46  D．47

6．(理)若函数f(x)＝，则f(2 012)＝(　　)

A.  B．－

C.  D. 

(文)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是(　　)

A.  B. 

C.  D. 

7．点P在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，∠F1PF2＝90°，且△F1PF2的三条边长之比为3∶4∶5.则双曲线的渐近线方程是(　　)

A．y＝±2x  B．y＝±4x

C．y＝±2x  D．y＝±2x

8．(理)从1到10这十个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另两个数之和的概率是(　　)

A.  B. 

C.  D. 

(文)在三棱锥S－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝，SA＝SC＝2，AC的中点为M，∠SMB的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是(　　)

A.  B．2π

C．6π  D.π

9．已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3，a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为(　　)

A．－110  B．－90

C．90  D．110

10．若程序框图如图所示，视x为自变量，y为函数值，可得函数y＝f(x)的解析式，则f(x)＞f(2)的解集为(　　)

A．(2，＋∞)  B．(4,5]

C．(－∞，－2]  D．(－∞，－2)∪(3.5,5]

11．已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)＜，则不等式f(x2)＜＋的解集为(　　)

A．(1，＋∞)  B．(－∞，－1)

C．(－1,1)  D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

12．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋π)＝－f(x)，且当x∈[0，π]时，0＜f(x)＜1；当x∈(0，π)且x≠时，有f′(x)＞0，则函数y＝f(x)－sin x在x∈[－2π，2π]时的零点个数是(　　)

A．2  B．4

C．6  D．8

答题栏

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上)

13．下列命题正确的序号为________．

①函数y＝ln(3－x)的定义域为(－∞，3]；

②定义在[a，b]上的偶函数f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b的最小值为5；

③若命题p：对∀x∈R，都有x2－x＋2≥0，则命题綈p：∃x∈R，有x2－x＋2＜0；

④若a＞0，b＞0，a＋b＝4，则＋的最小值为1.

14．(理)10名运动员中有2名老队员和8名新队员，现从中选3人参加团体比赛，要求老队员至多1人入选且新队员甲不能入选的选法有________种．

(文)为了均衡教育资源，加大对偏远地区的教育投入，调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年教育支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年教育支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：＝0.15x＋0.2.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加________万元．

15．已知a、b都是正实数，函数y＝2aex＋b的图象过点(0,1)，则＋的最小值是________．

16．已知数列 {an}为等差数列，a3＝3，a1＋a2＋…＋a6＝21，数列{}的前n项和为Sn，若对一切n∈N*，恒有S2n－Sn＞成立，则m能取到的最大正整数是________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)

17．(本小题满分12分)已知向量a＝(sin x,1)，b＝(1，cos x)，且函数f(x)＝a·b，f′(x)是f(x)的导函数．

(1)求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)的最大值和最小正周期；

(2)将f(x)横坐标缩短为原来的一半，再向右平移个单位得到g(x) ，设方程g(x)－1＝0在(0，π)上的两个零点为x1，x2，求x1＋x2的值．

18．(理)(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD＝CD＝2AB，E、F分别为PC、CD的中点．

(Ⅰ)求证：CD⊥平面BEF；

(Ⅱ)设PA＝k·AB，且二面角E－BD－C大于30°，求k的取值范围．

(文)(本小题满分12分)已知在如图的多面体中，AE⊥底面BEFC，AD∥EF∥BC，BE＝AD＝EF＝BC，G是BC的中点．

(1)求证：AB∥平面DEG；

(2)求证：EG⊥平面BDF.

19.(理)(本小题满分12分)随着建设资源节约型、环境友好型社会的宣传与实践，低碳绿色的出行方式越来越受到追捧，全国各地兴起了建设公共自行车租赁系统的热潮．据不完全统计，已有北京、株洲、杭州、太原、苏州、深圳等城市建成公共自行车租赁系统．某市公共自行车实行60分钟内免费租用，60分钟至120分钟(含120分钟)收取1元租车服务费，120分钟至180分钟(含180分钟)收取2元租车服务费，180分钟以上的时间按每小时3元计费(不足1小时的按1小时计)，租车费用实行分段合计．现有甲、乙两人相互到租车点租车上班(各租一车一次)，设甲、乙不超过1小时还车的概率分别为，，1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为，，2小时以上且不超过3小时还车的概率分别为，，两人租车时间均不会超过4小时．

(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

(2)设甲一周内有四天(每天租车一次)均租车上班，X表示一周内租车费用不超过2元的次数，求X的分布列与数学期望．

(文)(本小题满分12分)某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36.

(1)求样本容量及样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数；

(2)已知这批产品中每个产品的利润y(单位：元)与产品净重x(单位：克)的关系式为y＝，求这批产品平均每个的利润．

20.(本小题满分12分)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l与椭圆交于A、B两点．

(Ⅰ)如果点A在圆x2＋y2＝c2(c为椭圆的半焦距)上，且|F1A|＝c，求椭圆的离心率；

(Ⅱ)若函数y＝＋logmx(m＞0且m≠1)的图象，无论m为何值时恒过定点(b，a)，求·的取值范围．

21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x－a2x2＋ax(a∈R)．

(1)当a＝1时，证明函数f(x)只有一个零点；

(2)若函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲

如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC＝CB.

(1)求证：直线AB是⊙O的切线；

(2)若AD＝2，且tan∠ACD＝，求⊙O的半径r的长．

23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程为(t为参数，0＜α＜π)，曲线C的极坐标方程为ρ＝.

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，当α变化时，求|AB|的最小值．

24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－4|－a.

(1)当a＝1时，求函数f(x)的最小值；

(2)若f(x)≥＋1对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．

课标全国卷高考模拟试题精编七

1．B　＝＝＝－i，所以复数在复平面内对应的点与原点的距离为＝.

2．B　依题意得，＝，故m＝－4,2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，故|2a＋3b|＝＝4，选B.

3．A　因为l⊂α，l⊥β，所以α⊥β；但若α⊥β， 则l⊥β不一定成立，所以“l⊥β”是“α⊥β”的充分条件．

4．B　依题意得，该几何体的侧视图是边长分别为2和的矩形，因此其侧视图的面积为2，选B.

5．B　依题意得，第k个1和它后面(2k－1)个2的个数之和为2k，按这个要求分组，每组数字的个数组成一个以2为首项、2为公差的等差数列，该数列的前n项和等于＝n(n＋1)．注意到2 012＝44×45＋32，因此在题中的数列中，前2 012项有45个1，选B.

6．(理)C　依题意得，当x≤0时，f(x)＝2x＋sin 3t|0＝2x＋，故f(2 012)＝f(4×503)＝f(0)＝20＋＝，选C.

(文)C　由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，故sin α＝.

7．D　设△F1PF2的三条边长为|PF1|＝3m，|PF2|＝4m，|F1F2|＝5m，则2a＝||PF1|－|PF2||＝m,2c＝|F1F2|＝5m，所以b＝m，所以＝＝2，所以双曲线的渐近线方程是y＝±2x.

8．(理)A　不妨设取出的三个数为x，y，z(x＜y＜z)，要满足x＋y＝z，共有20种结果，从十个数中取三个数共有C种结果，故所求概率为＝.

(文)C　设该三棱锥的外接球球心为O，半径为R.依题意得AC⊥SM，AC⊥MB，AC⊥平面SMB，故AC⊥SB.在△ABC中，AC＝＝2.在△SBM中，SM＝，MB＝AC＝1，SB＝＝，易知SB2＋BM2＝SM2，所以BM⊥SB，故SB⊥平面ABC.又OA＝OB＝OC，因此点O在平面ABC上的射影是点M.在直角梯形OSBM中，OB＝OS＝R，因此球心O在线段SB的垂直平分线ON(其中点N是线段SB的中点)上，由OM⊥BM，SB⊥BM，ON⊥SB得，四边形BMON是矩形，因此OB2＝BN2＋BM2＝2＋12＝，即R2＝，因此该三棱锥的外接球的表面积等于4πR2＝6π，选C.

9．D　因为a7是a3，a9的等比中项，所以a＝a3a9，又公差为－2，所以(a1－12)2＝(a1－4)·(a1－16)，解得a1＝20，所以通项公式an＝20＋(n－1)×(－2)＝22－2n，所以S10＝＝5×(20＋2)＝110，故选D.

10．D　由程序框图知：f(x)＝，所以f(2)＝4，所以由f(x)＞f(2)得：或或，解得：x＜－2或3.5＜x≤5，因此选D.

11．D　记g(x)＝f(x)－x－，则有g′(x)＝f′(x)－＜0，g(x)是R上的减函数，且g(1)＝f(1)－×1－＝0.不等式f(x2)＜＋，即f(x2)－－＜0，g(x2)＜0＝g(1)，由g(x)是R上的减函数得x2＞1，解得x＜－1或x＞1，即不等式f(x2)＜＋的解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞)，选D.

12．B　由当x∈(0，π)且x≠时， f′(x)＞0，知x∈时，f′(x)＜0，f(x)为减函数；x∈时，f′(x)＞0，f(x)为增函数

又x∈[0，π]时，0＜f(x)＜1，在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y＝sin x和y＝f(x)草图象如下，由图知y＝f(x)－sin x在[－2π，2π]上的零点个数为4个．

13．解析：命题①中，函数的定义域是(－∞，3)，故命题①不正确；命题②中，若已知函数是偶函数，则必有a＝－5，b＝5，即函数f(x)＝x2＋5，x∈[－5,5]，其最小值为5，命题②正确；全称命题的否定是特称命题，命题③正确；命题④中，＋＝(a＋b)＝≥＝1(当且仅当a＝b＝2时，等号成立)，命题④正确．

答案：②③④

14．(理)解析：若没有老运动员，其选法有：C＝35；若有1名老运动员，其选法有：CC＝42，所以老队员至多1人入选且新队员甲不能入选的选法有35＋42＝77.

答案：77

(文)解析：由题意知，0.15(x＋1)＋0.2－0.15x－0.2＝0.15.

答案：0.15

15．解析：依题意得2ae0＋b＝2a＋b＝1，＋＝(2a＋b)＝3＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即a＝1－，b＝－1时取等号，因此＋的最小值是3＋2.

答案：3＋2

16．解析：设数列{an}的首项为a1，公差为d，由a3＝3，a1＋a2＋…＋a6＝21可得，解得，

∴an＝n，＝.

∴Sn＝1＋＋…＋，∴令Tn＝S2n－Sn＝＋＋…＋，则Tn＋1＝＋＋…＋＋＋，

Tn＋1－Tn＝＋－＞＋－＝0，

∴Tn＋1＞Tn.∴Tn的最小值是n＝1处取得，又T1＝S2－S1＝，∴要使S2n－Sn＞恒成立，只需＜S2－S1＝即可，解得m＜8，故填7.

答案：7

17．解：(1)由题意知f(x)＝sin x＋cos x，∴f′(x)＝cos x－sin x，

∴F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sin xcos x＝1＋sin 2x＋cos 2x＝1＋sin，

∴当2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)时，F(x)max＝1＋，最小正周期为T＝＝π.

(2)由题设得f(x)＝sin，∴g(x)＝sin＝－cos.

∵g(x)－1＝0，∴ cos＝－1，

∴cos＝－，

由2x＋＝2kπ＋π或2x＋＝2kπ＋π，得x＝kπ＋或x＝kπ＋，k∈Z.

∵x∈(0，π)，∴x1＝，x2＝，∴x1＋x2＝π.

18．(理)解：以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，设AB＝1，则A(0,0,0)，P(0,0，k)，B(1,0,0)，D(0,2,0)，C(2,2,0)，E，F(1,2,0)，

(1)∵＝，＝(0,2,0)，＝(－2,0,0)，∴·＝0，·＝0，∴CD⊥BE，CD⊥BF，∴CD⊥面BEF

(2)设面BCD的法向量为n1，则n1＝(0,0,1)，设面BDE的法向量为n2＝(x，y，z)，

∵＝(－1,2,0)，＝，

∴，∴n2＝(2,1，－)，

∵二面角E－BD－C大于30°，∴cos〈n1，n2〉＝＜

∴2＜3，即15k2＞4，

∴k＞

(文)解：(1)∵AD∥BC，BC＝2AD，G是BC的中点，

∴AD綊BG，

∴四边形ADGB是平行四边形，

∴AB∥DG.

∵AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG，

∴AB∥平面DEG.

(2)连接GF，易知四边形ADFE是矩形，

∵DF∥AE，AE⊥底面BEFC，

∴DF⊥平面BCFE，又EG⊂平面BCFE，

∴DF⊥EG.

∵EF綊BG，EF＝BE，

∴四边形BGFE为菱形，∴BF⊥EG，

又BF∩DF＝F，BF⊂平面BDF，DF⊂平面BDF，

∴EG⊥平面BDF.

19．(理)解：(1)甲、乙两人租车费用相同包括0元，1元，3元，6元，

两人都付0元的概率为P1＝×＝，

两人都付1元的概率为P2＝×＝，

两人都付3元的概率为P3＝×＝，

两人都付6元的概率为P4＝×＝×＝，

则甲、乙两人所付租车费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＋P4＝.

(2)依题意，甲每天租车费用不超过2元的概率为P＝＋＝.则P(X＝0)＝C×0×4＝，P(X＝1)＝C×1×3＝，P(X＝2)＝C×2×2＝，P(X＝3)＝C×3×＝，P(X＝4)＝C×4×0＝，

∴X的分布列为

(文)解：(1)产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300.

设样本容量为n.∵样本中产品净重小于100克的个数是36，∴＝0.300，∴n＝120.

∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750，

∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.750＝90.

(2)产品净重在[96,98)，[98,104)，[104,106]内的频率分别为0.050×2＝0.100，(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750,0.075×2＝0.150.

∴其相应的频数分别为120×0.100＝12,120×0.750＝90,120×0.150＝18.

∴这批产品平均每个的利润(12×3＋90×5＋18×4)＝4.65(元)．

20．解：(Ⅰ)∵点A在圆x2＋y2＝c2上，

∴△AF1F2为一直角三角形，

∵|F1A|＝c，|F1F2|＝2c　∴|F2A|＝＝c

由椭圆的定义知：|AF1|＋|AF2|＝2a，

∴c＋c＝2a　∴e＝＝＝－1

(Ⅱ)∵函数y＝＋logmx的图象恒过点(1，)

∴a＝，b＝1，c＝1，

点F1(－1,0)，F2(1,0)，

①AB⊥x轴，则A，B，

∴＝，＝，·＝4－＝

②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则AB的方程为y＝k(x＋1)

由消去y得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2(k2－1)＝0　　　(*)

∵Δ＝8k2＋8＞0，∴方程(*)有两个不同的实根．

设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程(*)的两个根

x1＋x2＝－，x1x2＝

＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，

·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋1＋k2＝(1＋k2)·＋(k2－1)＋1＋k2＝＝－

∵1＋2k2≥1，∴0＜≤1,0＜≤

－1≤·＝－＜，

由①②知－1≤·＜

21．解：(1)当a＝1时，f(x)＝ln x－x2＋x，其定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝－2x＋1＝－，

令f′(x)＝0，即－＝0，

解得x＝－或x＝1.

∵x＞0，∴x＝－舍去．

当0＜x＜1时，f′(x)＞0；当x＞1时，f′(x)＜0.

∴函数f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．

∴当x＝1时，函数f(x)取得最大值，最大值为f(1)＝ln 1－12＋1＝0.当x≠1时，f(x)＜f(1)，即f(x)＜0.

∴函数f(x)只有一个零点．

(2)显然函数f(x)＝ln x－a2x2＋ax的定义域为(0，＋∞)，

∴f′(x)＝－2a2x＋a＝＝.

①当a＝0时，f′(x)＝＞0，∴f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，不合题意．

②当a＞0时，f′(x)≤0(x＞0)等价于(2ax＋1)·(ax－1)≥0(x＞0)，即x≥，

此时f(x)的单调递减区间为.

由，得a≥1.

③当a＜0时，f′(x)≤0(x＞0)等价于(2ax＋1)·(ax－1)≥0(x＞0)，即x≥－，此时f(x)的单调递减区间为.

由，得a≤－.

综上，实数a的取值范围是∪[1，＋∞)．

22．解：(1)∵AB∥DE，∴＝，又OD＝OE，得OA＝OB.

连接OC，∵AC＝CB，∴OC⊥AB.

又点C在⊙O上，∴直线AB是⊙O的切线．

(2)延长DO交⊙O于F，连接FC.由(1)知AB是⊙O的切线，

∴弦切角∠ACD＝∠F，

于是△ACD∽△AFC.

而∠DCF＝90°，又∵tan∠ACD＝tan∠F＝，∴＝.

∴＝＝，而AD＝2，得AC＝4.

又AC2＝AD·AF，

∴2·(2＋2r)＝42，于是r＝3.

23．解：(1)由ρ＝，得(ρsin θ)2＝2ρcos θ，

∴曲线C的直角坐标方程为y2＝2x.

(2)将直线l的参数方程代入y2＝2x中，得t2sin2α－2tcos α－1＝0.

设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝，t1t2＝－，

|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，

当α＝时，|AB|取得最小值2.

24．解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|＋|x－4|－1＝

∴f(x)min＝4.

(2)f(x)≥＋1对任意的实数x恒成立⇔|x＋1|＋|x－4|－1≥a＋对任意的实数x恒成立⇔a＋≤4.

当a＜0时，上式成立；

当a＞0时，a＋≥2＝4，

当且仅当a＝，即a＝2时，上式取等号，此时a＋≤4成立．

综上，实数a的取值范围为(－∞，0)∪{2}．