基于概率局域搜索的动车组平日运用计划编制算法

基于概率局域搜索的动车组平日运用计划编制算法

赵　鹏1,富井规雄2

(1.北京交通大学交通运输学院,北京100044;2.铁道综合研究所,东京)

摘要:　介绍动车组运用计划的含义、计划方案的评价准则;平日运用计划自动编制的启发式算法;算法

将问题分为两个部分,即定期检修计划生成和动车组接续运用部分Λ将接续运用部分转化为某种旅行商

问题,定义了动车组运用网络;在构造新的回路时能够考虑日常检修条件和动车组的利用效率Λ利用实

际线路数据进行实验,证明算法有效Λ

关键词:　动车组;运用计划;旅行商问题;概率局域搜索;启发式算法

中图分类号:　U293.12　　　　　　　　文献标识码:　A　　　

A n A lgo rithm fo r T rain2set Schedu ling on W eekday

Based on P robab ilistic L ocal Search

ZHAO Peng1,N o ri o Tom ii2

(1.Schoo l of T raffic and T ranspo rt,Beijing J iao tong U niversity,Beijing100044,Ch ina;2.R ail w ay T echnical R esearch Institute,Tokyo,Japan)

Abstract:　T he T rain2Set Scheduling(T SS)is one of the mo st i m po rtant task s in rail w ay field.In fact,

it is constrained by m any m aintenance conditi ons,stati on capacity and o ther facto rs,and is a N P2hard

p roblem.T h is paper focuses on algo rithm to quick ly w o rk out an app roxi m ate op ti m al schedule.T he

T SS w o rk is divided into tw o sub-p roblem s:T rain2Set R egular Inspecti on(T SR I)and T rain2Set

Connecting(T SC).T he T SC is transfo r m ed into a T raveling Salesperson P roblem(T SP)on a netw o rk

called T SS netw o rk,nodes respond to trains and arcs respond to connecti ons of trains in the netw o rk,

and w eigh t fo r arcs are assigned.In our algo rithm,first,a regular inspecti on p lan is m ade,and then,a

H am ilton tour is found.If a H am ilton tour satisfies the constraints concerning daily inspecti on too,it

could rep resent a train2set schedule.T herefo re,w hen finding a new H am ilton tour based on local

search,the algo rithm is no t only considered the connecti on of nodes,but also the inspecti on

regulati ons.Based on the design,w e developed an app roxi m ati on algo rithm based on the p robabilistic

local search m ethod,and p roved that it can be obtained train-set schedule quick ly.

Key words:　train2set;scheduling;traveling salesperson p roblem;p robabilistic local search;m eta2

heuristics

1　引言

铁路动车组运用计划是铁路旅客运输最基本的运输计划之一[1],它对动车组的使用过程、使用顺序和各种检修等做出具体安排,在列车运行图调整时编制Λ目前动车组运用计划编制系统均为人机交互式系统,由编制人员指定动车组的运用顺序,计算机检查约束条件和计算运用指标[1]Λ除作者对动车组运用计划的自动编制算法进行的研究以外[2,3],没有见到其它关于动车组运用计划自动编制的算法或系统Λ飞机机体运用计划和铁路动车组运用计划相似[4,5],但铁路动车组的检修在白天利用运行间隔时间进行,而飞机的检修是安排在夜间停运之后进行,因此,铁路动车组运用计划比飞机运用计划的编制更为复杂,针对飞机机体运用计划开发的算法难于应用于铁路动车组的运用计划问题Λ

本文主要介绍开发铁路动车组平日运用计划的自动编制算法Λ首先将问题分为了两个部分,即定期检

收稿日期:2003201223

作者简介:赵鹏(1967-),男,内蒙古通辽,副教授,博士,研究方向:组织优化

修方案生成部分和列车接续及日常检修生成部分Λ算法重点是列车接续及日常检修生成部分Λ为此,将该问题转化为动车组运用网络上的旅行商(T raveling Salesperson P rob lem -T SP )问题,动车组运用网络以列车运行图为基础构造Λ许多算法可用于T SP ,但是由于动车组运用含有许多约束条件和比较复杂的评价尺度,例如,作为约束条件,除法定的检修周期外,还有检修地点、检修时段等;作为评价尺度,除使用的动车组数量以外,还有回送列车的数量、走行公里等,T SP 的算法很难直接用于求解动车组运用问题Λ因此,本文开发了基于概率局域搜索的动车组运用计划自动编制算法,算法在网络上搜索满足约束条件的并且评价值最小的巡回路Λ利用实际数据对算法进行测试,得到了满意的结果Λ

1　动车组运用计划概要

1.1　动车组运用计划的含义文章所述的动车组运用方式为不固定区段使用方式[6],即动车组在给定的线路上运行,但动车组完成一次列车任务后,下一次所担当列车的运行区段没有特别的,这一方式是高速铁路或客运专线动车组使用的最佳方式Λ

列车运行图是列车开行(指旅客列车)的综合计划,简单地讲,列车运行图规定了各次列车的始发、终到车站和始发、终到时刻等;而这些列车都必须由具体的物理的动车组来实现Λ动车组运用计划是动车组运用和维修的综合计划,也就是根据给定的列车运行图、有关动车组检修修程的法律规定以及检修基地条件等,对动车组在什么时刻、在哪个车站、担当哪次列车、在什么时间、什么地点、进行哪种类型的检修等作出具体安排,以确保用状态良好的动车组实现列车运行图Λ显然,动车组运用计划也是运输组织的基本计划,当列车运行图调整时,动车组运用计划也将被重新编制Λ

图1　列车运行图

下面用简单的例子说明动车组运用计划及运用规则Λ

设图1为需要完成的列车运行图,日常检修和定期检修只

能在车站B 进行,编制出的动车组运用计划,如图2所示Λ

图2中每一行称为一个交路段,它规定了一个动车组

一天的运用内容Λ例如,某天动车组1按交路段1的计划

运行,其过程是:首先从车站

C 担当2次列车运行到车站

B ,然后,进行日常检修,检修完毕后,从车站B 担当1次列

车运行到车站C ,最后担当8次列车运行到车站B ,夜里在图2　动车组运用计划

车站B 驻留Λ在动车组运用计划中,将动车组担当列车N 后担当列车M 称为列车N 接续列车M Λ

交路段1-3整体称为动车组运用交路Λ动车组按照交路段的顺序运用,例如,第一天按交路段1运用,第二天按交路段2运用,第三天则按交路段3运用,第四天又按交路段1运用Λ因此,从图2可知完成运行图1,需要3组动车组Λ显然,对应图1的运用计划还可以有很多种不同的方案Λ

图1的运行图中,到达车站B 的列车数与从车站B 出发的列车数不一致,如果仅利用运行图中的列车,不能编制出可行的运用计划,因此,图2中设置了从站C 到站B 的回送列车Λ另外,为提高动车组的使用效率,在编制动车组运用计划时也经常增加一些回送列车Λ因此,回送列车在动车组运用计划中是必不可少的Λ

编制动车组运用计划时,不仅编制列车间的接续,动车组的日常维修计划(根据动车组的种类,通常每722144h 以内进行一次,需要在特定场所进行4h 左右)和定期检修计划(每50天以内或3万km 以内进行一次,在特定场所进行7h 左右)也同时编制,上述例子中没有给出定期维修计划Λ

421系统工程理论与实践2004年2月

平日和节假日旅客的需求不同,体现在出行的时间、密度、方向等方面,为适应这种需求,一般在平日和节假日分别采用不同的运行图,因此动车组运用计划也被分为平日运用计划和节假日运用计划,动车组在平日按平日计划运用,在节假日按节假日计划运用Λ为了保证动车组在平日和节假日之间顺利过渡和保证检修计划的顺利实施,一般先编制平日计划,然后再编制节假日计划;在编制节假日计划时,要保证节假日计划的内容(各交路段的始发车站、终到车站及检修的种类)与平日计划的相应交路段内容一致Λ本文开发平日运用计划的算法Λ

1.2　编制动车组运用计划时的约束条件

编制动车组运用计划时,一些物理的、法律的以及逻辑上的因素必须予以考虑,主要包括:

1)列车运行图的约束

列车运行图规定的所有列车必须分配到一个状态良好的动车组,而且列车的始发、终到时刻及始发、终到车站不能有任何的变动Λ

2)检修的约束

检修场所,日常检修和定期检修必须在规定的地点进行;

检修周期,定期检修和日常检修必须在法律规定的检修周期内进行;

检修所需时间,必须保证日常检修和定期检修所要求的时间;检修可能的时段,日常检修和定期检修必须在规定的时段内进行;

3)交路的约束

开始终了车站,交路中相邻的两个交路段,前一日交路段的最后终到站必须与后续日交路段的始发站一致;最后一个交路段的终到站必须与第一个交路段的始发站一致Λ

4)交路段的约束

地点的约束,同一交路段中前行列车的终到站必须与后续列车的始发站一致;

时间的约束,后续列车的始发时刻晚于前行列车的终到时刻,而且其时间差必须大于最小折返时间Λ5)其他约束

线路容量,在各车站以及车辆基地停留的动车组数量不能超过规定的数量;

动车组数量,计划中所使用的动车组数量不能超过规定的动车组数量Λ

1.3　运用人员的意图

动车组运用计划和经营方针有着密切的关系,因此,计划中要反映使用者的一些意图Λ例如,希望编制的计划能较好地适应运输波动;希望用最少的动车组;希望在某个时段内确保一组预备车等Λ下面为几个具体的使用者意图例子Λ

图3　运用人员的意图1)希望○○列车和ΕΕ列车接续Λ主要为了使动车

组在检修时段内有足够的时间Λ例如,图3中虽然6次列

车和3次列车在车站A 可以接续,但如果6次列车和5次

列车接续的话,则在车站A 可以有更充足的时间进行检

修,因此,希望6次列车和5次列车接续Λ

2)从ΕΕ时刻到○○时刻,希望在车站有一组备用

车组Λ例如,在图3的车站A ,如果2次列车和17次列车

接续的话,这一时段内,车站A 一直保有一组动车组,在列

车运行突然发生紊乱时,可以作为临时列车来运用,使运用计划具有较强的抗波动性Λ

3)不希望○○列车和ΕΕ列车接续Λ例如在图3中,8次列车和9次列车可以接续,但由于一些原因,估计8次列车容易晚点,为了不波及9次列车,所以不希望8次列车和9次列车接续Λ

1.4　动车组运用计划方案的评价标准

动车组本身比较昂贵,完成同样的列车运行图,所使用的动车组数量越少越好;虽然一些回送列车的设置是不可避免的,但回送列车不能运送旅客,不仅不能直接带来收入而且需要人力、电力等资源,回送列车开行的次数越少越好;定期检修和日常检修需要人力、时间、费用等,在满足法律规定的要求情况下,一5

21第2期基于概率局域搜索的动车组平日运用计划编制算法

使用的动车组数;定期检修次数和日常检修次数;回送列车的次数和回送里程Λ

2　动车组平日运用计划的概率局域搜索算法

2.1　基本的考虑方法

动车组运用计划中包含定期检修计划和日常检修计划Λ制定检修计划时主要考虑检修的周期,如果采取先逐个编制交路段,然后再组合成交路的方式,检修周期则无法保证,本文将交路作为一个整体来统一考虑、处理,而不单独考虑交路段Λ

如果将图2中的每一个列车看成点,动车组运用过程就相当于T SP中旅行商的旅行过程,因此可以将运用计划问题转化为T SP处理Λ为此,构造动车组运用计划网络,方法是将列车看成点、将列车的接续看作弧,接续费用作为弧的权重;在网络上满足1.2中所有约束条件的巡回路就表示实际可用的动车组运用计划Λ本文特别是把寻找反映1.3中使用者意图的、并且1.4中评价值最小的巡回路作为主要目的Λ作为某种T SP,运用计划具有与一般T SP不同的特点Λ首先是关于有向图的T SP问题;其次是具有很多约束条件和评价尺度Λ对于T SP,已有许多算法发表[7],这些算法很多是通过Κ2O PT的变形、GA的交叉等方式寻找更好的巡回路Λ但对于动车组运用网络,如果采用这些方法,必须解决下面的问题Λ对于变形后或交叉后的巡回路,如何保证定期检修、日常检修的约束条件得到满足;如何避免动车组数量增加,因为单纯地利用32O PT等手段进行变形或交叉时,往往容易形成时刻逆向的接续(列车到达时刻大于出发时刻,动车组只能担当次日的列车),使动车组的数量增加;所以那些算法都难于直接用于本问题Λ考虑上述情况,本文提出了一种新的基于动车组运用特点的概率局域搜索的算法Λ

2.2　动车组运用网络

1)基本构成

用(V,E)表示动车组运用网络,V=v i是点的集合,E=e e=(v i,v j),v i,v j∈V是弧的集合;点对应给定运行图中的列车,点中包含列车始发时刻、车站及终到时刻、车站等信息;弧e=(v i,v j)对应列车之间的接续,表示动车组在担当完列车i之后,担当列车jΛ每一个弧e=(v i,v j)被分配了一个权重w ij,定义为:

w1ij=t jd-t ia+p1ij,t jd-t iaΕT s

ij

+Α T ia→jd

1440+t jd-t ia+p2ij,t jd-t iaij

+Α T ia→jd1

(1)

式中,t jd为列车j的始发时刻;t ia为列车i的终到时刻;T ia→jd为从列车i的终到车站到列车j始发车站的运行时间;T S

ij

为在列车i终到站的折返时间;Α、p1ij、p2ij是与回送列车有关的参数(详细,后述)Λ当列车i的终到站与列车j的始发站相同时,w ij是列车在车站的停留时间;车站不同时,w ij为车站停留时间与回送附加时间之和Ζ权重w ij表示对动车组担当列车i之后继续担当列车j的希望程度,权重越小越希望程度越高Ζ

2)回送列车的处理

运用网络是完全图,也就是任何点之间均有弧相连Λ但如果列车i的终到站与列车j的始发站不同,则需要增加一个回送列车来接续Λ为了保证回送列车的实现,回送列车的走行时间设为营业列车走行时间的Α倍(ΑΕ1)Λ回送列车不能运送旅客,而且需要费用,回送的次数越少越好,因此,对利用回送列车的接续时附加一定权重来降低这种接续的希望程度Λ夜间的回送比白天更容易实现,所以设p1ij>p2ij>0Λ

3)使用者意图的处理

用弧的权重表现1.3中使用者的意图Λ例如,用0表示列车间必须接续,用较大的权重表示不希望的接续Λ

2.3　算法的全体构成

如前面所述,在编制动车组运用计划时必须考虑1.2中的约束条件,特别是检修(定期检修和日常检修)不仅要考虑检修的次数,而且要考虑所需要的时间、实施的可能时段等,如果不考虑这些条件,先编制621系统工程理论与实践2004年2月

图4　算法的总体框架计划然后再组合这些条件,则很难编制出满足约束条件的

运用计划Λ定期检查和日常检查的条件等不同,本文采用

先制定定期检修计划,然后将日常检修计划和列车接续同

时考虑的两阶段方法Λ

算法的全体构成如图4所示ΛL 1为生成定期检修方

案的次数ΛL 表示在一个定期检修方案下,搜索巡回路的

次数Λ步骤2-7为基于一般局域概率搜索的算法[8]Λ步骤

3-7循环一定次数后,在步骤8判断是否再生成定期检修

方案Λ定期检修方案不同,则步骤2产生的初期解不同,因

此本算法为基于多初始解的局域概率搜索算法(m u lti 2

start p robab ilistic local search )Λ

2.4　定期检修方案的生成

根据列车运行图中列车的走行公里和定期检修标准,

可以计算出定期检修的次数,记为N Ζ选择满足定期检修

可能时段和可能地点等条件的点的集合,记为M Ζ从M 中

随机选择N 个点,并对这N 个点进行标识,作为定期检修

方案Ζ对从带有标识的点出发的所有弧的权重,按式(2)进

行修正Ζ

w 1ij =t jd -t ia +p 1ij ,

t jd -

t ia ΕΑ T ia →jd +T k 1440+t jd -t ia +p ij 2,t jd -t ia <Α T ia →jd +T k (2)

式中,T k 为定期检修所需要的时间;其他参数与式(1)相同Λ

经过上述处理,其他点与带有标识的点接续时,接续时间内就可以保证进行定期检修Λ

2.5　初期解的生成

2.5.1　巡回路的生成

一个巡回路对应一个问题的解,作为初始解的巡回路,按贪婪(Greedy )规则求解,具体方法如下Λ1)把运行图中最早始发列车对应的点作为巡回路的开始点v s 0,并记为v i Λ

2)从点v i 开始,按下述规则选择下一个被访问的点v l Λ

・没有被访问过;

・w il =m in w ij e ij ∈E

并记v l 为v i Λ

3)到所有的点都被访问过为止,重复2)Λ

2.5.2　日常检修计划的生成

日常检修计划在已生成的巡回路中安排,也就是寻找满足日常检修条件的点和弧,具体方法如下Λ

0)令v s 0为v m i ,k m d =0,V h m 、V M 为空集Λ

1)从点v m i 开始,沿巡回路搜索满足日常检修地点、检修时段、累计运用时间小于一个检修周期的点,点的集合记为V M h ,搜索同时还满足检修所需时间等其他所有条件的点,点的集合记为V M Λ

2)如果V M 不为空集,选择V M 中最后一个点及连接的弧作为日常检修点,在巡回路中该点的下一个点记为v m i ,设集合V M h 和V M 为空集,令k m d =k m d +1,并转到1)Λ

3)如果V M 为空集,令k m d =K ,并结束搜索Λ

其中k m d 为日常检修的次数,作为惩罚K 取较大的数,表示不能生成可行的日常检修方案,根据解的评价,这样的巡回路将不能作为好的解而得到保留Λ

2.6　新解的生成

2.6.1　新巡回的生成

721第2期基于概率局域搜索的动车组平日运用计划编制算法

如前所述,如果仅仅简单地构造新的回路,检修周期及动车组数量等问题不易解决Λ这里根据问题的特点,在构造新回路时,一方面考虑日常检修条件,尽量保证已经安排好日常检修的部分得到保留,同时注意不增加动车组的数量Λ新回路构造方法如下Λ

1)对于作为临时解的巡回路,按下面方式选择一个点,记为v BΛ

　a)临时解满足所有的日常检修条件时,随机选择一点;

　b)临时解不满足日常检修条件时,选择V M h中最后一个点;

2)巡回路中从点v s0到点v B,访问过程不变,并设这些点为已访问的点;其他各点设为没有被访问的点Λ

3)从没被访问的点中按下面规则选择一点,记为v CΛ

　a)临时解满足所有日常检修条件时,有控随机选择下一点;

　b)临时解不满足日常检修条件时,从集合{v j w B j>T d中有控随机选择一点;

4)从点v B访问点v CΛ

5)从点v C开始,按初始解生成方法,确定下一个访问点,直到所有点均被访问完毕Λ

3)中有控随机的含义是使w B j小的点v j有大的被选概率Λ

2.6.2　日常检修计划的生成

方法与1.5.2完全一样Λ

2.7　解的评价值的计算

1)解的评价值

按1.4介绍的动车组运用计划评价标准进行计算,采用式(3)

Z=i=1w i y i(3)其中,y1为计划中使用的动车组数;y2为日常检修的次数;y3为回送列车的列数,y4为回送列车的运行距离Λw i是与y i对应的权重Λ先生成定期检修方案,各运用计划中定期检修次数相同,因此,这里不再考虑定期检修次数Λ

2.8　临时最优解的确定

X表示新的解;X t表示临时最优解Λ比较解X和X′t的评价值,如果新的解X的评价值小,让新的解X作为临时最优解X t;否则,以一定概率值让X作为临时最优解X tΛ

2.9　最优解的确定

X z表示最优解,比较最优解X z与临时最优解X t的评价值,如果临时最优解的评价值小,让临时最优解X t成为最优解X zΖ

3　实验结果

利用三个实际线路、列车运行图及有关动车组运用其他规定等进行了实验Λ动车组的检修必须在9:00～17:00进行,日常检修需要4h,定期检修需要7hΛ线路1、2动车组日常检修周期为72h,线路3动车组日常检修周期为120hΛ定期检修为3万km以内一次Λ表1给出了各线路数据的特征Λ表1中检修场所是指可以进行日常检修的检修基地数,动车组为实际运用计划所使用的组数;平均走行距离为平均一趟列车的走行公里数Λ

3条线路的运用条件不同,从列车数量来看分别为小规模、中规模和大规模问题Λ线路1规模小但列车走行距离长,如果不能很好地设定列车的接续和检修顺序,很容易使用过多的动车组;线路2列车数量虽然很多,但平均走行公里较短且日常检修比较容易设定,问题相对容易;线路3为大规模问题Λ线路1现场实际运用计划使用25组动车组,设定了22列回送列车,回送列车的总里程为362.9kmΛ线路2现场实际运用计划使用34组动车组,设定了3列回送列车,回送列车的里程为100.5kmΛ线路3现场实际运用计划使用26组动车组,设定了24列回送列车,回送列车的里程为37km(线路3为环形线,站间距离较短)Λ试验中考虑了“定期检修完毕的动车组,当日不再使用”这一使用者意图Λ对3个例子分别进行了10

回试验(结果见表2、3、4),每次试验都得到了满足所有约束条件的解;3个线路的运行图均为不完全的,试验中算法均自动设置了回送列车;3个线路试验得到的动车组组数与实际运用计划一致Λ其他指标是,线路3的回送列车的列数、回送里程以及日常检修的次数等也和实际计划完全一致;线路2的日常检修次数和实际计划完全一致,回送列车的列数和回送列车公里也几乎和实际计划一致Λ线路1,除试验1外其他各次试验日常检修次数与实际计划一致,回送列车的列数除试验5和8外均不多于实际计划,回送列车的走行公里有4次多于实际计划,但平均回送里程和实际计划基本相同Λ取L 1、L 为20、2000,3个线路的算法运算时间分别为12m in 、13m in 和20m in 左右(Pen tium ,内存850M ,主频800M H z ),运算时间是可以接受的Λ因此,认为算法的结果是比较令人满意的Λ

表1　各线路的条件

线路车站数 个

检修场所 个

列车 列

运行图完整性动车组 组

平均走行距离 km

线路1线路2线路3

15119

321

138283471

不完全不完全不完全

253426

971547368.4

表2　线路1的实验结果

试验

动车组 组日常检修次数回送次数回送公里 km

1

23456710

25

252525252525252525

8777777777

22202021242017232222

357.3347.9316.9403.3434.3316.9327.9434.3426.1331.

9

表3　线路2的实验结果

试验

动车组 组日常检修次数回送次数回送公里 km

123456710

34

343434343434343434

9999999999

4343443434

143.7100.5143.7100.5143.7100.5100.5143.7100.5143.

7

表4　线路3的实验结果

试验

动车组 组

日常检修次数

回送次数

回送公里 km

123456710

26

262626262626262626

4444444444

24242424242424242424

37

373737373737373737

4　结束语

从计算的复杂性角度讲,动车组运用计划的自动编制是比较困难的,但结合动车组运用的实际特点,开发有效的自动编制算法仍然是可能的Λ本文以开发自动编制动车组平日运用计划的算法为目的,将动车组运用自动编制问题看成某种T SP ,并引入了概率局域搜索算法Λ利用现场实际数据验证了算法在实用的时间内得到了比较满意的结果Λ

本算法的特点是能够迅速得到问题

的解、比较容易地反映使用者的意图以及能够自动设置回送列车等Λ利用这些特点,也可以让计算机自动生成运用计划方案,然后让使用人员修正(确定)其中的一部分,其余的部分让计算机再次自动生成,形成人机交互系统Λ

对算法性能的定量评价等一些问题今后还需要进一步深入研究Λ

(下转第144页)

9

21第2期基于概率局域搜索的动车组平日运用计划编制算法

　　5)u5,u6关于属性值有差别的属性构成合取范式,再与(8)式合取得:

CN F S=(d∨f)∧c∧d∧f∧a=c∧d∧f∧a(9)这样,得到信息表的唯一约简R={a,c,d,f}Λ

但是,该信息表的唯一约简是R={c,d,f},a是冗余属性Λ事实上,从表2中移去a所在列,信息表不出现新的不可辨识关系,所以a是可约去的Λ按差别矩阵的一般算法,也可以得到唯一的约简{c,d,f}Λ文[2]提供的简化算法之所以出错是由于把第k+1列的合取式与前k列已化简的合取式再合取时,有可能使前面合取式中某个属性成为冗余属性Λ本例中,属性a可以把个体u1与u2,u3,u4,u5,u6同时区分开,并且最简洁,所以a保留在前面的合取范式中Λ但是,该合取式再与后面的合取式合取时,a成为冗余属性,因为后面合取式中的c,d,f也能把u1与u2,u3,u4,u5,u6同时区分开Λ或说,在差别矩阵中,把每一列单独合取,用分配律和吸收律对合取范式简化,再将所有列的化简后的合取式合取,不能保证最后的合取式中不包含冗余属性,因而不能保证最小析取范式中的每个子句都是约简Λ上述例子表明,文[2]给出的简化算法不总成立Λ

参考文献:

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Do rdrech t,Bo ston,L ondon,1991.

(上接第129页)

致谢　本文是作者在东京铁道综合研究所进行的博士后研究的一部分Λ对研究所同仁给与的帮助及日本各铁路公司提供数据等表示感谢!

参考文献:

[1]　富井规雄.铁道 ƒ へのいざない[M].东京:共立出版,2001.33-53.

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