2014年初中数学教师解题比赛试题卷参

一、选择题：（每小题4分，共40分）

19、证法一：连接OA、OB，证明三角形全等即可。…………………3分

证法二：过O作AB的垂直平分线，利用垂径分弦定理即可。…………………6分

证法三：延长CO、DO与圆交于G、H，利用相交弦定理。…………………10分

20、解：（1）∵汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（+）升．

∴y=x×（+）=（70≤x≤110）；…………………5分（定义域2分）

（2）根据材料得：当时有最小值，解得：x=90…………………7分

∴该汽车的经济时速为90千米/小时；

当x=90时百公里耗油量为100×（+）≈11.1升，…………………10分

21、（旋转变换）解法一： 

解法二：证明:在⊿ABC内取点E,使∠EAB=∠EBA=15º,连接DE.

∵∠DAC=∠DCA=15º;AB=AC.(已知).

∴⊿EAB≌⊿DAC(ASA),AE=AD.

又∠EAD=∠BAC-∠EAB-∠DAC=60º.

∴⊿EAD为等边三角形,ED=EA;∠AED=60º.

∵∠AEB=150º.

∴∠DEB=360º-∠AEB-∠AED=150º.

∴∠DEB=∠AEB;又ED=EA(已证),BE=BE.

所以,⊿BED≌⊿BEA(SAS),BD=BA.

解法三：

…………………10分

22、解（1）依题意可依次填表为：11、10、9、8、13-n . …………………3分

（2）S1＝（n-1）2+(13－n)[n2－(n－1)2]＝－n2+25n－12. …………………6分

①当n＝2时，S1＝－22+25×2－12＝34，S2＝12×12－34＝110.

所以S1∶S2＝34∶110＝17∶55. …………………8分

②若S1＝S2，则有－n2+25n－12＝×122，即n2－25n+84＝0，

解这个方程，得n1＝4，n2＝21（舍去）.

所以当n＝4时，S1＝S2.所以这样的n值是存在的. …………………10分

23、（1）当t＝1时，EF＝2；当t＝3时，EF＝4．…………………2分

（2）①如图1，当时，．所以．…………………4分

②如图2，当时，，，．

于是，

．

所以．…………………8分

③如图3，当时，，，．

所以．…………………11分

图2                     图3                       图4

（3）如图4，图5，图6，图7，重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN，S的最大值为，此时．…………………14分

图5                      图6                      图7

24、…………………6分…………12分

25、解：(Ⅰ) 在图1中,易得

连结,在中,由余弦定理可得

由翻折不变性可知,所以,所以,

理可证, 又,所以平面.…………………6分

(Ⅱ) 传统法:过作交的延长线于,连结,

因为平面,所以,

所以为二面角的平面角.

结合图1可知,为中点,故,从而

所以,所以二面角的平面角的余弦值为.

向量法:以点为原点,建立空间直角坐标系如图所示,

则, ,

所以,

设为平面的法向量,则

,即,解得,

令,得由(Ⅰ) 知,为平面的一个法向量,所以,即二面角的平面角的余弦值为.…………………12分