华师大版九年级上册数学期末考试试题含答案

一、选择题。（每小题只有一个正确答案，每小题3分）

1．下列运算结果正确的是（ ）

A． ．

C． ．

2．小丽抛一枚硬币10次，其中有6次正面朝上，则反面朝上的频数是（   ）

A．6 ．0.6 ．4 ．0.4

3．某公司今年1月份生产口罩250万只，按计划第一季度的总生产量要达到910万只．设该公司2、3两个月生产量的月平均增长率为，根据题意列方程正确的是（  ）

A． B． 

C． D．

4．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶OD=1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）

A．1∶2 ．1∶3 ．1∶4 ．1∶5

5．两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（ ）

A．两个小球的标号之和等于1 ．两个小球的标号之和等于6

C．两个小球的标号之和大于1 ．两个小球的标号之和大于6

6．关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值是（ ）

A．0 ．1 ．-2 ．1或-2

7．已知(﹣3，)，(﹣2，)，(1，)是抛物线上的点，则（ ）

A． ． ． ．

8．已知抛物线的顶点在x轴上，则b的值为（ ）

A．2 ．4 ．-4 ．

9．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=，BC=1，CE是斜边AB上的中线，CD是斜边上的高，则DE的长为（ ）

A． ． ． ．

10．如图，在△ABC中，EF//BC，EG//AB，则下列式子一定正确的是（  ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．若计算的结果为正整数，则无理数的值可以是__________．（写出一个符合条件的即可）

12．等腰三角形一边长是3，另两边长是关于x的方程的两个根，则k的值为_______．

13．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现，在计算tan 15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB到点D，使BD=AB，连接AD，得∠D=15°， 所以tan 15°==．类比这种方法，计算的值为_______．

14．将一条长为20 cm的铁丝剪成两段并用每一段铁丝刚好围成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是____________ .

15．如图，正方形ABCD的边长为4，E为AB边上一点，tan∠ADE=，M为ED的中点，过点M作DE的垂线，交边AD于点P，若点N在射线PM上，且由点E、M、N组成的三角形与△AED相似，则PN的长为______．

三、解答题

16．计算：．

17．解方程：．

18．如图，在△ABC中，DE//AC，EF//AB．

（1）求证：△BDE∽△EFC．

（2）若，且△BDE的面积是5，求△EFC的面积．

19．一个盒子中装有1个红球、1个白球和2个黄球，这些球除颜色外都相同．

（1）从盒子中任意摸出一个球，恰好是白球的概率是_________；

（2）从盒子中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，试用树状图或表格列出所有可能的结果，并求摸到一个红球和一个黄球的概率； 

（3）往盒子里面再放入一个白球，如果从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，那么摸到一个白球和一个黄球的概率是__________．

20．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为34 m，从甲建筑物的顶部A处测得乙建筑物的顶部D处的俯角为48°，测得乙建筑物的底部C处的俯角为58°，求乙建筑物的高度CD．（结果精确到0.1m．参考数据：sin 48°≈0.74， cos 48°≈0.67，tan 48°≈1.11，sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60）

21．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，解决下列问题：

（1）关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为　　；

（2）求此抛物线的解析式；

（3）当x为值时，y＜0；

（4）若直线y＝k与抛物线没有交点，直接写出k的范围．

22．如图，在△ABC中，AB=AC， ∠BAC=90°，AD平分∠BAC，连接DB，将线段DB绕点D逆时针旋转90°得到线段DE，连接BE、CE．

（1）求的值；

（2）求射线AD与直线CE相交所成的较小角的度数；

（3）题设其它条件不变，若点D是∠BAC平分线上的一个动点，且AB=1，∠DBC=15°，直接写出线段CE的长．

23．如图，已知抛物线经过A、B（ -3，0）、C（0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点O和点C的距离之和最小，求出此时点M的坐标；

（3）设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形时点P的坐标．

24．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，过点C作CF//AB，交DE的延长线于点F，连接AF，BF．

（1）求证：△AED∽△ACB；

（2）若∠ACB＝90°，试判断四边形ADCF的形状，并加以证明．

参

1．D

【分析】

直接根据二次根式的运算法则计算各项，再进行判断即可．

【详解】

解：A. 与不能合并，故选项A计算错误，不符合题意；

B.2与不能合并，故选项B计算错误，不符合题意；

C. ，故选项C计算错误，不符合题意；

D.. ，计算正确，符合题意，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．

2．C

【分析】

由小丽抛一枚硬币10次，其中有6次正面朝上，由正反两面次数之和为10，则反面朝上的次数为总次数-正面朝上的次数即可．

【详解】

解：小丽抛一枚硬币10次，其中有6次正面朝上，

由正反两面次数之和为10，

则反面朝上的次数为：10-6=4次，

则反面朝上的频数是4．

故选择：C．

【点睛】

本题考查频数与频率的概念，掌握频数是重复出现的次数，频率是重复出现的次数除以总的次数，会区分是解题关键．

3．D

【分析】

根据所设未知数，先表示出该公司2、3两个月生产量，再列方程即可．

【详解】

解：设该公司2、3月的生产量的月平均增长率为x，

依题意，得：250+250（1+x）+250（1+x）2=910．

故选：D．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

4．C

【分析】

根据位似图形的性质即可得出答案．

【详解】

由位似变换的性质可知，

△ABC与△DEF的相似比为：1∶2

△ABC与△DEF的面积比为：1∶4

故选C．

【点睛】

本题考查了位似图形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．

5．B

【分析】

随机事件是指在某个条件下有可能发生有可能不会发生的事件，根据此定义即可求解．

【详解】

解：从两个口袋中各摸一个球，其标号之和最大为6，最小为2，

选项A：“两个小球的标号之和等于1”为不可能事件，故选项A错误；

选项B：“两个小球的标号之和等于6”为随机事件，故选项B正确；

选项C：“两个小球的标号之和大于1”为必然事件，故选项C错误；

选项D：“两个小球的标号之和大于6”为不可能事件，故选项D错误．

故选：B．

【点睛】

本题考查了随机事件、不可能事件、必然事件的概念，熟练掌握各事件的定义是解决本题的关键．

6．C

【分析】

把x=0代入方程，得到，解得k值后，验证二次项系数不为零，判断即可．

【详解】

∵x的一元二次方程有一个根是0，

∴，且k-1≠0，

解得k= -2或k=1，且k≠1，

∴k= -2，

故选C．

【点睛】

本题考查了已知一元二次方程的一个根探解字母系数问题，熟练运用根的定义，一元二次方程的定义是解题的关键．

7．B

【分析】

先求出抛物线的对称轴，然后通过增减性判断即可．

【详解】

解：抛物线的对称轴为，

∵，

∴是y随x的增大而增大，

是y随x的增大而减小，

又∵(﹣3，)比(1，)距离对称轴较近，

∴，

故选：B．

【点睛】

本题考查了二次函数的图象和性质，找到对称轴，注意二次函数的增减性是解题的关键．

8．D

【分析】

抛物线的顶点在x轴上，则顶点的纵坐标为0，根据顶点纵坐标公式，列方程求解．

【详解】

解：抛物线的顶点纵坐标为，

∵顶点在x轴上，

∴=0，

解得b2=16，

b=±4．

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，抛物线y=ax2+bx+c的顶点在x轴上，则顶点坐标的纵坐标为0．

9．A

【分析】

根据勾股定理即可求得AB的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CE的长，由三角形面积相等即可求得CD的长，进而由勾股定理可以求得DE的长．

【详解】

解：Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∴AC2+BC2=AB2，

∵AC=，BC=1，

∴AB=，

∵CD是斜边上的高，

∴三角形ABC面积

∴CD=

∵CE是斜边AB上的中线，

∴CE=，

Rt△CDE中，∠CDE=90°，

∴

故选：A

【点睛】

本题考查了勾股定理和直角三角形的性质，正确求出AD和CE的值是解题的关键．

10．D

【分析】

根据平行线分线段成比例定理逐一判断即可．

【详解】

∵EG//AB，EF//BC，

∴，

∵AC≠EC

∴不成立，

∴选项A错误；

∵EG//AB，EF//BC，

∴，，

∵AE≠EC，

∴不成立，

∴选项B错误；

∵EG//AB，EF//BC，

∴，

∵DF≠AF

∴不成立，

∴选项C错误；

∵EG//AB，EF//BC，

∴，，

∴，

∴选项D正确；

故选D．

【点睛】

本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理，特别是比例中对应线段的属性保持一致是解题的关键．

11．（答案不唯一）

【分析】

根据为12，即可得到一个无理数的值．

【详解】

解：∵，

∴时的结果为正整数，

故答案为：（答案不唯一）．

【点睛】

本题考查了二次根式，注意是解题的关键．

12．3或4．

【分析】

分等腰三角形的腰长为3和底边为3两种情形求解即可．

【详解】

当等腰三角形的腰长为3时，则另一边长为3，

∵另两边长是关于x的方程的两个根，

∴x=3是方程的根，

∴，

∴k=3,

∴，

∴x=3或x=1，

∴等腰三角形的三边为3,3,1，存在，

当等腰三角形的底边为3时，则两腰为方程的根，

∵另两边长是关于x的方程的两个根，

∴，

∴k=4,

∴，

∴，

∴等腰三角形的三边为2,2，3，存在，

综上所述，k=3或k=4，

故答案为：3或4．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的根与等腰三角形的边长之间的关系，灵活运用分类思想，根的定义，根的判别式是解题的关键．

13．

【分析】

在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，可知AC=BC，延长CB到点D，使BD=AB，得∠D=22.5°，根据勾股定理求出AB=，可求CD= ，利用定义求tan 22.5°，取倒数即可．

【详解】

解：在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，

∴AC=BC，

延长CB到点D，使BD=AB，

得∠D=22.5°，

根据勾股定理AB=，

CD=BC+BD=AC+AB=，

tan 22.5°=，

．

故答案为：．

【点睛】

本题考查类比方法求三角函数值，勾股定理，掌握三角函数的定义，勾股定理的应用，以及构图取半角的方法是解题关键．

14． cm2　

【分析】

根据正方形面积和周长的转化关系“正方形的面积=×周长×周长”列出面积的函数关系式并求得最小值．

【详解】

设一段铁丝的长度为x,另一段为(20−x)，

则S=x2+ (20−x)(20−x)= (x−10)2+，

∴由函数当x=10cm时,S最小,为cm2.

答：这两个正方形面积之和的最小值是cm2.

故答案为.

【点睛】

本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是熟练的掌握函数模型的选择与应用.

15．0或或

【分析】

首先根据tan∠ADE=求得AE=3，根据勾股定理求出DE=5，由M为ED的中点得DM=EM=，根据tan∠ADE=求得PM=， 然后分三种情况，根据相似三角形的性质即可求解．

【详解】

解：∵正方形ABCD的边长为4，tan∠ADE==，

AE=3，

∴DE=，

∵M为ED的中点，

∴DM=EM=，

∴在Rt△PMD中，PM=DM∙an∠ADE=×=，

如图：

点N在线段PM上，时

，即，

∴，

∴；

点N在线段PM的延长线上，时

，即，

∴，

∴；

点N在线段PM的延长线上，时

，即，

∴，

∴．

故答案为：0或或．

【点睛】

本题考查正方形的性质，相似三角形的性质，利用正切值求边长，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．

16．

【分析】

先利用特殊的三角函数值计算，再利用二次根式的混合运算法则计算得出结果．

【详解】

解：原式=

．

【点睛】

本题考查了特殊的三角函数值及二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．

17．；

【分析】

先把方程进行整理，然后利用公式法解方程，即可得到答案．

【详解】

解：原方程可化为：．

∵ 

∴＞0，

∴，

∴；．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握公式法解一元二次方程．

18．（1）见解析；（2）

【分析】

（1）由平行线的性质可得∠BED=∠ECF，∠B=∠FEC，从而可证得△BDE∽△EFC；

（2）先根据DE∥AC，得出，进而根据△BDE∽△EFC，得出相似三角形的面积比等于相似比的平方得出等式，然后结合△BDE的面积是5，可求得△ABC的面积．

【详解】

（1）证明：∵ DE∥AC，

∴ ∠BED=∠C．

∵ EF∥AB，

∴ ∠B=∠FEC．

∴ △BDE∽△EFC．

（2）解：∵，∴．

∵ DE∥AC

∴．

由（1）知△BDE∽△EFC，且，

∴．

∴．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．

19．（1） ；（2） ；（3）

【分析】

（1）根据各种颜色球的个数，直接求出概率；

（2）无放回摸球，用树状图法列举出所有等可能出现的情况，从中找出一红一黄的情况，进而求出概率．

（3）两次放回摸球，用列表法列举出所有等可能出现的情况，从中找出一白一黄的情况，进而求出概率．

【详解】

解：（1）．

（2）画树状图：

∴共有12种等可能的结果．

．

（3）再加1个白球，有放回摸两次，所有可能的情况如下：

共有25种等可能的情况，其中一白一黄的有8种，

∴摸到一个白球和一个黄球的概率是：．

【点睛】

考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用次方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件，同时注意“有放回”和“无放回”的区别．

20．乙建筑物的高度CD约为16.7米

【分析】

作AE⊥CD交CD的延长线于点E，根据正切的定义分别求出CE、DE，结合图形计算即可．

【详解】

解：如图，作AE⊥CD交CD的延长线于点E，则四边形ABCE是矩形，

∴AE＝BC＝34m，

在Rt△ACE中，tan∠CAE＝，

∴CE＝AE•tan58°≈34×1.60＝54.4（m）

在Rt△ADE中，tan∠DAE＝，

∴DE＝AE•tan48°≈34×1.11＝37.74（m）

∴CD＝CE﹣DE＝54.4﹣37.74=16.66≈16.7（m）

答：乙建筑物的高度CD约为16.7m．

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

21．（1）﹣1或3；（2）y＝﹣x2+2x+3；（3）x＞3或x＜﹣1；（4）y＞4

【分析】

（1）直接观察图象，抛物线与x轴交于﹣1，3两点，所以方程的解为x1＝﹣1，x2＝3．

（2）设出抛物线的顶点坐标形式，代入坐标（3，0），即可求得抛物线的解析式．

（3）若y＜0，则函数的图象在x轴的下方，找到对应的自变量取值范围即可．

（4）若直线y＝k与抛物线没有交点，则k＞函数的最大值即可．

【详解】

解：（1）观察图象可看对称轴出抛物线与x轴交于x＝﹣1和x＝3两点，

∴方程的解为x1＝﹣1，x2＝3，

故答案为：﹣1或3；

（2）设抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+k，

∵抛物线与x轴交于点（3，0），

∴（3﹣1）2+k＝0，

解得：k＝4，

∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，

即：抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（3）若y＜0，则函数的图象在x轴的下方，由函数的图象可知：x＞3或x＜﹣1；

（4）若直线y＝k与抛物线没有交点，则k＞4函数的最大值，即y＞4．

【点睛】

本题主要考查了二次函数与不等式（组）、二次函数的图象、抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数解析式，准确计算是解题的关键．

22．（1）；（2）射线AD与直线CE相交所成的较小角的度数为45°；（3）CE的长为或

【分析】

（1）根据等腰直角三角形性质，证△ABD∽△CBE，求相似比即可；

（2）延长AD、CE相交于点F，由相似可知∠BCF=∠BAD=45°，再根据角平分线和三角形内角和求∠F即可；

（3）作DF⊥AB，垂足为F，根据D点在三角形内和外分类讨论，利用30°角的直角三角形性质和等腰直角三角形的性质以及（1）的结论可求EC．

【详解】

解：（1）由题意知ΔABC和ΔBDE均为等腰直角三角形．

∴，．∠ABC=∠DBE=45°．

∴，

∵∠ABC=∠DBE=45°．

∴∠ABD=∠CBE．

∴△ABD∽△CBE．

∴．

（2）延长AD、CE相交于点F，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠ACB=45°．

∵AF平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAF=∠BAC=45°．

∵△ABD∽△CBE．

∴∠BCF=∠BAD=45°．

∠F=180°-∠BCF-∠ACB -∠CAF=45°．

射线AD与直线CE相交所成的较小角的度数为45°．

（3）如图1，作DF⊥AB，垂足为F，

∵∠DBC=15°，∠ABC=45°，

∴∠DBA=30°，

∴设DF为x，BD为2x，

∴BF=，

∵∠BAD=45°，

∴DF=AF=x，AD=

∵AB=1，

∴，

解得，，

AD=，

∵，

∴CE=，

如图2，作DF⊥AB，垂足为F，

∵∠DBC=15°，∠ABC=45°，

∴∠DBA=60°，∠BDF=30°，

∴设BF为x，BD为2x，

∴DF=，

∵∠BAD=45°，

∴DF=AF=，AD=

∵AB=1，

∴，

解得，，

AD=，

∵，

∴CE=，

CE的长为或．

【点睛】

本题考查相似三角形的综合问题，涉及到了直角三角形的有关性质，解题关键是熟练的判定三角形相似，画出准确图形，树立分类讨论思想．

23．（1）；（2）M（-1，）；（3），，，

【分析】

（1）根据待定系数法先把点B、C两点坐标代入抛物线解析式，解方程组即可求得抛物线的解析式；

（2）过C作对称轴x=-1的对称点D，根据OM+CM=OM+MD≤OD，当D、M、O三点共线时其和最短，求出直线OD的解析式为： ，求当x=-1时， 即可．； 

（3）设P（-1，m），又因为B（-3，0），C（0，3），PB=，PC=，BC=,再分三种情况，以点P为直角顶点，以点C为直角顶点，以点B为直角顶点分别讨论构造方程,求出符合题意m值，即可求出点P的坐标．

【详解】

解：（1）把B（-3，0）、C（0，3）分别代入中，  

得 ．

∴ ．

∴抛物线的解析式为： ；

 （2）∵抛物线的对称轴是直线x=-1，

作点C（0，3）关于直线x=-1的对称点D（-2，3）．

抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点O和点C的距离之和最小，

OM+CM=OM+MD≤OD，

当D、M、O三点共线时其和最短，

设直线OD的解析式为：，过点D，

∴，

∴直线OD的解析式为： ．

当x=-1时， ，

∴M（-1，）；

（3）设点P的坐标为（-1，m），PB=，PC=，BC=，

以点P为直角顶点，

由勾股定理得PB2=PC2+BC2，

解，

整理得，

解得，

点P的坐标，；

以点C为直角顶点，

由勾股定理得PB2=PC2+BC2，

解，

解得m=4,

点P3（-1，4），

以点B为直角顶点，

由勾股定理得PC2=PB2+BC2，

解，

解得m=-2，

点P4（-1，-2）．

使△BPC为直角三角形时点P的坐标，，，．

【点睛】

本题考查待定系数法求抛物线解析式，点P在对称轴上的最短路径，组成直角三角形点P坐标，掌握待定系数法求抛物线解析式，利用一次函数与对称轴的交解决点P在对称轴上的最短路径，利用分类讨论组成直角三角形，应用勾股定理构造方程求点P坐标是解题关键．

24．（1）见解析；（2）菱形，见解析．

【分析】

（1）根据点D，E分别是边AB，AC的中点，可得DE//BC，进而可以证明△AED∽△ACB；

（2）先利用ASA证明△DAE≌△FCE可得DE＝FE，可证可得四边形ADCF是平行四边形，再证明AC⊥DF，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可证明结论．

【详解】

（1）证明：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线

∴DE//BC，

∴△AED∽△ACB；

（2）解：四边形ADCF是菱形，理由如下：

∵CF//AB，

∴∠DAE＝∠FCE，

在△DAE和△FCE中，

，

∴△DAE≌△FCE（ASA），

∴DE＝FE，

∵AE＝CE，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵DE//BC，

∴∠AED＝∠ACB＝90°，

∴AC⊥DF，

∴四边形ADCF是菱形．

【点睛】

本题主要考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、菱形的判定以及三角形中位线的判定与性质，灵活应用相关性质和判定定理是解答本题的关键．