（二）
对付“上课走神”最好的办法就是“让你的神尽情地走，看它能走到哪，等它走的累了或无路可走的时候，你就可以好好地听讲了”；对付“厌烦学习”最好的办法就
是“在你讨厌它之前，开始学习”。
--------- 龙正祥
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．
1.若集合，则=( )
A B C D
2．已知为虚数单位，
为实数，复数在复平面内对应的点为
，则“
”是“点
在第四象限”的 ( )
A充分而不必要条件 B 必要而不充分条件
C充要条件 D既不充分也不必要条件
3．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
A
B
C
D
3.阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间
内，则输入的实数
的取值范围是( )
开始
输出
结束
是
否
输入
A
B
C
D
5.已知实数
成等比数列，且函数
时取到极大值
，则
等于（）
A B C D
6.下列有关命题的说法正确的是（）
A 命题“若
，则
”的否命题为：“若
，则
”．
B “
”是“
”的必要不充分条件．
C 命题“存在
使得
”的否定是：“对任意
均有
”．
D 命题“若
，则
”的逆否命题为真命题．
7.若函数满足,且当时,,则函数与函数的图像的交点个数为（）
A 个
B 个
C 个
D 个
8.设函数
的最小正周期为
，且，则
A 在单调递减
B 在单调递减
C 在单调递增
D 在单调递增
9.设第一象限内的点
满足约束条件
，若目标函数
的最大值为40，则
的最小值为（）
A
B
C 1
D 4
10.已知，实数
、
、
满足
,
且，若实数
是函数
的一个零点，那么下列不等式中，不可能成立的是（）
A
B
C
D
二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共5小
题，每小题5分，共25分）．
11.展开式的常数项是 .（结果用数值作答）
12.同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第个图案中需用黑色瓷砖___________块．
13．已知，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是 . 14．给出下列三个命题：①若直线过抛物线的焦点，且与这条抛物线交于两点，则的最小值为；②双曲线的离心率为；③若,则这两圆恰有条公切线.④若直线
与直线
互相垂直，
则．其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上) 15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
．（几何证明选讲选做题）如图，点是圆上的点，且，则圆的面积等于．
.（不等式选讲选做题）若存在实数满足,则实数的取值范围为
_________．
．(极坐标与参数方程选讲选做题)设曲线
的参数方程为
（
为参数），直线
的方程为
，则曲线
上到直线
距离为
的点的个数有_________个．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本
大题共6小题，共75分）．
16.（本小题满分12分）已知函数
的图象的一部分如下图所示.
（Ⅰ）求函数
的解析式；
（Ⅱ）当
时,求函数
的最大值与最小值及相应的
的值.
17.（本小题满分12分）已知函数．
（Ⅰ）设函数的图像的顶点的纵坐标构成数列，求证：为等差数列；（Ⅱ）设函数的图像的顶点到轴的距离构成数列，求的前项和．
18．（本小题满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示,其正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.
（Ⅰ）证明：⊥平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成角的余弦值；
19．（本小题满分12分）某班同学利用寒假进行社会实践，对
岁的人群随机抽取
人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
（Ⅰ）补全频率分布直方图并求
、
、
的值；
（Ⅱ）从
岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取
人参加户外低碳体验活动，其中选取
人作为领队，记选取的
名领队中年龄在
岁的人数为
，求
的分布列和期望
.20. （本小题满分13分）已知椭圆
的离心率为
，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线
相切，
分别是椭圆的左右两个顶点，
为椭圆
上的动点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若
与
均不重合，设直线
与
的斜率分别为
，证明：
为定值；
（Ⅲ）
为过
且垂直于
轴的直线上的点，若
，求点
的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．21.（本小题满分14分）
已知函数
.
(Ⅰ)若曲线
在
和
处的切线互相平行，求
的值；
(Ⅱ)求
的单调区间；
(Ⅲ)设
，若对任意
，均存在
，使得
，求
的取值范围.
参
第I卷（选择题共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．
题
123456710号
答
C A A B C
D C A B D
案
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）．
11. 12. 13．
14．②③15. A. B. C. 2 .
三、解答题（本大题共6小题，共75分）．
16.（本小题满分12分）
解:（Ⅰ）由图像知
,
,∴
,得
.
由
.
∴
. ---------5分（Ⅱ）
=
,---------9分
∵
,∴
,---------10分
∴当
,即
时,
的最大值为
;当
,即
时,
的最小值
. ---------12分
17.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵，
∴， ---------2分
∴，
∴数列为等差数列． ---------4分（Ⅱ）由题意知， ---------6分∴当时，
----8分
当时，
．---------10分
∴． ---------12分
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）证明:∵该几何体的正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形, ∴两两垂直.
以分别为轴建立空间直角坐标系如图．--------------2分
则．
∴，
．------------4分
∴,.
又与相交于，
∴⊥平面. -------------------6分
（Ⅱ）∵⊥平面,
∴是平面的一个法向量, ------------8分
设为平面的一个法向量,
则,
所以可取． ------------10分
则．
∴所求二面角C－NB1－C1的余弦值为． ------------12分
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）第二组的频率为
，所以高为
．频率直方图如下：
--------------------2分
第一组的人数为
，频率为
，所以
．
由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为
，所以
．
第四组的频率为
，所以第四组的人数为
，所以
． ---------5分
（Ⅱ）因为
岁年龄段的“低碳族”与
岁年龄段的“低碳族”的比值为
，所以采用分层抽样法抽取18人，
岁中有12人，
岁中有6人．---------6分
随机变量
服从超几何分布．
，
，
，
．-----8分
所以随机变量
分∴
．----12分
20.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为
，
∵直线
与圆相切，∴
，即
，又
，即
，
，解得
，
，
所以椭圆方程为
． ------------3分（Ⅱ）设
，
，
，则
，即
，则
，
，
即
，
∴
为定值
． ------------6分
（Ⅲ）设
，其中
．
由已知
及点
在椭圆
上可得
，
整理得
，其中
．----8分
①当
时，化简得
，
所以点
的轨迹方程为
，轨迹是两条平行于
轴的线段； -------------9分②当
时，方程变形为
，其中
，
当
时，点
的轨迹为中心在原点、实轴在
轴上的双曲线满足
的部分； -------------11分
当
时，点
的轨迹为中心在原点、长轴在
轴上的椭足
的部分； -------------12分
当
时，点
的轨迹为中心在原点、长轴在
轴上的椭圆．
-------------13分21.（本小题满分14分）
解：
. ---------2分
（Ⅰ）
，解得
. ---------3分
（Ⅱ）
. ---------5分
①当
时，
，
，
在区间
上，
；在区间
上
，
故
的单调递增区间是
，
单调递减区间是
. ---------6分
②当
时，
，
在区间
和
上，
；在区间
上
，
故
的单调递增区间是
和
，
单调递减区间是
. --------7分
时，
，故
的单调递增区间是
. ---------8分
④当
时，
，
在区间
和
上，
；在区间
上
，
的单调递增区间是
和
，单调递减区间是
. ---------9分
（Ⅲ）由已知，在
上有
.---------10分
由已知，
，由（Ⅱ）可知，
①当
时，
在
上单调递增，
故
，
所以，
，解得
，
故
. ---------11分②当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
.
由
可知
，
，
，
所以，
，
， ---------13分
综上所述，
. ---------14分
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