吉林春市2012届高三第一次模拟试题理科数学试题(附解析)

数学试题卷(理科)

考生须知：

1.本试卷分试题卷和答题纸，满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，在答题纸密封区内填写学校、班级、姓名和准考证号.

3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.

4.考试结束，只需上交答题纸.

参考公式：

柱体体积公式：,其中为底面面积,为高

锥体体积公式：,其中为底面面积,为高

第Ⅰ卷  (选择题,共60分）

一、选择题（本大题包括12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填写在答题纸上）

1.设集合，，则∁R等于

A.        B. 

C.    D. 

2.若复数在复平面内对应的点在轴负半轴上，则实数的值是

A.    B.    C.    D. 

3.“”是“函数在区间上存在零点”的

    A.充分不必要条件    

    B.必要不充分条件

    C.充分必要条件    

    D.既不充分也不必要条件

4.阅读右侧程序框图，输出的结果的值为

    A.     B.    

    C.    D. 

5.在中，，，，则

    A.或      B.    C.    D.

6.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列四个命题： 

①若a⊥b，a⊥α，bα，则b∥α；   ②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；

③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或aα；  ④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.

其中正确命题的个数为

    A.1    B.2    C.3    D.4

7.一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为         

A.            B.             C.    D.

8.函数为奇函数，该函数的部分图像如图所示，、分别为最高点与最低点，且，则该函数图象的一条对称轴为

    A.    B.    

    C.    D. 

9.在△中，是边中点，角的对边分别是，若，则△的形状为

    A.直角三角形        B.钝角三角形  

C.等边三角形                           D.等腰三角形但不是等边三角形.

10.类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：，，其中，且，下面正确的运算公式是

①；    ②；

③2；        ④2.

A.①②    B.③④    C.①④    D.②③

11.设、分别为具有公共焦点、的椭圆和双曲线的离心率，是两曲线的一个公共点，且满足,则的值为

    A.    B.2    C.    D.1

12.设是定义在上的增函数，且对于任意的都有恒成立. 如果实数满足不等式组，那么的取值范围是

      A.(3, 7)    B.(9, 25)    C.(13, 49)    D. (9, 49)

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

　　本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸中的横线上).

13.若等差数列{an}的前5项和=25，且，则         .

14.已知直线与圆相切，且与直线平行，则直线的方程是                    .

15.设(为自然对数的底数)，则的值为　　　　　.

16.已知函数，则关于的方程给出下列四个命题：

①存在实数，使得方程恰有1个实根；

②存在实数，使得方程恰有2个不相等的实根；

③存在实数，使得方程恰有3个不相等的实根；

④存在实数，使得方程恰有4个不相等的实根.

其中正确命题的序号是             （把所有满足要求的命题序号都填上）.

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

17.（本小题满分12分）

如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点．

    ⑴如果、两点的纵坐标分别为、，求和；

    ⑵在⑴的条件下，求的值；

    ⑶已知点，求函数的值域．

18.（本小题满分12分）

已知数列满足，.

    ⑴求数列的通项公式；

    ⑵若数列满足，求数列的通项公式.

19.（本小题满分12分）

如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面，，，．

⑴求证：；

⑵求直线与平面所成的角；

⑶设点在棱上，，

若∥平面，求的值.

20.（本小题满分12分）

已知点，，动点的轨迹曲线满足，，过点的直线交曲线于、两点.

(1)求的值，并写出曲线的方程；

(2)求△面积的最大值.

21.（本小题满分12分）

    已知函数.

    ⑴求函数的最小值；

    ⑵若≥0对任意的恒成立，求实数a的值；

    ⑶在⑵的条件下，证明：.

请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.

如图，⊙O内切△ABC的边于D、E、F，AB=AC，连接AD交⊙O于点H，直线HF交BC的延长线于点G.

⑴证明：圆心O在直线AD上；

⑵证明：点C是线段GD的中点.

23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.

    在极坐标系中, O为极点, 半径为2的圆C的圆心的极坐标为.

    ⑴求圆C的极坐标方程；

⑵是圆上一动点，点满足，以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，求点Q的轨迹的直角坐标方程.

24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.

    已知函数

    ⑴解不等式；

⑵若不等式的解集为空集，求的取值范围.

2012年长春市高中毕业班第一次调研测试

数学（理科）试题参及评分标准

一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分）

1．B    2．B    3．A    4． B    5． C    6． D 

7．A     8．D    9．C    10．B    11．A    12．C

简答与提示：

1.B　化简为，化简为，故.

2.B　在复平面内对应的点在轴负半轴上，则且，∴ 

3.A　在区间上存在零点，则，即，∴或，∴“”是“或”的充分不必要条件，∴“”是“函数在区间上存在零点”的充分不必要条件.

4.B的函数值构成周期为6的数列，且，则

5.C　由正弦定理，又，，∴，则为锐角，故.

6.D　由空间线面位置关系容易判断①②③④均正确.

7.A　几何体为底面半径为，高为1的圆柱，全面积为.

8.D　由为奇函数，得，又，∴.结合图象知，∴，∴，当时，，∴是其一条对称轴.

9.C　由题意知，

∴，∴，

又、不共线，∴，∴ 

10.B　经验证，只有③④正确.

11.A　设，不妨设.由知，∠,则,∴，，

∴，∴.

12.C　由得，

又，∴，∴.

    　　∵是上的增函数，∴＜，

∴

        又，结合图象知为半圆内的点到原点的距离，故，∴ 

二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）

13. 7                 14.或

15.               16. ①②

简答与提示：

13.7　依题意，，则，∴ 

14.或　设直线，与圆相切，故∴或∴所求直线方程为或.

15.　

16.①②　由的图象知,则,

根据的图象(如图)可知，①②正确. 

三、解答题（本大题必做题5小题,三选一中任选1小题,共70分）

17.(本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查三角函数的定义，两角和、差的正余弦公式的运用，以及三角函数的值域的有关知识，同时还考查了向量的数量积的运算等知识.

【试题解析】解：（1）根据三角函数的定义，得，．

又是锐角，所以．                                         ( 4分)

（2）由（1）知．

因为是钝角，所以．

所以．    ( 8分)

（3）由题意可知，，．

所以，

因为，所以， 

从而，因此函数的值域为．     ( 12分)

18.(本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查运用数列基础知识求解数列的通项公式.

【试题解析】解：（1），，

而，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，

，因此．            　　　　　　　　　　　　  ( 5分)

（2）∵，∴，( 7分)

∴，

即，①

当时，，②

①－②得，．　　　　　　　　（10分）

可验证也满足此式，因此．     　　　　　　　　　　（12分）

19.(本小题满分12分)

【命题意图】本小题将直四棱锥的底面设计为梯形，考查平面几何的基础知识.同时题目指出一条侧棱与底面垂直，搭建了空间直角坐标系的基本架构.本题通过分层设计，考查了空间平行、垂直，以及线面成角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

【试题解析】解：【方法一】（1）证明：由题意知则

                        （4分）

（2）∵∥，又平面.

 ∴平面平面.

 过作//交于

 过点作交于,则

 ∠为直线与平面所成的角.

 在Rt△中，∠，，

∴，∴∠.

即直线与平面所成角为.  　　　　　　　　　　　　　　　（8分）

　 （3）连结，∵∥，∴∥平面.

又∵∥平面，

∴平面∥平面，∴∥.

又∵

∴∴，即

（12分）

【方法二】如图，在平面ABCD内过D作直线DF//AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.

（1）设，则，

 ∵，∴.　　　　　　　　　　　　　　 　　（4分）

（2）由（1）知.

由条件知A（1，0，0），B（1，，0），

.

设，

则

即直线为.　　　（8分）

（3）由（2）知C（－3，，0），记P（0，0，a），则

，，，，

而，所以，

=

设为平面PAB的法向量，则，即，即.

  进而得， 

由,得∴

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（12分）

20.(本小题满分12分)

【命题意图】本小题考查椭圆的定义及标准方程，直线和椭圆的综合应用，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.

【试题解析】解：(1)设，在△中，，，根据余弦定理得.                 （2分）

即.

.

而，所以.  

所以.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （4分）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

又，

因此点的轨迹是以、为焦点的椭圆（点在轴上也符合题意），

，.

所以曲线的方程为.                              　    （6分）

(2)设直线的方程为.

由，消去x并整理得.        ①

显然方程①的,设, ,则

由韦达定理得，.                  （9分）

所以.

令，则，.

由于函数在上是增函数.

所以，当，即时取等号.

所以，即的最大值为3.

所以△面积的最大值为3，此时直线的方程为.            （12分）

21.(本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性、极值等，以及函数与不等式知识的综合应用，考查学生解决问题的综合能力.

【试题解析】解：（1）由题意，

由得.

    当时,；当时，.

    ∴在单调递减，在单调递增.

    即在处取得极小值，且为最小值，

    其最小值为        （4分）

    （2）对任意的恒成立，即在上，.

    由（1），设，所以.

    由得.

    ∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，

    ∴在处取得极大值.

    因此的解为，∴.                （8分）

（3）由（2）知，因为，所以对任意实数均有，即.

令，则.

∴.

∴

.            （12分）

22.(本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲

【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到三角形内心的定义，以及弦切角定理等知识.

【试题解析】证明⑴：∵∴.

又∵∴

又∵△是等腰三角形，,∴是角∠的平分线.

∴内切圆圆心O在直线AD上. 　                                 　　(5分)

⑵连接DF，由⑴知，DH是⊙O的直径，

∴点C是线段GD的中点.     　　　　　　　　　　　(10分)

23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲

【命题意图】本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程的求解，以及轨迹方程等内容.

【试题解析】解：（1）设是圆上任一点，过作于点，则在△中，，而，，，所以，即

     为所求的圆的极坐标方程.　           　　　　　　             　( 5分)（2）设，由于，所以代入⑴中方程得，即，

∴，,

∴点的轨迹的直角坐标方程为.   　      　　(10分)

24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式的解法及性质等内容.

【试题解析】解：(1)根据条件  

当时，

当时，

当时，

综上，的解集为或.　　                    （5分）

(2)由于可得的值域为.

又不等式的解集为空集，所以.   （10分）