三角函数的综合题

题型一：与三角恒等变换的综合题

【例1】函数的最小正周期是       ．

【例2】设函数．

⑴求的值域；

⑵记的内角、、的对边长分别为，，，若，，，求的值．

【例3】已知函数．

⑴当时，求在区间上的取值范围； 

⑵当时，，求的值．

【例4】已知函数

⑴求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；

⑵若，，求的值．

【例5】已知函数的图象如图所示．

⑴求的值；

⑵设，求函数的单调递增区间．

【例6】已知函数的值域为[]，求a、b的值．

【例7】已知函数，．

（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

（2）该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

【例8】已知函数，（其中，），其部分图象如图所示．

⑴求的解析式；

⑵求函数在区间上的最大值及相应的值．

【例9】已知函数的图象经过点，．

⑴求实数、的值；

⑵若，求函数的最大值及此时的值．

【例10】设函数．

⑴求的最小正周期；

⑵当时，求函数的最大值和最小值．

【例11】已知函数

⑴求函数的最小正周期及图象的对称轴方程；

⑵设函数，求的值域．

【例12】已知函数

⑴当时，求函数的最小正周期及图象的对称轴方程式；

⑵当时，在的条件下，求的值．

题型二：与二次函数的综合题

【例13】已知，求函数的最小值

【例14】求函数的最大值和最小值。

【例15】设二次函数，已知不论为何实数，恒有，（1）求证：；（2）求证。

【例16】已知函数，，求函数的最大值。

【例17】当方程有解时，求k的取值范围.

【例18】求函数的值域.

【例19】求函数的最大值与最小值.

【例20】求函数的最大值

【例21】函数的最小值为，.

⑴求        ⑵若，求及此时的最大值

【例22】若函数的最大值为，最小值为，且，求的值

【例23】若有实数根，试确定实数的取值范围.

【例24】为使方程在内有解，则的取值范围是(    )    

A.   B.       C.             D. 

【例25】已知函数的最小值为1，求a的值.

【例26】已知函数．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的最大值和最小值．

题型三：与不等式的综合题

【例27】已知定义在上的减函数，使得，对一切实数均成立，求实数的取值范围 .

【例28】已知是实数，函数对任意有：

①②

⑴求的值；

⑵证明：；

⑶设的最大值为 ，求.

【例29】已知，求函数的值域.

【例30】关于的不等式的解集是全体实数，求实数的取值范围

【例31】已知关于实数的不等式，的解集分别为，且，则这样的存在吗？若存在，求出的取值范围。

题型四：与数形结合的综合题

【例32】求方程的解的个数；

【例33】求方程的解的个数．

【例34】函数与的图象交点有        个．

【例35】方程在内解的个数为         ．

【例36】如图，方程在区间内解的个数是(     )

A．       B．       C．      D． 

题型五：与其它函数综合题

【例37】函数，若，则的所有可能值为（  ）

A.1         B.      C.     D. 

【例38】求函数的定义域。

【例39】求下列函数的定义域：

（1）；

（2）；

（3）．

【例40】求函数，的值域．

【例41】已知，化简：

．

【例42】求函数的值域．

【例43】的最值及对应的x的集合

【例44】求函数的最大（小）值及取得最大（小）值时x的值.

题型六：与向量的综合题

【例45】在中，，，，则（     ）

A．         B．       C．          D． 

【例46】已知为的三个内角的对边，向量，

．若，且，则角      ．

【例47】已知向量，且与向量的夹角为，其中A, B, C是的内角．（I）求角的大小；    （II）求的取值范围

【例48】已知、、三点的坐标分别为、、，，

（I）若，求角的值；（II）若，求的值

【例49】设函数，其中向量，， 

（1）求的最小正周期与单调递减区间；

（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知，，△ABC的面积为，求的值。

【例50】已知向量  和，．

(1)求的最大值；(2)当=时，求的值

【例51】已知△ABC的面积S满足, 且,与的夹角为 

(I) 求的取值范围;

(II)求函数的最小值 

【例52】已知的面积为，且满足，设和的夹角为．

（）求的取值范围；

（）求函数的最大值与最小值．

【例53】已知、，，且

（1）求向量与的夹角；   （2）求、的值.

【例54】已知锐角△ABC中，三个内角为A、B、C，两向量，

，若与是共线向量.

（1）求A的大小；

（2）求函数取最大值时，B的大小

【例55】已知向量，，，且为锐角．

⑴求角的大小；⑵求函数的值域．

【例56】已知向量，且

⑴求的值；

⑵求函数的值域．

题型七：三角函数杂题

【例57】设满足，求的表达式.

【例58】圆至少覆盖函数的一个最大值点与一个最小值点，求实数的取值范围．

【例59】如图，质点在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为，角速度为1，那么点到轴距离关于时间的函数图像大致为

    A．                 B．

    C．                D．

【例60】如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点．已知的横坐标分别为．

⑴求的值；

⑵求的值．

【例61】如图，当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里处的乙船．

⑴求处于处的乙船和遇险渔船间的距离；

⑵设乙船沿直线方向前往处救援，其方向与成角，

求的值域．

【例62】已知函数，直线与函数、的图象分别交于、两点，

⑴当时，求的值；⑵求在时的最大值．