人教版六年级上册数学讲义及练习-第4单元比的认识(含答案)

 知识集结  

知识元 

 比 

 知识讲解 

知识点：比的意义，比与除法、分数的关系；

一、比的意义

1. 比的意义：两个数相除又叫做两个数的比.

2. 在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项.

比的前项除以后项所得的商，叫做比值.

例如 15 ：10 = 15÷10=(比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示)

15　      ∶ 　       10　 ＝　 

前项    比号      后项 　　   比值

3. 比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系.例：长是宽的几倍.

也可以表示两个不同量的比，得到一个新量.例： 路程÷速度=时间.

二、比与除法、分数的关系

1. 根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式.

2. 比和除法、分数的联系：

3. 比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系.

4.根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0.

5.体育比赛中出现两队的分是2：0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系.

三、比值

1、求比值：用前项除以后项，结果最好是写为分数 .

2、比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数.

知识点：比的基本性质

一、比的基本性质：

1.比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变.

二、化简比：依据比的基本性质

1.两个整数的比：用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数.

2.两个分数的比：用比的前项和后项同时乘分母的最小的公倍数，再按化简整数比的方法来化简.

3.两个小数的比：先把小数化成整数，再按化简整数比的方法来化简.

例如： 15∶10 = 15÷10 =＝  = 3∶2    最简整数比是3∶2

三、求比值：

用求比值的方法：求比值的过程是通过前项除以后项，求出商.

注意： 最后结果要写成分数、小数或整数的形式.

例如： 15∶10 = 15÷10 =＝ （不能写成3:2）

四、最简整数比：

1.比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比.

2.根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比.

3.比中有单位的，化简和求比值时要把单位化相同再化简和求比值，结果没有单位.

知识点：按比例分配应用题

一、按比例分配：

1.按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配.这种方法通常叫做按比例分配.

二、按比例分配应用题：

１．用分率解:按比例分配通常把总量看作单位一，即转化成分率.要先求出总份数，再求出几份占总份数的几分之几，最后再用总量分别乘几分之几.

例如：有糖水25克，糖和水的比为1:4，糖和水分别有几克？

1+4=5   糖占  用 25×得到糖的数量，水占 用 25× 得到水的数量.

2. 用份数解：要先求出总份数，再求出每一份是多少，最后分别求出几份是多少.

例如：有糖水25克，糖和水的比为1:4，糖和水分别有几克？ 

糖和水的份数一共有1+4=5  一份就是25÷5=5 糖有1份就是5×1 水有4分就是5×4

知识点：部分与部分的比转化为部分与整体的比

部分与部分的比转化为部分与整体的比的方法：先求出所有部分之和，然后再根据比的意义进行比较即可.

例如：甲数：乙数=2:3，求甲数：甲、乙两数之和=（    ）.应该先求出甲数和乙数之和，2+3=5，然后在进行相比即可.

知识点：化连比问题

三、连比的概念：

三个量以及三个量以上的比的关系，叫做连比.

比如：30:20:10 像这样的比叫做连比，其中30、10、20叫做连比的项.

四、连比的性质：

⑴如果a∶b＝m∶n，b∶c＝n∶k，

则a∶b∶c＝m∶n∶k；

⑵如果k≠0，

则a∶b∶c＝ak∶bk∶ck

　　　　 ＝ ：:

利用连比的性质可以求连比，也可以化简连比.

三、比”和“连比”得区别：

1、比和连比是两个不同的概念，从意义上看比是表示两个数的倍数关系（或两个数相除）.

连比是两个以上数之间的各自所占的份数比，它不是以上两个数连除的关系.　

2、比和连比中的“项”也是不同的：

3、从比值上看：比既能表示两个数的倍数关系，也可以求出比值.如：3:4的比值是，

连比不是连除的意思，不可能求出商，也无法求出比值.

四、连比的化法：

例如：甲和乙的比是3∶4，乙和丙的比是6∶5，甲、乙、丙的连比应该是9∶12∶10.其中项统一过程如下：

知识点：按比例分配问题进阶.

一、按比例分配：

按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配.这种方法通常叫做按比例分配.

二、按比例分配应用题：

1、比的第一种应用：已知两个数量的差，两个或几个数的比，求这两个或这几个数量是多少？

例如：六年级的男生比女生多20人（或女生比男生少20人），男女生的比是7：5，男女生各有多少人？全班共有多少人？ 

解题思路：男生比女生多几份：7-5=2

  求每一份：20÷2=10（人）因此，男生有10×7=70（人），女生有10×5=50（人）

2、比的第二中应用：转化连比解答按比分配的问题

例如：一个学校篮球队和足球队人数之比为5:4，足球队和排球队之比为3:5.已知篮球队比足球队和排球队总和少34人，求各组人数.

解题思路： 转化连比：      篮球队：足球队：排球队=15:12:20

            篮球队比足球对和排球对之和少几份：12+20-15=17

每份人数：34÷17=2（人）

            篮球队：2×15=30（人）   2×12=24（人）     2×20=40（人）    

3、比的第三种应用：行程问题中的比的应用

例如：客车和货车从A、B两地同时出发，速度比为3:4，相遇后继续前行，当货车到达A地后，客车距B地还有20千米，求两地的距离.

解题思路：同时出发，速度比等于路程比

分析：相遇时，两车路程之和为A、B两地的距离.把A、B两地距离当坐单位“1”，货车到达A地时，恰好为“1”，客车行驶的占货车的，还有未行驶，因此全程为20÷=80（千米）

4、比的第四种应用：列方程解决比的问题

例如：哥哥和弟弟原有钱之比为7:5，如果哥哥给弟弟520元之后，弟弟和哥哥的钱数之比为4:3，现在哥哥有多少钱？

解题思路：用常规方法解不出，考虑用方程解答

解：设哥哥现在有x元，则弟弟现在有x,哥哥原有(x+520）元，弟弟原有（x-520）元，列方程为：     x-520=（x+520）

 例题精讲 

 比 

例1.

一个三角形三个内角的度数比是1：1：2，这个三角形是( 　　　　 )三角形.

【答案】

等腰直角三角形

例2.

一块铁与锌的合金，铁占合金的，那么铁与锌的质量之比（    ）；合金的质量是锌的质量的（     ）倍

【答案】

2:7

例3.

公园里柳树和杨树的棵数比是5∶3，柳树和杨树共40棵，柳树和杨树各有多少棵？

【答案】

柳树：25棵 ；杨树：15棵

例4.

甲数与乙数的比是3：4，乙数与丙数的比是6：7，甲数与丙数的比是多少？甲数、乙数与丙数三个数的比是多少？

【答案】

9：12：14．

【解析】

题干解析:根据连比的性质，进而求出甲数与丙数的比、甲数、乙数与丙数三个数的比，化简成最简整数比即可．

例5.

师徒二人共同加工一批零件，已知师傅与徒弟的工作效率的比是5：7，完成任务时，师傅比徒弟少做120个．这批零件共有多少个？（两种方法解答）

【答案】

720个

【解析】

题干解析:（1）由“工效比是5：7，”得出工作量的比也是5：7，把两人的工作量分别看作5份和7份，则相差7﹣5=2份，由此求出一份，进而求出（5+7）份表示的个数就是这批零件的个数．（2）用方程解答，设完成任务时，师傅完成了x个，徒弟完成了120+x个，再把工作量相比就是5：7，列出方程求出师傅完成的个数，再求徒弟完成的个数，然后相加即可．

 当堂练习 

填空题

练习1.

甲乙两个小朋友做游戏，在一个边长1分米的正方形地上划地盘。甲先划去正方形的，乙再划去去剩下的，然后甲又划去剩下的，乙又划去剩下的……这样两人分别划了3次，正方形地还剩下（____）没有被划去

【答案】

判断题

练习1.'

可以读作五分之三，也可以读作三比五.                       （     ）

' 

【答案】

正确

练习2.'

配制一种盐水，在200克水中放了20克盐，盐和盐水的比是1∶10. （     ）

' 

【答案】

错误

练习3.'

比值是0.8的比只有一个.（     ）

' 

【答案】

错误

练习4.'

甲数与乙数的比是3∶4，则乙数是甲数的倍.                   （     ）

' 

【答案】

正确

练习5.'

判断：比的前项和后项同时乘一个相同的数，比值不变.（     ）

' 

【答案】

错误

练习6.'

判断:最简单的整数比,就是比的前项和后项都是质数的比.（        ）

' 

【答案】

错误

解答题

练习1.

化简下面各比.

0.5千克：200克       50千米：1000米       400千克：0.8吨

【答案】

5:2 ；50:1 ；1:2

练习2.

化简下面各比

 ∶              :             :

【答案】

15:16 ；8:15 ；1:10

练习3.

化简下面各比

:               0.5米：15厘米           

【答案】

3:1 ；10:3 ；1:13