DOA估计小论文

黎建春

西安电子科技大学 电子信息攻防对抗与仿真技术教育部重点实验室  

陕西 西安 710071

摘要： 最近三十年是阵列信号发展迅猛的时期,出现了大量优秀的阵列信号处理算法，为在此基础上的目标到达角（DOA）的估计提供了理论依据，本文主要针对不同的阵列模型，提出不同的DOA估计算法，并进行仿真分析。

关键字：阵列，到达角估计

1引言

2阵列模型及其算法仿真

2.1  直线型线性阵列DOA估计

2.1.1原理介绍

均匀线阵（ULA：Uniform Linear Array）是一最简单常用的阵列形式，如图1所示，将个阵元等距离排列成一直线，阵元间距为。假定一信源位于远场，即其信号到达各阵元的波前为平面波，其波达方向（DOA）定义为与阵列法线的夹角。

图1  ULA示意图

以第一个阵元为参考阵元，则各阵元相对参考阵元的时延为：

  （5）

由此可得等距线阵的方向向量为：

                  （6）

当波长和阵列的几何结构确定时，该方向向量只与空间角有关，因此等距线阵的方向向量记为，它与基准点的位置无关。若有个信号源，其波达方向分别为，，则阵列流形矩阵为：

 （7）

以上给出了等距线阵的方向向量的表示形式。实际使用的阵列结构要求方向向量与空间角一一对应，不能出现模糊现象。这里需要说明的是：阵元间距是不能任意选定的，甚至有时需要非常精确的校准。假设很大，相邻阵元的相位延迟就会超过，此时，阵列方向向量无法在数值上分辨出具体的相位延迟，就会出现相位模糊。可见，对于等距线阵来说，为了避免方向向量和空间叫之间的模糊，其阵元间距不能大于半波长，以保证阵列流形矩阵的各个列向量线性。天线阵列的输出为：

（8）

其向量形式为：

 （9）

式中，为权重向量。

对于上述的直线型均匀纯属阵列的DOA估计，可采用MUSIC算法进行估计

    Music算法利用了信号子空间和噪声子空间的正交性，构造空间谱函数，通过谱峰搜索，检测信号的DOA。它是建立在以下假设基础上的：

(1)阵列形式为线性均匀阵，阵元间距不大于处理最高频率信号波长的二分之一；

(2)处理器的噪声为加性高斯分布，不同阵元间距噪声均为平稳随机过程，且相互，空间平稳(各阵元噪声方差相等)；

(3)空间信号为零均值平稳随机过程，它与阵元噪声相互，且信号间相互；

(4)信号源少于阵元数，信号取样数大于阵元数。

在此假设基础上，Music算法对DOA的估计从理论上可以有任意高的分辨率。

Music算法原理如下：

由式（4）可得接收信号的协方差矩阵为：

  （22）

由于假设信号与噪声是不相关的，且噪声为平稳的加性高斯白噪声，因此式（22）中的二，三项为零，且有。则式（22）简化为式（23）：

 （23）

    式（23）中的是有用信号的协方差矩阵。

由于假设信号源之间互不相关，因此为满秩矩阵，其秩为。而为维的矩阵，其秩也是，并且是Hermite半正定矩阵，其秩也是。因此，令的特征值为，那么的个特征值为：

它们对应的特征向量分别为，其中前个对应大特征值，后个对应小特征值。

由此可以看出，协方差矩阵经过特征值分解后可以产生个较大的特征值和个较小的特征值，并且这个小特征值非常接近。所以当这些小特征值的重数确定了，那么信号的个数就可以由式（24）估计出来：

                                         （24）

对于与个最小特征值对应的特征向量，有：

，

即：

 ，

因为满秩，非奇异，因此：

或

这表明与个最小特征值对应的特征向量，和个信号特征值对应的方向向量正交，即信号子空间和噪声子空间正交。因此，我们构造维的噪声子空间：

并定义Music空间谱为：

 （25）

或

                         （26）

由于信号子空间和噪声子空间正交，所以当等于信号的入射角时，Music空间谱将产生极大值。因此当对Music空间谱搜索时，其个峰值将对应个信号的入射方向，这就是Music算法。

现将Music算法的步骤归纳如下：

（1）收集信号样本，，其中为采样点数，估计协方差函数：

（2）对进行特征值分解：

 式中为特征值对角阵，且从大到小顺序排列是对应的特征向量。

（3）利用最小特征值的重数，按照式（24）估计信号数，并构造噪声子空间。

（4）按照式（25）搜索Music空间谱，找出个峰值，得到DOA估计值。

2.1.2仿真结果及其分析

在三个目标方位角分别为-50，0，50（单位：度），信号的信噪比为10db，时对上述MUSIC算法进行仿真，仿真结果如下图所示：

图1

尽管从理论上讲，Music算法可以达到任意精度分辨，但是也有其局限性。它在低信噪比的情况下不能分辨出较近的DOA，另外，当阵列流行存在误差时，对Music算法也有较大的影响。

2.2  L型线性阵列天线DOA估计

2.2.1原理介绍

L型线性阵列天线原理图如下所示：

此L型阵列由X轴上阵元数为M的均匀线阵x和Y轴上阵元数为N的均匀线阵y构成，原点处的阵元为两个线阵共有，线阵x的阵元间距以和线阵l，的阵元间距d。，二者均小于等于信号半波长，阵列的输出的噪声为零均值，方差为矿统计的高斯白噪声，且与信号源不相关。

假设空间有K个统计的同中心频率的窄带信号源照射此阵上，其二维波达方向为,其中和分别表示信号源的方位角和仰角。以坐标原点处的阵元为参考阵元，阵列X和Y的接收到的信号矢量分别为：

其中：，，，和为噪声，和为信号的方向矢量。

，其中，h为坐标轴上的阵元个数，在X轴上为M，在Y轴上为N;在X轴上，在Y轴上。均匀线阵X,Y接收到的信号的协方差矩阵定义为：

在此基础上，根据文献【6】中提出的增广矩阵束方法，通过估计二维参数来得到二维方向角和仰角的估计。

2.2.2仿真结果及其分析

 通过对上述模型根据文献【6】提出的增广矩阵束方法，在X轴Y轴阵元数分别为8*8和16*16时，在不同信噪比下仿真，得到的DOA估计的均方根误差图如下所示：

图2

 把该模型再推广到宽带模型下进行仿真，在不同信噪比，不同带宽情况下得到均方根误差图如下所示：

图3

图4

2.3  平面型线性阵列天线DOA估计

2.3.1原理介绍

平面型线性阵列是在L型线性阵列天线基础上的一个扩展，具体模型在这不再具体说明，下面针对在些模型上的ESPRIT算法算法作出说明。

设由个对偶极子组成的阵元数为的天线阵列，两个子阵列对应元素具有相等的敏感度模式和相同的位移偏移量，个的中心频率为的窄带信号源入射到该阵列，两个子阵列第组对应阵元的接收信号可以表示为：

 （41）

 （42）

式中，表示第个信号源的入射方向，将每个子阵列的接收信号表示成向量形式有：

                          (43)

 （44）

式中，是带噪声的数据向量，表示两个阵列之间的相位延迟，也称为旋转不变因子，和为加性噪声向量。

定义整个阵列的接收向量为，用子阵列接收向量来表示：

 （45）

式中，

 （46）

天线阵列接收向量的自相关矩阵为：

 （47）

设，则的个最小的广义特征值等于，而与个最大广义特征值相对应的特征向量满足：

 （48）

式中，表示由矩阵中的向量张成的空间。

则存在唯一的非奇异矩阵满足：

 （49）

利用阵列的旋转不变结构特性，可以分解成为和。

 （50）

由于和共享一个列空间，的秩为，则：

 （51）

这表明存在一个唯一的秩为的矩阵可满足：

 （52）

定义：

 （53）

把式（53）带入式（52）可得：

 （54）

如果信号的入射方向不同，则阵列流行是满秩的，则可以得到：

 （55）

显然，的特征值必然等于对角矩阵的对角元素，而的列向量为的特征向量。

 ESPRIT算法避免了大多数DOA估计方法所固有的搜索过程，大大减小了计算量，并降低了对于硬件的存储要求。

2.3.2仿真结果及其分析

窄带信号模型下，对此算法在不同阵元，不同信噪比情况做出仿真，得到以下仿真结果：

图5

将信号拓展到宽带信号模型上，得到仿真结果如下图所示：

图6

图7

3结束语

本文在阵列信号的基础上，介绍了几种不同阵列模型下的目标DOA估计算法，并在此基础上做出的仿真。可以看出在不同的阵列模型上DOA估计算法的不同，得到的估计精度的差异，为以后学习和研究DOA估计方法提供了一些参考。

参考文献：

【6】范达.毛志杰.张莉.吴瑛利用多次奇异值分解对ESPRIT改进[期刊论文]-信息工程大学学报2002,3(3)