中考数学试题梯形专题04

梯形真题试题汇编

21．（2010黑龙江哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形AOCB是梯形，AB∥OC，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（10，0），OB＝OC．

   （1）求点B的坐标；

   （2）点P从C点出发，沿线段CO以5个单位/秒的速度向终点O匀速运动，过点P作PH⊥OB，垂足为H，设△HBP的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；

    （3）在（2）的条件下，过点P作PM∥CB交线段AB于点M，过点M作MR⊥OC，垂足为R，线段MR分别交直线PH、OB于点E、G，点F为线段PM的中点，连接EF，当t为何值时，？

  【答案】解：（1）如图1，过点B作BN⊥OC，垂中为N

由题意知OB=OC=10，BN=OA=8

…………1分  ∴B（6，8）    

   （2）如图1，

∽

   （3）①当点G在点E上方时，

如图2，过点B作，垂足为

  ∴四边形BMPC是平行四边形

∵PM∥CB   ∴∠OPD=∠OCB   ∠ODP=∠OBC

∴∠OPD=∠ODP ∵∠OPD+∠RMP=90° ∠ODP+∠DPH=90°

∴∠RMP=∠DPH  ∴EM=EF  

∵点F为PM的中点 ∴EF⊥PM

∵∠EMF=∠PMR ∠EFM=∠PRM=90° ∴△MEF∽△MPR

∵AB//OC  ∴∠MBG=∠BON′  又∵∠GMB=∠ON′B=90°

∴△MGB∽△NB′O  

②当点G在点E下方时

如图3  同理可得  MG=ME+EG=5+2=7

22．（2010江苏徐州）如图①，梯形ABCD中，∠C=90°．动点E、F同时从点B出发，点E沿折线  BA—AD—DC运动到点C时停止运动，点F沿BC运动到点C时停止运动，它们运动时的速度都是1 cm/s．设E、F出发t s时，△EBF的面积为y cm2．已知y与t的函数图象如图②所示，其中曲线OM为抛物线的一部分，MN、NP为线段．请根据图中的信息，解答下列问题：

  (1)梯形上底的长AD=_____cm，梯形ABCD的面积_____cm2；

  (2)当点E在BA、DC上运动时，分别求出y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围)；

  (3)当t为何值时，△EBF与梯形ABCD的面积之比为1：2.

【答案】

23．（2010云南昆明）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB = 90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于点O.

（1）当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE；

（2）设（1）中的相似比为，若AD︰BC = 2︰3. 请探究：当k为下列三种情况时，四边形ABPE是什么四边形？①当= 1时，是           ；②当= 2时，是              ；③当= 3时，是                 .  并证明= 2时的结论.

【答案】（1）证明：∵AD∥BC                                

∴∠OBP = ∠ODE                     

 在△BOP和△DOE中

∠OBP = ∠ODE

∠BOP = ∠DOE                                       

∴△BOP∽△DOE  (有两个角对应相等的两

三角形相似)         

（2）① 平行四边形                   

② 直角梯形                      

                 ③ 等腰梯形                      

证明：∵k = 2时， 

 ∴ BP = 2DE = AD

又∵AD︰BC = 2︰3        BC = AD

PC = BC - BP =AD - AD =AD = ED

ED∥PC , ∴四边形PCDE是平行四边形

∵∠DCB = 90°

∴四边形PCDE是矩形            

∴ ∠EPB = 90°                 

又∵ 在直角梯形ABCD中 

AD∥BC,  AB与DC不平行

∴ AE∥BP,  AB与EP不平行

四边形ABPE是直角梯形     

24．（2010广东东莞）已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF，如图⑴放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G．∠C＝∠EFB＝90°，∠E＝∠ABC＝30°，AB＝DE＝4．

⑴求证：△EGB是等腰三角形；

⑵若纸片DEF不动，问△ABC绕点F逆时针旋转最小     度时，四边形ACDE成为以ED为底的梯形（如图⑵）．求此梯形的高

【答案】⑴∵∠EFB＝90°，∠ABC＝30°

∴∠EBG＝30°

∵∠E＝30°

∴∠E＝∠EBG

∴EG＝BG

∴△EGB是等腰三角形

⑵在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4

∴BC＝；

在Rt△DEF 中，∠EFD＝90°，∠E＝30°，DE＝4

∴DF＝2

∴CF＝．

∵四边形ACDE成为以ED为底的梯形

∴ED∥AC 

∵∠ACB＝90°

∴ED⊥CB

 ∵∠EFB＝90°，∠E＝30°

∴∠EBF＝60°

∵DE＝4∴DF＝2

∴F到ED的距离为

∴梯形的高为

25．（2010江苏 镇江）探索发现（本小题满分9分）

        如图，在直角坐标系的直角顶点A，C始终在x轴的正半轴上，B，D在第一象限内，点B在直线OD上方，OC=CD，OD=2，M为OD的中点，AB与OD相交于E，当点B位置变化时，

    试解决下列问题：

   （1）填空：点D坐标为         ；

   （2）设点B横坐标为t，请把BD长表示成关于t的函数关系式，并化简；

   （3）等式BO=BD能否成立？为什么？

   （4）设CM与AB相交于F，当△BDE为直角三角形时，判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论.

【答案】

（1）；（1分）

   （2）

   ①  （2分）

   （3分）

  ②  （4分）（注：不去绝

对值符号不扣分）

   （3）[法一]若OB=BD，则

由①得  （5分）

[法二]若OB=BD，则B点在OD的中垂线CM上.

∴直线CM的函数关系式为，  ③   （5分）

   ④

联立③，④得：，

[法三]若OB=BD，则B点在OD的中垂线CM上，如图27 – 1 

过点B作

   （4）如果，

①当，如图27 – 2 

∴此时四边形BDCF为直角梯形.（7分）

②当如图27 – 3 

∴此时四边形BDCF为平行四边形.（8分）

下证平行四边形BDCF为菱形：

[法一]在，  21世纪教育网

[方法①]上方

（舍去）.

得

[方法②]由②得：

此时

∴此时四边形BDCF为菱形（9分）

[法二]在等腰中

26．（2010 广东汕头）已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF，如图（1）放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G．∠C＝∠EFB＝90º，∠E＝∠ABC＝30º，AB＝DE＝4．

（1）求证：△EGB是等腰三角形；

（2）若纸片DEF不动，问△ABC绕点F逆时针旋转最小_____度时，四边形ACDE成为以ED为底的梯形（如图（2））．求此梯形的高．

【答案】（1）证明：∵∠C＝∠EFB＝90º，∠E＝∠ABC＝30º，

∴∠EDF＝60º，∠GBE＝∠E＝30º，

∴GB＝GE

∴△EGB是等腰三角形．

           （2）解：在Rt△BEF中，由∠E＝30º得BF＝BE＝2，EF＝BC＝4，BC＝

                  ∴CF＝

                  ∵四边形ACDE是以ED为底的梯形

                  ∴AC∥DE

                  ∵AC⊥BC

∴DE⊥BC

∴∠DFB＝90º－∠EDF＝30º

∴旋转的最小角是30º

设图（2）中CB交DE于点M，则FM＝ 

∴CM＝CF＋FM＝＋＝，即此梯形的高为．

27．（2010 四川泸州）在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，DE=4，则BC=          ．

【答案】8

28．（2010 湖南湘潭）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0（1）求证：△ACD∽△BAC；

（2）求DC的长；

（3）设四边形AFEC的面积为y，求y 关于t的函数关系式，并求出y的最小值． 

25题图

【答案】  解：（1）∵CD∥AB,∴∠ BAC=∠DCA     ……………………1分

又AC⊥BC, ∠ACB=90o  ∴∠D=∠ACB= 90o ……………………2分

∴△ACD∽△BAC                        ……………………3分

（2） ……………………4分

         ∵△ACD∽△BAC ∴    ……………………5分

即     解得：    ……………………6分

过点E作AB的垂线，垂足为G，

∴△ACB∽△EGB                        ……………………7分

  ∴  即    故     …………………8分

=　　……………………9分

=    故当t=时，y的最小值为19 ………………10分

29．（2010 广西玉林、防城港）等腰梯形ABCD中，DC∥AB，对角线AC与BD交于点O，AD＝DC，AC ＝BD＝AB。

（1）若∠ABD＝，求的度数；

（2）求证：OB＝　ODBD

【答案】（1）∵DC∥AB     ∴∠BDC＝∠ABD    又ABCD是等腰梯形

∴∠BDC＝∠DBC   ∴∠BDC＝∠ABD＝∠DBC

又AC＝BD＝AB   ∴∠ABC＝∠ACB＝2

又AD＝BC，AB＝AB   AC＝BD   ∴△ABD≌△BAC  ∠BAC＝∠ABD

在三角形ABC中有：＋2＋2＝180°，解得：＝36°

（2）∵∠COB＝2＝＝∠BCO  ∴OB＝BC＝CD    

在△COD和△BCD中，∠BDC＝∠BDC   ∠DCA＝∠CAB＝∠DBC＝

∴△COD∽△BCD       ∴   又OB＝BC＝CD 

 ∴OB＝　ODBD 

30．（2010 湖北咸宁）如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，，，．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．

（1）当时，求线段的长；

（2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；

（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．

【答案】解：（1）过点C作于F，则四边形AFCD为矩形．

∴，．

此时，Rt△AQM∽Rt△ACF．……2分

∴．

即，∴．……3分

（2）∵为锐角，故有两种情况：

①当时，点P与点E重合．

此时，即，∴．……5分

②当时，如备用图1，

此时Rt△PEQ∽Rt△QMA，∴．

由（1）知，，

而，

∴．   ∴．

综上所述，或．……8分（说明：未综述，不扣分）

（3）为定值．……9分

当＞2时，如备用图2，

．

由（1）得，．

∴．          ∴．

∴．      ∴．

∴四边形AMQP为矩形．      ∴∥．……11分

∴△CRQ∽△CAB．

∴．……12分