二次函数知识点总结题型分类总结

教学目标：

1. 掌握二次函数表达式的三种形式，能灵活选用三种形式提高解题效率。

2. 掌握二次函数的图像与性质，结合解析式确定图像顶点、对称轴和开口方向；熟练掌握其与一元二次方程和一元二次不等式的关系；能通过基本性质解决图像的系数符号问题、共存问题、对称性问题、以及应用问题。

教学重难点：

教学重点：1、二次函数的三种解析式形式

2、二次函数的图像与性质 

教学难点：1、 二次函数与其他函数共存问题 

2、根据二次函数图像，确定解析式系数符号

3、 根据二次函数图像的对称性、增减性解决相应的综合问题。

教学过程

【回顾与思考】 

一、二次函数的定义

定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.

（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式）

精典例题：

例1：在下列关系式中，y是x的二次函数的关系式是（　　）

A．2xy+x2=1      B．y2-ax+2=0       C．y+x2-2=0          D．x2-y2+4=0

考点：二次函数的定义．

分析：根据二次函数的定义对四个选项进行逐一分析即可，即一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．

解答：解：A、2xy+x2=1当x≠0时，可化为的形式的形式，不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误；

B、y2-ax+2=0可化为y2=ax-2不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误；

C、y+x2-2=0可化为y=x2+2，符合一元二次方程的一般形式，故本选项正确；

D、x2-y2+4=0可化为y2=x2+4的形式，不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误．

故选C．

点评：本题考查的是二此函数的一般形式，即一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．

例2：函数y=(m+3)xm2+m-4，当m=         

时，它的图象是抛物线．

考点：二次函数的定义．

分析：二次函数的图象是抛物线的，由二次函数的定义列出方程与不等式解答即可．

解答：解：∵它的图象是抛物线，

∴该函数是二次函数，

∴，解得m=2或-3，m≠-3，∴m=2．

点评：用到的知识点为：二次函数的图象是抛物线；二次函数中自变量的最高次数是2，二次项的系数不为0．

例3：若y=xm-2是二次函数，则m=         

考点：二次函数的定义．

分析：根据二次函数的定义列出关于m的方程，求出m的值即可．

解答：解：∵函数y=xm-2是二次函数，

∴m-2=2，

∴m=4．

故答案为4．

点评：本题考查了二次函数的定义，比较简单，属于基础题．

学以致用：

1、下列函数中，是二次函数的是                 .

  ①y=x2－4x+1；   ②y=2x2；         ③y=2x2+4x；     ④y=－3x；

  ⑤y=－2x－1；     ⑥y=mx2+nx+p；       ⑦y =错误！未定义书签。；      ⑧y=－5x。

2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则t＝4秒时，该物体所经过的路程为     。

3、若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为           。

4、若函数y=(m－2)xm －2+5x+1是关于的二次函数，则m的值为            。

二、二次函数的对称轴、顶点、最值

考点连接：如果解析式为顶点式：y=a(x－h)2+k，则对称轴为：              ，最值为：           ；

如果解析式为一般式：y=ax2+bx+c，则对称轴为：           ，最值为：              ；

如果解析式为交点式：y=(x-x1)(x-x2), 则对称轴为：          ，最值为：            。

精典例题：

例1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为         。

考点：二次函数图象与几何变换．

分析：利用二次函数图象的性质．

解答：解：经过原点，说明（0，0）适合这个解析式．那么m2+2m-3=0，（m+3）（m-1）=0．解得：m1=-3，m2=1．

点评：本题应用的知识点为：在函数图象上的点一定适合这个函数解析式．

例2．若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为(   )

      A.         B.        C.        D.

考点：二次函数图象上点的坐标特征．

分析：由抛物线y=ax2-6x经过点（2，0），求得a的值，再求出函数顶点坐标，求得顶点到坐标原点的距离．

解答：解：由于抛物线y=ax2-6x经过点（2，0），则4a-12=0，a=3，

抛物线y=3x2-6x，变形，得：y=3（x-1）2-3，则顶点坐标M（1，-3），

抛物线顶点到坐标原点的距离|OM|=

故选B．

点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先求解析式，再求顶点坐标，最后求距离．

学以致用：

1．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c(   )

      A.开口向上，对称轴是y轴       B.开口向下，对称轴是y轴

  C.开口向下，对称轴平行于y轴  D.开口向上，对称轴平行于y轴

2．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)xn＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.

3．已知二次函数y=mx2+(m－1)x+m－1有最小值为0，则m＝      ______ 。

三、函数y=ax2+bx+c的图象和性质

知识点：（1）①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；

②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.

③｜｜越大，开口越小。

（2）顶点是，对称轴是直线

（3）①当时，在对称轴左边，y随x的增大而减小；在在对称轴右边，y随x的增大而增大；

②当时，在对称轴左边，y随x的增大而增大；在在对称轴右边，y随x的增大而减小。

（4） 轴与抛物线得交点为(0,) 

精典例题：

例1：（2002?十堰）抛物线y=-x2+2x+1的顶点坐标是____________

，开口方向是____________ ，对称轴是___________

．

考点：二次函数的性质．

分析：根据二次函数的性质解题．

解答：解：∵y=-x2+2x+1=-（x2-2x）+1=-（x2-2x+1-1）+1=-（x-1）2+2，

∴抛物线y=-x2+2x+1的顶点坐标是（1，2），开口方向是向下，对称轴是x=1．

点评：此题考查了二次函数的性质，顶点坐标、对称轴及开口方向．

例2：（2010?兰州）抛物线y=x2+bx+c图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x2-2x-3，则b、c的值。

考点：二次函数图象与几何变换．

分析：易得新抛物线的顶点，根据平移转换可得原抛物线顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得原抛物线的解析式，展开即可得到b，c的值．

解答：解：由题意得新抛物线的顶点为（1，-4），

∴原抛物线的顶点为（-1，-1），

设原抛物线的解析式为y=（x-h）2+k代入得：y=（x+1）2-1=x2+2x，

∴b=2，c=0．

故选B．

点评：抛物线平移不改变二次项的系数的值；讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．

学以致用：

1．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x＝－2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式                。

2．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：

（1）y=x2－2x+1 ；         （2）y=－3x2+8x－2；          （3）y=－x2+x－4

3．把抛物线y=－2x2+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。

4．某商场以每台2500元进口一批彩电。如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？

四、函数y=a(x－h)2的图象与性质

知识点回顾：

填表：

例1：抛物线y=x2-4x-3的图象开口         

，对称轴是          

，顶点坐标           

，函数y有最             

。

考点：二次函数的性质。

分析：二次函数的二次项系数a＞0，可以确定抛物线开口方向和函数有最小值，然后利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式就可以得到对称轴，顶点坐标．

解答：解：∵二次函数的二次项系数a＞0，

∴抛物线开口向上，函数有最小值，

∵y=x2-4x-3，

∴根据y=ax2+bx+c的顶点坐标公式为，对称轴是，

代入公式求值就可以得到对称轴是x=2，顶点坐标是（2，-7）．

故抛物线y=x2-4x-3的图象开口向上，对称轴是x=2，顶点坐标（2，-7），函数y有最小值．

故填空答案：向上，x=2，（2，-7），小．

点评：本题主要是对抛物线一般形式中对称轴，顶点坐标的考查，是中考中经常出现的问题．

学以致用：

1．已知函数y=2x2,y=2(x－4)2，和y=2(x+1)2。

（1）分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。

（2）分析分别通过怎样的平移。可以由抛物线y=2x2得到抛物线y=2(x－4)2和y=2(x+1)2？

2．试写出抛物线y=3x2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。

（1）右移2个单位；（2）左移个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。

3．二次函数y=a(x－h)2的图象如图：已知a=，OA＝OC，试求该抛物线的解析式。

五、二次函数的增减性

知识点：

(1). ，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大。

(2). ，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小。

典型例题：

例1：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图：

（1）求函数解析式；

（2）写出对称轴，回答x为何值时，y随着x的增大而减少？

考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．

分析：（1）根据图示知函数经过三点：（-1，0）、（4，0）、（0，-4），将其代入函数解析式，列出关于a、b、c的三元一次方程组，然后解方程组即可；

（2）根据图象求得该函数图象的对称轴，然后根据对称轴、函数图象回答问题．

解答：解：（1）根据图示知，该函数图象经过点（-1，0）、（4，0）、（0，-4），

∴二次函数的解析式是：y=x2-3x-4；

（2）根据图象知，二次函数y=x2-3x-4与x轴的交点是（-1，0）、（4，0），

∴对称轴是x=，

∴根据图象知，当时，y随着x的增大而减小．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质．解答该题时，采用了“数形结合”的数学思想，要求学生具备一定的读图能力，能从图形中寻取关键性信息．

例2：（2010?呼和浩特）已知：点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是函数图象上的三点，且x1＜0＜x2＜x3则y1、y2、y3的大小关系是（　　）

A．y1＜y2＜y3                     B．y2＜y3＜y1                C．y3＜y2＜y1             D．无法确定

考点：反比例函数图象上点的坐标特征．

分析：对，由x1＜0＜x2＜x3知，A点位于第二象限，y1最大，第四象限，y随x增大而增大，y2＜y3，故y2＜y3＜y1．

解答：解：∵中k=-3＜0，

∴此函数的图象在二、四象限，

∵点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是函数

图象上的三点，且x1＜0＜x2＜x3，

∴A点位于第二象限，y1＞0，B、C两点位于第四象限，

∵0＜x2＜x3，∴y2＜y3，

∴y2＜y3＜y1．

故选B．

点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，要学会比较图象上点的坐标．

学以致用：

 1.二次函数y=3x2－6x+5，当x>1时，y随x的增大而          ；当x<1时，y随x的增大而          ；

当x=1时，函数有最      值是         。

2.已知函数y=4x2－mx+5，当x> －2时,y随x的增大而增大；当x< －2时，y随x的增大而减少；则当x＝1时,y的值为         。

3.已知二次函数y=x2－(m+1)x+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是    .

4.已知二次函数y=－x2+3x+的图象上有三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且3则y1,y2,y3的大小关系为               .

六、二次函数的平移

知识点：只要两个函数的a 相同，就可以通过平移重合。将二次函数一般式化为顶点式y=a(x－h)2+k，

平移规律：左加右减，对x；上加下减，直接加减，对y 。

典型例题：

例1：（2012?扬州）将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（　　）

A．y=（x+2）2+2       B．y=（x+2）2-2        C．y=（x-2）2+2      D．y=（x-2）2-2

考点：二次函数图象与几何变换．

分析：直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．

解答：解：将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位所得抛物线的函数关系式是：y=（x+2）2+1；

将抛物线y=（x+2）2+1向下平移3个单位所得抛物线的函数关系式是：y=（x+2）2+1-3，即y=（x+2）2-2．

故选B．

点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键。

例2：（1）已知抛物线y=2x2，把它向右平移p个单位，或向下平移q个单位，都能使得抛物线与直线y=x-4恰好有一个交点．求p、q的值；

（2）把抛物线y=2x2向左平移p个单位，向上平移q个单位，则得到抛物线经过点（1，3），（4，9），求p、q的值；

（3）把抛物线y=ax2+bx+c向左平移三个单位，向下平移两个单位后，所得的图象是经过点的抛物线y=ax2，求原二次函数的解析式．

考点：二次函数图象与几何变换．

分析：（1）分为将抛物线向右平移和向下平移两种情况，设平移后抛物线的解析式，列方程组，消元成一元二次方程，使△=0即可得出答案，

（2）首先得出抛物线y=2x2向左平移p个单位，向上平移q个单位后的解析式，再通过经过点（1，3），（4，9），列方程组求出结果，

（3）根据物线y=ax2经过点得出解析式，然后逆向推理得出原解析式．

解答：解：（1）①当抛物线y=2x2向右平移p个单位时，

得到抛物线解析式为y=2（x-p）2，

联立，

消去y，得2x2-（1+4p）x+2p2+4，

∵抛物线与直线y=x-4恰好有一个交点，

∴△=（1+4p）2-8（2p2+4）=0，

解得，

②当抛物线y=2x2向下平移q个单位时，

得到抛物线解析式为y=2x2-q，

联立，

消去y，得2x2-x+4-q=0，

∵抛物线与直线y=x-4恰好有一个交点，

∴△=（-1）2-8（4-q）=0，

解得

故本题答案为：

（2）当抛物线y=2x2向左平移p个单位时，

得到抛物线解析式为y=2（x+p）2，

当抛物线y=2（x+p）2，向上平移q个单位时，

得到抛物线解析式为y=2（x+p）2+q，

∵抛物线经过点（1，3），（4，9），

∴

解得：p=-2，q=1，

（3）∵抛物线y=ax2经过点，

∴抛物线解析式为：，

∵抛物线y=ax2+bx+c向左平移三个单位，向下平移两个单位后得出抛物线解析式，

∴向右平移三个单位，向上平移两个单位即可得出原解析式为：

。

点评：本题考查了抛物线的平移的性质、抛物线解析式的确定、抛物线与直线交点问题以及解方程组等，综合性较强，难度适中．

学以致用：

1.抛物线y= －x2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的关系式为                 。

2.抛物线y= 2x2，              ，可以得到y=2(x+4}2－3。

3.将抛物线y=x2+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为                     。

4.如果将抛物线y=2x2－1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为                。

5.将抛物线y=ax2+bx+c向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x2－4x－1则a＝        ，b＝        ，c＝         .

6.将抛物线y＝ax2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1)，那么移动后的抛物线的关系式为                       _.

七、函数的交点

1.抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为              。

2.直线y=7x+1与抛物线y=x2+3x+5的图象有       个交点。

八、函数的的对称

1.抛物线y=2x2－4x关于y轴对称的抛物线的关系式为                    。

2.抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线为y=2x2－4x+3，则a=         b=        

 c=          。

九、函数的图象特征与a、b、c的关系

典型例题：

例1：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a，b，c的符号为（　　）

A．a＜0，b＞0，c=0           B．a＜0，b＜0，c＞0  

C．a＜0，b＜0，c=0          D．a＜0，b＞0，c＜0

考点：二次函数图象与系数的关系．

分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答：解：由抛物线的开口方向向下可推出a＜0；

由抛物线与y轴的交点为原点可推出c=0；

因为对称轴在y轴左侧，对称轴为x=-，

又∵a＜0，

∴b＜0．

故选C．

点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定交点．

例2：如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：

①abc＞0；

②方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1，x2=3；

③a+b+c＞0；

④当x＞1时，y随着x的增大而增大．

正确的说法个数是（　　）                     

A．1                  B．2                 C．3               D．4

考点：二次函数图象与系数的关系．

分析：根据抛物线的开口向上，对称轴在y轴的右边，与y轴的交点在y的负半轴上即可求出a、b、c的正负，即可判断①；根据抛物线与x轴的交点坐标即可判断②；把x=1代入抛物线即可判断③；求出抛物线的对称轴，根据图象即可判断④．

解答：解：∵抛物线的开口向上，对称轴在y轴的右边，与y轴的交点在y的负半轴上，

∴，

c＜0，

即b＜0，

∴abc＞0，∴①正确；

根据图象可知抛物线与x轴的交点坐标是（-1，0），（3，0），

∴方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1，x2=3，∴②正确；

把x=1代入抛物线得：a+b+c＜0，∴③错误；

对称轴是直线x=，

根据图象当x＞1时，y随x的增大而增大，∴④正确；

∴正确的个数有3个．

故选C．

点评：本题考查了二次函数与系数的关系的应用，主要考查学生对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了学生观察图象的能力，本题是一道比较典型的题目，具有一定的代表性，还是一道比较容易出错的题目．

学以致用：

1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则a、b、c的符号为（　　　）

    A.a>0,b>0,c>0        B.a>0,b>0,c=0

    C.a>0,b<0,c=0        D.a>0,b<0,c<0     

2.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则下列结论正确的是（ ）

    A．a+b+c> 0                B．b> -2a

    C．a-b+c> 0                D．c< 0

3.抛物线y=ax2+bx+c中，b＝4a，它的图象如右图，有以下结论：

  ①c>0；  ②a+b+c> 0  ③a-b+c> 0    ④b2-4ac<0    ⑤abc< 0；

其中正确的为（     ）       

A．①②        B．①④        C．①②③        D．①③⑤

4.当b<0是一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（     ）

5.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是图所示的(   )

6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么abc，b2－4ac， 2a＋b，a＋b＋c 

四个代数式中，值为正数的有(   )

      A.4个       B.3个        C.2个        D.1个

  7.在同一坐标系中，函数y= ax2+c与y= (a    A                    B                  C                       D

8.反比例函数y= 的图象在一、三象限，则二次函数y＝kx2-k2x-1c的图象大致为图中的（   ）

A            B                  C               D

9.反比例函数y= 中，当x> 0时，y随x的增大而增大，则二次函数y＝kx2+2kx的图象大致为图中的（       ）

A                B             C                D                     

10.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中：正确的个数是（     ）

 ①a，b同号；    ②当x＝1和x＝3时，函数值相同；③4a＋b＝0;    ④当y＝－2时，x的值只能取0；    

    A．1       B．2      C．3    D．4

11.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限）则直线y＝ax＋bc不经过（      ）

    A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限   D．第四象限

十、二次函数与x轴、y轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）

【回顾与思考】

例1：（2012?滨州）抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是（　　）

A．3                B． 2              C．1               D．0

考点：抛物线与x轴的交点．

分析：令抛物线解析式中x=0，求出对应的y的值，即为抛物线与y轴交点的纵坐标，确定出抛物线与y轴的交点坐标，令抛物线解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，求出方程的解有两个，可得出抛物线与x轴有两个交点，综上，得到抛物线与坐标轴的交点个数．

解答：解：抛物线解析式y=-3x2-x+4，

令x=0，解得：y=4，∴抛物线与y轴的交点为（0，4），

令y=0，得到-3x2-x+4=0，即3x2+x-4=0，

分解因式得：（3x+4）（x-1）=0，

解得：，

∴抛物线与x轴的交点分别为，

综上，抛物线与坐标轴的交点个数为3．

故选A

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，以及一元二次方程的解法，其中令抛物线解析式中x=0，求出的y值即为抛物线与y轴交点的纵坐标；令y=0，求出对应的x的值，即为抛物线与x轴交点的横坐标．

例2：（2000?湖州）已知：抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为（1，-4），

（1）求抛物线的解析式；

（2）求该抛物线与坐标轴的交点坐标．

考点：待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．

分析：（1）可利用顶点公式把对应的值代入求解，得出a=1，b=-2，c=-3，所以y=x2-2x-3；

（2）当y=0时，x2-2x-3=0，解方程可求得与x轴的交点为（-1，0），（3，0）；当x=0时，y=-3，即求得与y轴的交点坐标为（0，-3）．

解答：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为（1，-4）

∴

∵a=1

∴b=-2，c=-3

∴y=x2-2x-3

（2）当y=0时，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，即与x轴的交点为（-1，0），（3，0）

当x=0时，y=-3，即与y轴的交点坐标为（0，-3）．

点评：主要考查了二次函数解析式中系数与顶点之间的关系和二次函数与一元二次方程之间的关系．要掌握顶点公式和利用解析式求坐标轴的交点的方法．

学以致用：

1.如果二次函数y＝x2＋4x＋c图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c＝        （写一个即可）

2.二次函数y＝x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为  　 

3.抛物线y＝－3x2＋2x－1的图象与x轴交点的个数是(   )

  A.没有交点   B.只有一个交点   C.有两个交点   D.有三个交点

4.如图所示，二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点， 交y 轴于点C， 

则△ABC的面积为(   )

      A.6    B.4     C.3     D.1

5.已知抛物线y＝5x2＋(m－1)x＋m与x轴的两个交点在y轴同侧，它们的距离平方等于为，则m的值为(   )

      A.－2         B.12                 C.24            D.48

6.若二次函数y＝(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方，则m 的取值范围是          

7.已知抛物线y＝x2-2x-8，

（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。

十一、函数解析式的求法

（一）、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解；

[例1]：图像经过（1，-4），（-1，0），（-2，5），求二次函数的解析式。

【解析】：设二次函数的解析式为：，依题意得：

 解得：

学以致用：

1．已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。

2．已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点且BC＝5，求该二次函数的解析式。

（二）、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式：

y=a(x－h)2+k求解。

[例2]：图象顶点是（-2，3），且过（-1，5），求二次函数的解析式。

【解析】：设二次函数解析式为：y = a( x – h)2 + k，

 图象顶点是（-2，3）h=-2，k=3， 

依题意得：5=a( -1 + 2)2+3，解得：a=2

  y = 2( x +2)2 + 3=

学以致用：

3．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。

 4．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P（2，0）点，求二次函数的解析式。

（三）、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(x－x1)(x－x2)。

[例2]：图像与x轴交于（-2，0），（4，0）两点，且过（1，-），求二次函数的解析式。

【解析】：设二次函数解析式为：y = a( x – ) ( x – )．

    图像与x轴交于（-2，0），（4，0）两点，

    =-2，=4

    依题意得：-= a( 1 +2) ( 1– 4)

a= 

 y =   ( x +2) ( x – 4)=．

学以致用：

 5．二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。

6．已知x＝1时，函数有最大值5，且图形经过点（0，－3），则该二次函数的解析式                     。

7．抛物线y=2x2+bx+c与x 轴交于（－1,0）、（3,0），则b＝       ，c＝         .

8．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交于(2，0)、（4，0），顶点到x 轴的距离为3，求函数的解析式。

9．y= －x2+2(k－1)x+2k－k2，它的图象经过原点，求①解析式  ②与x轴交点O、A及顶点C组成的△OAC面积。

10．抛物线y= (k2－2)x2+m－4kx的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= － x+2上，求函数解析式。

十二、二次函数应用

1、面积问题，主要利用各种图形的面积公式，如三角形面积＝底

2、利润问题：利润＝销量（售价－进价）－其他

（一）、二次函数的实际应用——利润最大(小)值问题

知识要点：

定价；（商品调价）；商品销售量1；销售量变化率;其他成本。

◆单价商品利润=商品定价－商品售价1

◆△（价格变动量）=商品定价－商品售价2（或者直接等于商品调价）；

◆销售量变化率=销售变化量÷引起销售量变化的单位价格；

◆商品总销售量=商品销售量1±△×销售量变化率；

◆总利润（W）=单价商品利润×总销售量－其他成本

[例1]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

解：设涨价（或降价）为每件元，利润为元，

为涨价时的利润，为降价时的利润

则：

当，即：定价为65元时，（元）

当，即：定价为57.5元时，（元）

综合两种情况，应定价为65元时，利润最大．

学以致用：

1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？

2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？

    若日销售量是销售价的一次函数．

    ⑴求出日销售量(件)与销售价(元)的函数关系式；

    ⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？

【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：

⑴在“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省)”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；⑵求解方法是依靠配方法或最值公式，而不是解方程．

4．（2006十堰市）市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量(千克)与销售单价(元)

(）存在如下图所示的一次函数关系式．

     ⑴试求出与的函数关系式；

     ⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？

⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价的范围(直接写出答案)．

5．（2006年青岛市）在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：

（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式，并求出当x取何值时，P的值最大？

6．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元．

(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系式；

(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式．

(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q－收购总额)？

7．(2008湖北恩施)为了落实副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州又出台了一系列“三农”优惠，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系：ｗ=－2ｘ＋80．设这种产品每天的销售利润为ｙ(元) ．

(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式；

(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少

(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元

（二）、二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题

知识要点：

在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。求最值的问题的方法归纳起来有以下几点：

1．运用配方法求最值；

2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；

3．建立函数模型求最值；

4．利用基本不等式或不等分析法求最值．

[例1]：在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm／s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm／s的速度移动，如果P、Q两点同时出发，分别到达B、C两点后就停止移动．

（1）运动第t秒时，△PBQ的面积y(cm2)是多少？

（2）此时五边形APQCD的面积是S(cm2)，写出S与t的函数关系式，并指出自变量的取值范围．

（3）t为何值时s最小，最小值时多少？

答案：

学以致用：

1.小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？

2.已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积． 

3.某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH．

(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；

(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？

4．(08山东聊城)如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．

（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？

（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；

（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．

5．(08兰州)一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图16所示)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．

（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图17所示)，求抛物线的解析式；

（2）求支柱的长度；

（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由．