高等数学习题[附答案解析与解析]

§1 函数

必作习题

P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17

必交习题

一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从

出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。

(1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式；

(2) 作出函数)(t v v =的图形。

二、 证明函数1

2+=

x x y 在),(+∞-∞内是有界的。

三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin

)(2= ；

(2)1

212)(+-=x x x f ；

(3))1ln()(2++

=x x x f 。

四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。

§2 初等函数

必作习题

P31－33 1，8，9，10，16，17

必交习题

一、 设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域：

(1))(x e f ；

(2))(ln x f ；

(3))(arcsin x f ；

(4))(cos x f 。

二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e f -；

(2)设23)1(2

+-=+x x x f ，求)(x f ；

(3)设x x f -=

11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。)1,0(≠≠x x

三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。

四、设⎩⎨⎧>+≤-=0,

20,2)(x x x x x f ，⎩⎨⎧>-≤=0

,0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。

§3 数列的极限

必作习题

P42 3 (3) (4)，4，5，6

必交习题

一、 写出下列数列的前五项 (1)3sin 31n n x n =

；

(2)n n n n x n ++++++=

22212111 ；

(3)n

x n x n n n

)1(1211122-=+++=-， 。

二、已知n

x n

n )1(1-+=，用定义证明：0lim =∞→n n x

§4 函数的极限

必作习题

P50 1 (2) (4)，2(2)，3，4，7，9

必交习题 一、用极限的定义证明：41

22 lim 21=--→x x x 。

二、用极限的定义证明：656 lim =+∞→x

x x 。

三、研究下列函数在0=x 处的左、右极限，并指出是否有极限： (1)x x x f ||)(=

；

(2)⎪⎩

⎪⎨⎧<+=>-=0,10,

00,1)(2x x x x x x f

四、用极限的定义证明：2)106( lim 2

2

=+-→x x x

§5 无穷大与无穷小

§6 极限运算法则 必作习题 P54-55 3，4，5； P63 1，2，3

必交习题

一、举例说明(当0→x 时)：(1)两个无穷小的商不一定是无穷小；(2)无界量不一定为无穷

大量。

二、求下列数列的极限： (1))121( lim 222n

n n n n -+++∞→ =

(2)n n n n n 6

565 lim 1

1++++∞→=

(3))3

)1(27191311( lim 11

--∞→-++-+-n n n =

三、求下列函数的极限： (1)1

1 lim 1--→x x x =

(2)h

x h x h 3

30)( lim -+→=

(3)))(( lim x a x x x -++∞

→=

(4))1311( lim 31x

x x ---→=

四、设21

2)1( lim 2334-=-++++∞→x x bx x a x ，求b a 。

§7 极限存在准则 ，两个重要极限 §8

无穷小的比较 必作习题

P 71 1，2，4； P 74 1，2，3，4

必交习题

一、 求下列极限： (1) x

x x 3sin lim ∞→=

(2)a

x a x a x --→22sin sin lim =

(3)114sin lim 0-+→x x x =

(4)114 lim +∞→⎪⎭

⎫ ⎝⎛++x x x x =

(5)x

x x x 1011 lim ⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+→=

二、用极限存在准则求证下列极限：

(1)设1(0=>i a i ～),m },,m ax {1m a a M =；证明：

M a a a n n

m n n n =+++∞→ 21lim

(2)设31>

x ，),2,1(3)1(31 =++=+n x x x n

n n 。证明此数列收敛，并求出它的极限。

三、确定k 的值，使下列函数与k

x ，当0→x 时是同阶无穷小： (1)

x x +-+111；

(2)5

3243x x -；

(3)x x sin 1tg 1--+。

四、已知11 lim 21=-++→x b a x x ，求b a 和. 。

三、用极限定义证明：

(1) 若)(∞→→n a x n ，则对任一自然数k ，也有)(∞→→+n a x k n ；

(2) 若)(∞→→n a x n ，则)(||||∞→→n a x n ，并举例说明反之未必成立；

(3) 若)(0||∞→→n x n ，则)(0∞→→n x n 。

四、 设数列}{n x 有界，又0 lim n =∞→n y ，证明0 lim n =∞

→n n y x 。

§9 函数的连续性与间断点

必作习题

P80 1，2，3

必交习题

一、当0=x 时下列函数)(x f 无定义，试定义)0(f 的值，使)(x f 在0=x 连续： (1)1111)(3-+-+=

x x x f ；

(2)x

x x f 1sin sin )(⋅=。

二、指出下列函数的间断点并判定其类型： (1)311)(x x x f ++=

；

(2))

1(||)(22--=x x x x x f ；

(3)⎪⎩

⎪⎨⎧≤<-+>=-0

1)1ln(0)(1

1x x x e x f x 。

三、确定b a 和，使函数)

1)(()(---=x a x b e x f x 有无穷间断点0=x ；有可去间断点1=x 。

四、设函数)(x f 在),(+∞-∞上有定义，且对任何21,x x 有

)()()(2121x f x f x x f +=+，

证明：若0)(=x x f 在连续，则),()(+∞-∞在x f 上连续。

§10 连续函数的运算与初等函数的连续性

§11 闭区间上连续函数的性质

必作习题

P85-86 1，2，3； P91 1，2，3

必交习题

一、 欲使

⎪⎩

⎪⎨⎧->++-=-<+=1)ln(111)(22x x x b x x x a x f ，，

在1-=x 处连续，求b a 。

二、求下列极限：

(1)x

a a x x ln )ln( lim 0-+→=

(2)x

x x e x 1)( lim 0+→=

(3)x (x-x cos 21)sin

lim 33-→ππ=

(4)x x x 2sin 1

)(cos lim →=

三、证明方程=-x x 35

1至少有一根介于1和2之间。

四、设函数)(x f 在区间]2,0[a 上连续，)2()0(a f f =，证明在区间],0[a 上至少存在一

点0x 使得)()(00a x f x f +=。